有理走向深入，無理機械重復

梁求玉

我有幸聽了羅鳴亮老師《做一個講道理的數學老師》的講座，真是醍醐灌頂，原來數學教材還要這么看，數學課還要這么上。是呀，四則混合運算為什么要先算乘除法，后算加減法呢？異分母分數加減法為什么要先通分再加減？一年12個月中為什么不把所有的單數月都規定為大月，而是7前單來8后雙？在我們用四舍五入法求近似數時，為什么是四舍，為什么是五入……這一切的為什么，我們可曾讓孩子明白后面的道理？在數學課上，非常重視方法的演繹與講解，往往忽略了方法背后的道理，這樣非常容易導致機械重復的無理訓練，而數學思考難以走向深入。

一、數形結合更有理

在我們眼里，上述的那些“為什么”很容易熟視無睹，因為書本上就是這么寫的，老師的老師也是這么教的，大家也是這么做的。例如，教學《除法豎式》時，學生是否會質疑：“為什么加、減、乘的豎式格式是一樣的，只是符號不一樣，而除法豎式的格式卻完全不同？”

有位教師就非常機智地通過數形結合，讓學生通過實物擺一擺，理解了除法算式中每一部分的算理。先出示“把15個圓片平均分成3份”，如圖1，這詮釋了算式①的道理，圖2把原來的15通過平均分成了3個5，相加得15，原來大圈里的15呢？分完了，所以是0，詮釋了算式②的道理。在擺一擺的操作活動中，不但掌握了算法，更明白了算法后面的道理，只有這樣列豎式，才能清楚地展現思考過程，讓學生知其然，更知其所以然，在明理的過程中，有效滲透了數形結合的思想。

費賴登塔爾曾經這樣描述數學的表達形式：“沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來，一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗。”因此在教學中，教師需要將這冰冷的美麗“轉化為“火熱的思考”。

二、意義理解明道理

《乘法分配律》教學是運算定律中的一個難點，因此，很多老師都費盡心思，創設了各種情境，用了各種形式，幫助學生記憶a×b+a×c=a×（b+c）。比如有人用我愛爸爸，我愛媽媽，連起來說是我愛爸爸和媽媽；有的教師用握手創設情境，家里來了一位客人，男主人和客人握手，女主人也和客人握手，讓學生說說客人和誰握了手，等等，可謂花樣百出。但在學習一段時間后，隨著情境的退去，乘法分配律的應用又生疏了，只能通過大量的、機械的、重復的練習，得以鞏固。在學生通過題海熟能生巧時，是否讓學生明白：“為什么a×b+a×c可以變形為a×（b+c）？”而有一位教師在執教這課時，非常智慧地讓學生分別用口算和豎式計算36×5的結果，比較它們之間有什么聯系。再用豎式計算一下28×16，并說說豎式中每一步的含義。通過這樣的設計，喚起學生的舊知，進行正遷移，其實早在前面的學習中，就隱性利用了乘法分配律，只是自己沒有感覺。再引導學生從乘法的意義理解，如65×49+35×49，是求65個49與35個49的和，可以看成是（65+35）個49，所以65×49+35×49=（65+35）×49。只有當學生真正理解了算法背后的算理，那么就不要用“題海”進行“轟炸式”的鞏固與記憶，讓計算也變得可愛起來。

在數學教學時，從“形式”開始，學生就容易出現“形式”上的理解。為此需要關注學生的生活概念、經驗與數學概念之間的本質聯系與區別，自然實現由“生活概念向科學概念的運動。

三、允許延遲講道理

數學課真的需要講道理，但有的道理還真急不得。請允許遲到的明理。例如有一位教師在執教《條形統計》的第一課時，收集了各種天氣的天數后，有的學生用統計表整理，有的學生用象形圖整理，然后啟發學生，是否還有不同方法可以整理呢？這時只給學生提供格子圖，放手讓學生自主探索條形統計圖的畫法，因為是第一次接觸，在生活中，有部分的學生雖然有見過條形統計圖，但沒有認真留意它的結構，因此，有的學生數據標錯，有的學生沒有寫項目，有的學生圖形不夠美觀，等等，這些“失誤”“不完整”通過小組交流，再通過全班的展示、交流和匯報，逐步完善，達成一致，形成如圖a。教學流程基本按照原先的預設順利完成。這時有一學生說：“老師，我覺得涂黑或劃斜線都很麻煩，我還是覺得打鉤更快，如圖b。”

當時這位教師是這樣處理的：“請同學們翻開書，看看書上是怎么表示的？”學生齊答：“涂陰影。”“是的，一般情況下，條形統計圖都是涂陰影或用斜線表示柱條的高度。請你把它改正過來吧！”這位打鉤的學生還是不明白為什么不能打鉤，只是機械接受了老師的建議，很不服氣地把它改成了斜線表示。這是學習《條形統計圖》的第一課時，只學到1格代表1，因此，學生很難體會，在格子里打“√”或畫“○”的局限性。如果允許學生保留他的意見，保護他可貴“生成資源”，到第二課時，學習了“以1當多”后，再讓學生討論上節課預留的問題：“現在你們覺得打‘√好呢，還是陰影好？”這時學生自然就能感悟出，當1格表示的數量不是1，而是更多時，不能科學地表示出數量的多少，就會心服口服地用陰影或斜線方法表示。因此，當本節課的知識不利于學生明白道理時，請允許延時說理，既保護了學生提出不同看法的積極性，又讓學生在自我反思和修正中學習了數學，感受了數學思考帶來的快樂。

孩子對未知世界的新鮮和神秘一定是充滿了好奇，在心靈深處充滿了探索、求知的欲望。教師一定要保護好這份好奇心，不要讓學生覺得數學是枯燥無味、機械重復的，從而失去探索未知的興趣。如果讓學生明白了數學課中諸多的“為什么”，那么不但會促進數學知識的掌握，而且會提高學生學習數學的興趣，增強探索未知世界的欲望，數學思想往往也蘊含其中。應讓他們為數學真理感到驚奇甚至震撼，從而體驗到智慧的力量和創造的快樂。