巧用“串題”提高初中幾何復習課效率

麥少鳳 馮大學

[摘 要] 常規的章節復習課往往是對本章知識和方法的簡單歸納和整理，這樣對學生能力的提高作用不是十分明顯，我們嘗試在通過引導學生對照課本目錄進行知識與方法的梳理過后，通過一定的線索，把已經解決的一些問題進行方法的提煉和提升，給學生以拓展的空間，通過對幾何計數問題的解決，再次介紹我們所倡導的“串題”的思想方法供各位同仁探討.

[關鍵詞] 計數；串題；幾何復習課

2011版的《課程標準》明確提出，數學教學要關注“四基”，而“四基”是指：基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗. 而其中的數學“基本思想”是關于數學科學最為根本的要旨，是數學研究的基礎，也是數學教學的核心所在.

初中幾何復習課不僅要復習知識點，幫助學生形成系統、清晰的知識網絡，更重要的是使學生在學習過程中主動理解和掌握數學知識與技能、數學思想和方法，引起思維欲望，養成積極、主動、獨立的思考習慣，從而有效地促進學生在情感、態度、價值觀等方面的全面發展. 而目前我們的幾何復習課普遍存在“重知識，輕能力；重模仿，輕思考”的現象，因而嚴重制約了學生的思維發展，造成學生學習興趣不足，復習效率低下的嚴重后果.

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅是一個數學上的技巧而已.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要創造力和想象力.”學習不再是“記憶”知識，而是利用已有的知識去提出更多的、更新的問題，并在問題解決中改進原有知識的認知結構.

筆者通過多年的實踐嘗試，發現巧用“串題”，可以有效地提高初中幾何復習課的效率.

“串題”及其理論依據

所謂“串題”，是指將一組題目集中在一起來處理，是筆者在1993年率先提出來的一種變題訓練（見文3），而這組題目集中的原則是：①圖形結構在本質上有類似的地方或在解決方法上有類似之處；②難度逐漸增大，所需知識或者解決的技巧要求逐漸增多，但解決問題的本質方法是一樣的（相當于“一解多題”），而且前面的題目的解決，往往對后面的題目的解決具有啟發作用；③盡可能以課本例題、習題為起始題目進行演變.

美國哈佛大學教授加德納提出的“多元智力理論”（MultipleIntelligences）創建了“以問題為導向的教學策略”，為創新精神與實踐能力的培養提供了重要的思路和實施的方法. 應用多元智能理論進行教學，既可以開發學生的多元智能，又可以實現他的個性化發展，不僅可以使教學生動化，而且有利于教學個性化. 而在幾何復習課上運用“串題”，可以充分體現以問題為導向的教學策略，學生通過一系列的問題串，層層深入地對問題展開思考，放飛他們的思維，并在思考中不斷強化對所學內容的理解，更重要的是在這個過程中，學生的思維能力和創新能力可以得到最大限度的提升.

教學過程與點評

環節1：翻到課本目錄第2頁，思考：這個單元學了些什么？（略）

環節2：思考：這個單元有哪些重要的思想方法和補充？（略）

環節3：巧用“串題”解決幾何計數問題（重點）.

問題1 （1）一直線上有4個點，以這些點為端點的線段有多少條？（此題為前面做過的作業，學生通過數數的方法得到6條，在引導學生回憶的基礎上拋出第（2）問）

（2）如圖1，一直線上有n個點，以這些點為端點的線段有多少條？

分析 第（2）問已經沒有辦法把所有線段寫出來再數了，逼著我們必須尋求突破，重新審視第（1）問. 除了寫出來一條一條地數以外，還有沒有其他辦法？于是得到本題一般性解法：每條線段有兩個端點，解決的突破口就在這里. 因為每個點可以和另外的一個點組成一條線段，這樣，每個點都可以和另外n-1個點中的每一個組成一條線段，但對于一條線段來說，可以分別從兩個端點來計算，故結果要除去重復計算的，應該是n（n-1）.與此類似，平面上有n個點，以這些點為端點的線段也是有n（n-1）條.

問題2 如圖2，平面上有n個點，以這些點為端點的線段有多少條？

問題3 如圖3，這里一共有多少個角（這里的角是指小于或等于∠AOA的角）？

分析 其實，問題1與問題2、問題3實際上是同一個問題，答案都是n（n-1），只是“化直為曲”而已. 學生在理解透問題1的基礎上，問題2和問題3就不難理解了.

問題4 如圖4，n邊形的對角線有多少條？

分析 問題4與前面三個問題都是同類型問題，思想方法一樣，只是稍稍變換了一下背景，因為任何一點不能與它本身以及相鄰兩點構成對角線，所以本題的答案變成n（n-3）. 如果學生能看出本題與前面的思想方法一致的話，那么本題同樣也不難解決.

事實上，上述幾個問題同屬一個數學模型：一般地，如果有n個元素（我們所研究的對象），每兩個元素之間構成一次聯系，那么共有多少次聯系？在我們的學習和生活中還有很多數學問題和實際問題都屬于這一數學模型：如“在同一平面內，n條直線相交，最多有多少個交點”“多人之間的兩兩握手（或互通電話）問題”“球類比賽中單循環賽場次問題”，等等，都屬于這個數學模型. 在初一幾何教學的時候，我們可以適當地開始滲透給學生這種“建模”的思想，然后隨著學習的深入，再逐步強化和拓展、延伸.

問題5 平面上有n個點，可以確定多少條直線？（課后思考作業）

分析 該問題其實是沒有答案的，但如果沒有非常認真進行審題的話，這道題就很容易變成有固定答案的題目，思想方法與前面一致，學生很自然而然通過類比得出n（n-1）這個結論，包括教師本身也容易做錯. 如果原題目是問“平面上n個點，最多可以確定多少條直線？”那么答案就是n（n-1）；但假若沒有這個限制條件的話，則就要分類，而這道題的分類是無窮無盡的. 出這道題的目的旨在讓學生學會用心審題并要養成縝密的思維習慣，不要理所當然.

在學習了平行線部分的三線八角后，我們還可以再次在復習前面的內容的基礎上拋出以下問題讓學生解決（既達到復習鞏固的目的，又可以讓學生體會這種解決問題的方式的奇特效應）：

問題6 我們知道，兩條直線被第三條直線所截，可以形成4對同位角，請問：在平面上n條直線兩兩相交，無三線共點，可以形成多少對同位角？

分析 這題看似很難做，部分同學想歸納出來，發現n=3時是12，n=4時是48，沒有辦法數，更不好找規律. 其實，如果我們注意同位角的定義所指：“兩條直線被第三條直線所截，可以形成4對同位角”，我們只要能夠把這些直線這樣分開，分成一個個的“兩條直線被第三條直線所截”這樣的三線小組，問題就迎刃而解了：每條直線與另外的n-1條直線中的任意一條都可以形成一個兩條直線組合，剩下的（n-2）條中的每一條都可以來截這個兩條直線的組合. 而這樣的兩條直線組合有n（n-1）個，總的就有這樣的三線組合n（n-1）（n-2）個，同位角就有4×n（n-1）·（n-2）=2n（n-1）（n-2）個. 用這種思考方式，我們很容易得到，n條直線交于一點共有n（n-1）對對頂角.

給初一學生講解有關幾何計數問題往往令許多教師為難，覺得不好講，學生也不好接受. 著名數學家、首屆國家級數學名師李尚志先生在他的《數學的神韻》中所說：“人們確實認為數學是煩瑣的、復雜的. 數學當然有算法，算法也許是煩瑣的，具體過程更是煩瑣. 但是，指揮這些算法的想法一定是簡單的，這才是最有威力的.”

上面羅列的6個問題，其實思想方法都是相同或類似的，學生只要掌握了問題1的思想方法，接下來那些雖然看上去難度很大，或許很多初三的學生都完成不了的問題，也不見得有多么深不可測、高不可攀了. 因此，數學的幾何復習課，一定要徹底講清楚思想方法，然后再通過“串題”把相關的內容連接起來，組成一系列的問題串，一來可以進一步熟悉本單元需要學生掌握的數學知識和思想方法；二來也加強了本單元與其他知識的聯結，讓學生的知識網絡更廣泛、更清晰；三來，以往的復習課容易讓學生覺得沉悶缺乏新意，但現在的“串題”卻能讓學生興趣盎然，整節課的思維都能保持在高度活躍的狀態之下. 因此，在幾何復習課上，巧用“串題”的確能有效提高課堂效率.

總之，本堂課打破了“以講為主”的束縛，真正地做到“把課堂還給學生”，確立了學生在課堂教學活動中的主體地位，通過學生自己獨立的思考，闡述自己的思想和觀點，發現問題、提出問題并解決問題，使學生形成了良好的思維品質，提高了思維水平，發展了思維能力.通過“串題”串出的一系列問題串，培養學生良好的思考習慣和初步的辯證唯物主義觀點，更好地理解、欣賞數學的美學價值，培養了學生的創新精神和獨立解決問題的能力.