在活動中學習數學和發現數學本質

沈英

荷蘭數學家弗賴登塔爾提出“學一個活動的最好方法就是做”。通過“做”讓學生進行“再創造”，從而獲得知識，形成素養。《數學課標》提出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗。”教師要以“課標”精神為指導，用活用好教材，讓學生經歷學習過程，在數學活動中操作、猜想、歸納分析，進行合情推理及進一步邏輯推理，進而實現知識的再創造。

《面積的意義》是第六冊第八單元《長方形和正方形的面積》第一課時，屬于概念課。教學時先認識物體表面的面積，再認識平面圖形的面積，按照“物體（圖形）有面—每個面都有其大小—面的大小是面積”這樣的線索，引導學生逐漸體會面積的意義，分三個層次展開面積意義的教學。可讓學生在動手操作、自主探索、游戲、競猜中理解面積的意義，感悟數學本質。

例1：在動手操作中體驗面積的意義

播放視頻《我是一個粉刷匠》，動畫中的小朋友粉刷了哪些地方？（墻面，屋頂等）出示一張桌子，桌子哪里還沒有粉刷了？（桌面）誰愿意把桌面粉刷好？伸出小手，吹口氣，把它當作刷子，粉刷桌面。

出示兩塊大小不一樣的黑板：學校要粉刷兩塊黑板，請兩位學生幫忙，要求刷得又好又快。分給每位同學一把刷子，用水代替油漆，請兩位學生刷黑板。問其中慢的同學：怎么還沒好呢？（這塊黑板的面比那塊的面大）看來，物體的面是有大有小的。

物體都有面，如果把剛才兩個物體（長方體和圓柱體）的面畫出來，就變成了熟悉的平面圖形，這兩個圖形分別是正方形和圓形。那正方形和圓形有沒有面積？面積在哪里？請學生用紅筆涂出來。指出：圖形周圍白色的線是它的周長，圖形里面紅色部分是它的面積。

傳統教學中，教師通常會讓學生摸摸物體的面，但學生很難摸全面的大小。本次教學活動中，用“刷一刷面”代替“摸一摸面”，幫助學生建立面積的概念。一共安排了三次刷的教學活動，第一次先以桌面為研究對象，安排學生“粉刷”桌面，體會“面”在哪里，從而進行認識遷移，感悟生活中物體都有面。第二次，以黑板為研究對象，用刷子為黑板“粉刷”，通過比賽形式豐富教學活動，使學生體會到每個面都有其確定的大小。在此基礎上，體會什么是黑板面的面積，什么是課本封面的面積，意義接受面積的概念，再讓學生試著使用“面積”這個詞語，描述黑板面與課本封面的大小關系。第三次，用彩筆描一描長方體和圓柱體的面，即正方形和圓形，再涂出它們的面積，感受平面圖形一周邊線所圍成的面的大小就是平面圖形的面積。這樣安排可以輕松地將研究方向從生活中物體的面轉換成平面圖形的面，而且能幫助學生正確區分面積與周長這兩個概念。

例2：在自主探索中掌握比較面積大小的方法

出示兩個面積相差較大的平面圖形，哪個圖形的面積大？你怎么知道？指出：平面圖形面積相差較大時，可以直接用眼睛觀察。

出示兩個面積差不多的平面圖形，誰的面積比較大？同時出示兩張紙：你有什么辦法確保答案是正確的呢？學生說明用重疊的辦法，請學生試一試。指出：當面積相差不大時，可以采用重疊的辦法來比較面積大小。

出示兩個長方形，其中一個3×3，一個2×5，哪個面積大？即使重疊，好像也不太確定，怎么辦？討論后引導學生動手試試。學生說明可以重疊后剪去多余部分，將多余部分再次重疊，如果有多余，重疊后再剪一剪，如此重復三次，最后發現2×5的長方形比3×3的正方形要多一個1×1的小正方形。教師追問：能用這個小正方形去量量剛才兩個長方形中有多少個這樣的小正方形嗎？動畫演示過程，形成網格。指出，數格是比較面積的一種新方法。

比較面積大小方法有多種，包括觀察、重疊、數格等。其內在是否有聯系？此環節一共組織學生進行了三次比較平面圖形面積大小的教學活動：第一次，比較兩個面積相差較大的圖形，觀察即可。第二次，形狀、面積差不多的兩個圖形，可以重疊比較。第三次，面積差不多，形狀不同的兩個圖形，可以重疊后剪多余部分，多次重疊后得到了一個小正方形，一個小正方形就是一個面積單位。然后，充分利用這個小正方形測量兩個圖形的面積，圖形中有幾個小正方形，面積就是幾個單位，以此引出數格法。三次教學活動，由易到難，由簡到繁，符合學生的認知規律，培養學生比較面積大小的多種技能，為面積單位埋下了伏筆，為長方形和正方形的面積計算孕育了思想。

例3：在競猜中發現長方形面積大小與長、寬有關，出示下圖，猜猜哪個面積最小？為什么？

學生猜了三次，每次都猜錯。讓學生反思：為什么只有第二個圖形猜得出它的面積大小，而第一個和第三個的面積一直在變？因為第二個圖形長有4格，寬有2格，面積始終是8格。而第一圖，只知寬2格，而不知長幾格，幾個圖長寬都不確定。總結：一個長方形，只有確定了它的長和寬，才能確定這個長方形的大小。長方形的面積大小與它的長、寬有關。

作為數格法的延伸，作為本節課的拓展，有意識地滲透長方形的面積大小與它的長和寬有關。通過游戲的形式，組織學生猜一猜哪個長方形面積最小？為什么？游戲一共進行了三次，每次學生都能猜對其中兩個圖形的面積大小。在認知沖突中總結反思，只有確定了長方形的長和寬，才能確定長方形的面積，即長方形的面積與長方形的長、寬有關。

總之，新課改帶來了新的教學理念和教學方式，但是數學教學方法的變革不應被看成教學模式的簡單化。無論教學方法如何改革，“有效的課堂數學活動”都應是衡量教學效果的唯一標準；“教師教得開心，學生學得愉快；課業負擔減輕，學習質量提高”是我們始終的追求；“為學生未來發展奠定堅實的基礎”則是我們教學的唯一宗旨。