經歷過程 發展思維

何萍

[摘 要] 2015年10月，浙江省溫州市開展了每年一次的初三教學研討會. 本次研討會主要研討單元復習課教學如何梳理知識，鞏固提升，從而發展學生的思維. 現以一節“二次函數復習”為例，與同仁交流.

[關鍵詞] 思維；過程

教學片段呈現

環節1：回顧復習，體驗數形結合思想

活動1：已知二次函數y=x2+bx-3的圖像經過點A（-1，0）.

（1）這個二次函數的表達式是______；

（2）這個圖像的頂點坐標是_____，對稱軸為______；

（3）當-1≤x≤0時，y的取值范圍為______.

（教師依次呈現（1）、（2）、（3）問，請學生個別回答. 回答第（3）問時，教師進行了提問）

問題1：你是怎么求得y的取值范圍的？（學生說代入x的臨界值求得）

問題2：y的值會變，那么y的值會怎么變？（啟發學生利用函數增減性求解）

（教師將第（3）問進行了變式）

變式：當-1≤x≤4時，y的取值范圍為______.

（教師通過下列問題引導學生思考）

問題1：你是怎么求的？（學生說代入x的臨界值求得）

問題2：y的值怎么變？（學生畫圖說明函數增減性）

問題3：你是怎么畫出草圖的？（復習用五點法畫草圖）

教師小結：求取值范圍，不僅僅代入臨界值求值，更要關注函數的增減性，所以，我們解決函數問題時要用好圖像這個工具.

環節2：先猜想后驗算，感悟數形結合思想

活動2：如圖1，拋物線y=x2-2x-3與坐標軸的交點記為A，B，C，連接AB，BC，AC，得到△ABC，在拋物線上再找一點D，使得S=S，則D點的坐標為______.

（教師沒有直接讓學生求值，而是先提出幾個問題引導思考）

問題1：這個D點的位置在哪里？這樣的D點你能找到幾個？（學生說找到了3個）

問題2：你覺得哪個點的位置最好求？坐標是多少？你是怎么求的？（學生利用同底等高直接求出點C關于對稱軸對稱的對稱點的坐標）

問題3：那么另外兩個D點的大概位置在哪兒？（學生畫出大致位置）

接著，教師讓學生進行求解驗證. 在學生求解后，教師引導學生總結出將二次函數問題轉化為一元二次方程求解.

環節3：綜合運用，應用數形結合思想

活動3：二次函數y=x2-2x-3的圖像如圖2所示.

（1）P為線段BC上的任意一點，設P點的橫坐標為x，請你寫出P點的坐標：______.

（2）過P點作x軸的垂線與拋物線交于點F，是否存在點F，使得線段PF的長度有最大值？若存在，求出線段PF的長；若不存在，請說明理由.

（3）M是對稱軸與x軸的交點，G是對稱軸與線段BC的交點，在線段BC上是否存在一點P，使得四邊形MGFP是平行四邊形？若存在，求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由.

（教師先呈現（1）問，在學生解決（1）問后歸納）

教師歸納：P是線段BC上的一個動點，所以它的橫、縱坐標都是變量，但不管怎么變，它們始終有不變的關系，那就是y=x-3.

（在呈現（2）問之前，教師先引導學生觀察圖形）

問題1：點P從B到C的過程中，PF的長度怎么變？（引導學生觀察圖形PF的變化）

問題2：什么時候PF最大？（引發學生觀察圖形猜想，有學生猜想PF與GQ重合時PF最大，也有學生猜想在x=時PF最大）

教師接著呈現（2）問，讓學生求解驗證猜想.

（解決（2）問之后，在呈現（3）問之前，教師以下列問題繼續引導學生觀察圖形）

問題1：連接M，G，F，P，在點P從B到C的過程中，四邊形MGFP的形狀會發生變化嗎？

問題2：有沒有可能是特殊四邊形？如果有，是什么圖形？

問題3：四邊形MGFP什么時候是平行四邊形？你是怎么判斷的？（學生回答當PF=MG時）

問題4：觀察圖形，P從B到C的過程中，由于PF的長度變化是從小到大再到小，此時有幾種PF=MG的情況？（繼續引導學生根據點的運動來想象圖形）

學生畫出兩個可能的平行四邊形，教師繼續追問.

問題5：你是怎么畫出這兩種情況的？（啟發學生從PF最大值的角度觀察PF的左右兩邊出現PF=MG的情況）

問題6：點P從B點運動到C點的過程中，始終有PF∥MG，那么在PF∥MG條件下，你還有其他方法判定四邊形MGFP是平行四邊形嗎？（激發學生思維，復習回憶平行四邊形的判定）

問題7：PF=MG和MP∥GF，你覺得你能求哪個？（學生回答目前能求PF=MG）

接著教師呈現（3）問讓學生求解驗證，并對（3）問進行追問.

問題8：如果P點沿著射線BC繼續運動，還能得到以M，G，F，P為頂點的平行四邊形嗎？什么時候是平行四邊形？（繼續引導學生畫出圖形）

接著，教師呈現問題變式，讓學生求解.

變式：在射線BC上是否存在一點P，使得以M，G，F，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由.

環節4：概括小結，提煉函數思想

教師呈現本節課的復習框圖（圖3），總結：解決動點問題時，首先觀察圖形的變化，如果需要確定圖形變量之間的關系時，通常建立函數模型求解；如果已經確定了圖形之間的特殊位置或者一些特殊值時，可以建立方程模型求解. 其中，變量的對應關系是函數知識的核心，我們在解決函數問題時，要學會觀察圖形的變化，關注變量的變化規律，這是解決問題的關鍵.

單元復習課的視角在哪兒

單元復習課是以復習鞏固某一單元知識為主要任務的一種數學課型. 通過單元復習，使得學生對知識建立結構化、網絡化和關系化，又通過查漏補缺，提升學生的數學學習能力. 所以，單元復習課要把學生擺在主體地位，給學生以充分的思考空間，讓學生參與數學問題解決的全過程，建立平等、和諧的課堂氣氛. 單元復習課的目標視角不宜過大，應注重核心問題、課標要求.

1. 課標的視角：重視過程體驗和數學活動經驗的積累

《課標》（2011年版）指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程……學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程……使學生體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗. ”抓住“過程教學”和“數學活動經驗積累”，讓單元復習課擺脫“題海戰術”的舊模式，上出新意.

本節課圍繞著一條拋物線y=x2-2x-3，讓學生充分經歷了二次函數的概念、圖像、性質等基礎知識的復習過程；讓學生經歷“想圖形、畫圖形、算圖形”的全過程，層層遞進，促進思考自變量在不同取值范圍下的函數增減性，體驗“形”的重要性；借助故事敘述的方式引導學生去發現由動點引起圖形變化的過程，激發學生先猜想，再求解驗證的思考過程，并通過自己的思考積累思維活動經驗，從而掌握解決動點問題的一般方法.

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志. “數學活動經驗”是在“做”中積累起來的. 教師要設計有效的數學活動，深化學生對數學的理解，對數學在實際中應用的理解.

2. 系統的視角：抓住數學的核心概念和思想方法

章建躍教授指出：“構建反映數學內在發展邏輯、符合學生數學認知規律的中學數學核心概念、思想方法結構體系，并使核心概念、思想方法在數學課堂中得到落實，是提高數學課堂教學質量和效益的突破口，同時也是數學課堂教學改革的抓手. ”單元復習課也要站在系統的角度，重新審視核心知識的地位和作用，主動構架，提高單元復習課的效率.

縱觀中學數學教材，二次函數占有極為重要的地位. 其中，有關二次函數的概念、圖像、性質和應用的討論和研究是相當充分的. 本例中，選取動點為載體，圍繞著二次函數的核心知識和動點問題展開教學，注重圖像在解決問題中的輔助作用，既使學生所學的分散知識系統化，又讓學生在經歷問題解決的過程中體驗數形結合思想和函數思想，突出了本章的核心知識和核心思想. 同時，研究函數所提供的動態的方法、數形結合思想有利于拓展學生的思維，促進學生后續學習.

3. 學生的視角：發展思維

從學生的視角來看，提升復習課的思維含量才能讓學生動起來，才能激發學生的學習欲望. 單元復習課，應該從關注考試轉變到關注學生，注重發展學生的數學思維.

比如，環節2，先讓學生猜D點的位置，然后再求解；環節3，由一個點的位置的變化，引起線段長度、圖形形狀的變化的過程，讓學生先通過觀察圖形猜線段的最大值，猜平行四邊形的個數，目的是為了引導學生關注運動趨勢去猜測，猜測是為了激發學生的思維，先猜再求解驗證，這是動點教學的一般方法. 然后將“點在線段上運動”變化到“點在射線上運動”，繼續引導學生進行分類討論解決問題，體會分類思想. 這樣設計，不僅讓學生直觀感知了數形結合意識，也突出了解決動點問題的一般方法的思考途徑，同時在解決問題中，滲透了函數思想和化歸思想，有利于培養學生良好的思維習慣，從而發展數學思維.