微積分基本定理教學新探

王興良

摘 要： 為使學生更好地理解微積分基本定理，作者采用發現式教學法并結合數學史相關內容，按照觀察、得到結論、猜想、歷史溯源、微積分基本定理的表述、微積分基本定理意義、微積分基本定理應用等七個方面講述，以期達到教學的趣味性、直觀性、自然性、合理性、通俗性、有效性、深刻性的結合與統一.

關鍵詞： 微積分基本定理 數學史 發現式教學法

定積分作為一種和式的極限按照極限計算的方法求值是十分困難的.即使對于最簡單的函數，按照定積分定義計算和式極限也是困難和復雜的，因此必須找到計算定積分和式極限的一般方法.在17世紀后期，兩位天才的數學家牛頓和萊布尼茲分別找到了計算方法——微積分基本定理.正是由于微積分基本定理的發現，才誕生了對近代社會產生巨大影響的微積分.

教學中可通過兩個特殊的例子，引導學生猜想.

一、觀察

1669年，牛頓在他的朋友中散發了題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子.其中，牛頓不僅給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的一般方法，而且證明了面積可以由變化率的逆過程得到.因為面積也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的，所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到，這個事實就是我們現在所講的微積分基本定理.在1675年11月的一篇手稿中，萊布尼茲已深刻認識到？蘩與d的互逆關系，在筆記中斷言：作為求和過程的積分是微分的逆.實際上已初步給出了微積分基本定理，在1686年萊布尼茲在《博學學報》上發表了微積分歷史上第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，論述了積分與微分的互逆關系.

五、微積分基本定理的表述

微積分的基本定理是牛頓、萊布尼茲發現的，但都沒有給出嚴格的證明.事實上在當時的歷史條件下，也不可能給出嚴格的證明.關于微積分基本定理的嚴格證明及表述直到一百多年后，才由柯西（Augustin Lonis Cauchy ， 1789—1857）完成.數學知識的形成與發展是一種漸進累積但不是線性發展的過程.

六、微積分基本定理的應用

牛頓-萊布尼茨公式給出了計算定積分無窮和的一般方法，對某些無窮和的極限也可考慮將其轉換為積分和，再利用牛頓-萊布尼茨公式計算.由于定積分計算轉化為了不定積分運算，不定積分的運算法則也可轉換為相應的定積分運算法則.但在應用微積分基本定理時要特別注意適用條件——被積函數在積分區間上連續.

七、結語

高等數學的教學改革無論是在理論層面還是在實踐層面都有許多問題沒有解決.本文對微積分基本定理的教學做了一些教學探索，希望對廣大教師有所啟迪.

參考文獻：

[1]杜瑞芝.數學史辭典[M].山東：山東教育出版社，2000.