數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在抽象概念教學(xué)中的作用

【摘 要】在經(jīng)歷將近20年高中數(shù)學(xué)教學(xué)后， 筆者又開始了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)，教學(xué)理念和教學(xué)方法發(fā)生了很大的變化，尤其對(duì)抽象概念的教學(xué)有了更深刻的認(rèn)識(shí)。筆者從借助學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的順利對(duì)接、實(shí)現(xiàn)新概念的自然同化、促進(jìn)新范式的自然形成等方面闡述了對(duì)函數(shù)概念教學(xué)的一些體會(huì)。越是抽象的概念，越應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把根扎在已有的認(rèn)知體系上。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；抽象概念；自然對(duì)接

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）06-0000-00

【作者簡(jiǎn)介】張華，南京市科利華中學(xué)（南京，210008）副校長(zhǎng)，六合區(qū)棠城學(xué)校校長(zhǎng)，中學(xué)高級(jí)教師。

中學(xué)里從初二用變化的觀點(diǎn)引入函數(shù)概念，到高中用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)重新表達(dá)，其間的邏輯發(fā)展和抽象度有所提高，可以作為抽象概念教學(xué)的一個(gè)典型樣本。在2009年之前筆者多次教過高中的函數(shù)內(nèi)容，但是始終覺得函數(shù)是“難教也難學(xué)”的內(nèi)容。在2010年，本人接觸到了一些初中老師函數(shù)教學(xué)的課例后，才得以對(duì)函數(shù)教學(xué)從源頭上開始思考。不久以后《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布，增加了“基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，使本人對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)有了一些體會(huì)，并進(jìn)而考慮推廣到抽象概念的教學(xué)問題。我認(rèn)為，抽象概念的教學(xué)關(guān)鍵在于利用學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，降低抽象概念的教學(xué)難度。

一、在引入概念時(shí)借助學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的順利對(duì)接

學(xué)習(xí)的過程就是要實(shí)現(xiàn)“新知”與“舊知”的順應(yīng)或同化。對(duì)于抽象概念而言，“新知”與“舊知”的距離較大，在同化或順應(yīng)的過程中要完成較大的跨度。因此，其學(xué)習(xí)的難度是客觀存在的。教師的任務(wù)不是避開或隱瞞這個(gè)跨度，而是盡量縮小這個(gè)跨度，在舊知識(shí)和新知識(shí)之間構(gòu)建一個(gè)順利對(duì)接的通道，使得新知識(shí)的出現(xiàn)不再突然。怎樣才能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)呢？我認(rèn)為一個(gè)行之有效的方案是：利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，縮小他們和新知識(shí)之間的能力差距和心理距離。

以“函數(shù)”概念的教學(xué)為例。雖然“函數(shù)”這個(gè)概念學(xué)生從初二就開始學(xué)習(xí)，并一直貫穿高中的全過程，前后歷時(shí)5年，但由于此概念的抽象度高、層次性強(qiáng)，學(xué)習(xí)的困難始終存在。初二時(shí)的首次接觸，是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的飛躍；高一的再度相逢，是從變化到對(duì)應(yīng)（隱含著連續(xù)變量到離散變量）的飛躍。再加上學(xué)生一進(jìn)入高中首先碰到的集合內(nèi)容就已足夠抽象，在集合內(nèi)容還沒有完全弄懂的時(shí)候，緊接著就來了函數(shù)，這容易打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，影響他們對(duì)數(shù)學(xué)的情感態(tài)度。

初中學(xué)習(xí)函數(shù)概念的最大難點(diǎn)是函數(shù)這部份知識(shí)的主要思想特點(diǎn)體現(xiàn)于一個(gè)“變”字。即研究的主要是“變量”與“變量”之間的關(guān)系，要求用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看侍和接觸相關(guān)問題。中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平是以具體形象思維為主，形式邏輯思維不強(qiáng)，他們看問題往往是靜止的、割裂的，不能很好地把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)遇到很大的困難。比如，在老師眼里，x-y=1和y=x-1的意義是非常明顯的，前者是一個(gè)方程，后者是一個(gè)函數(shù)。既可以認(rèn)為它們有完全不同的含義，也可以認(rèn)為它們是可以相互轉(zhuǎn)化的。但是對(duì)初二學(xué)生而言，這兩個(gè)都是等式或者說都是方程，沒有“函數(shù)”的概念。想讓初二學(xué)生認(rèn)識(shí)到y(tǒng)=x-1是一個(gè)函數(shù)，絕不是老師一句話的告知就能解決的。因?yàn)樵诔醵W(xué)生的經(jīng)驗(yàn)里，有代數(shù)式、有等式、有方程，絲毫沒有函數(shù)的影子。那些等式和方程，都被認(rèn)為是表示確定的值，而沒有“變化”的含義。因此，“變化”以及“隨之而變化”的觀點(diǎn)是全新的，必須重新建立。怎么建立呢？從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)開始。

學(xué)生已經(jīng)有了求“代數(shù)式的值” 的經(jīng)歷，并積累了豐富的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。比如對(duì)于y=x-1，給定一個(gè)x值就可以算出一個(gè)y值。由此出發(fā)，可以讓他們多求出幾對(duì)（x，y）來（做這樣的事情他們的興致很高）。可以放手讓他們求，一直到他們自己認(rèn)為“不需要求了”為止。所謂“不需要求了”，就是他們能說出這樣的話：“你隨便給一個(gè)x值，我都能求出y來”。到這時(shí)，“變化”以及“隨之而變化”的觀點(diǎn)就已經(jīng)基本確立了。老師只要順?biāo)浦郏右悦鞔_和強(qiáng)化并給出規(guī)范的表述即可（初始的表述可以讓學(xué)生嘗試，最終的表述必須老師給出），至此函數(shù)的概念已自然生成。

二、在鞏固概念時(shí)借助學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)新概念的自然同化

在上面用數(shù)式運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)促使“概念自然生成”后，就要變換角度鞏固概念，我認(rèn)為還是要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)。學(xué)生早已有了解二元一次方程的經(jīng)驗(yàn)（那經(jīng)驗(yàn)是豐富的），可以據(jù)此設(shè)計(jì)如下的教學(xué)過程：

老師問：方程x-y=1有解嗎？

學(xué)生在思考、討論后一般會(huì)回答有解，比如x=2，y=1就是解。

老師再追問：有多少解？（以下回歸到y(tǒng)=x-1）……

在這里，由x值代入都可以求出相應(yīng)x-y值，且在x的變化過程中，對(duì)于任意一個(gè)x值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，學(xué)生在此可以清晰地體驗(yàn)到“對(duì)應(yīng)”的含義。這正是函數(shù)概念的核心所在。學(xué)生能把用“求值”來領(lǐng)會(huì)“對(duì)應(yīng)”，就是實(shí)現(xiàn)了對(duì)函數(shù)概念的同化，在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中加入了函數(shù)概念。

仔細(xì)盤點(diǎn)一下，初中學(xué)生曾經(jīng)經(jīng)歷過的“隨之而變化”經(jīng)驗(yàn)還有一些，比如兩個(gè)角互余、互補(bǔ)、互為相反數(shù)、互為倒數(shù)、平方、平方根，以及實(shí)際問題中的時(shí)間與行程、數(shù)量與總價(jià)、速度與用時(shí)等等，這些都是學(xué)生寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，都可以選來作為函數(shù)概念的生長(zhǎng)點(diǎn)。如果教師能注意把這些用起來，讓函數(shù)概念從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中自然生成，學(xué)生生就不會(huì)感到陌生和突然，也就能順利地接受函數(shù)概念，并把函數(shù)知識(shí)盡快地內(nèi)化到自己已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去。

三、在概念的發(fā)展中借助學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)新范式的自然形成

教材在處理函數(shù)概念時(shí)，把函數(shù)概念分為兩個(gè)階段：初中階段和高中階段。常常遇到的疑問是：初中已經(jīng)有了函數(shù)概念，而且花了很大的力氣去學(xué)習(xí)它。到了高中為什么又要重新學(xué)這個(gè)概念？這樣的學(xué)習(xí)有意義嗎？

經(jīng)過分析我們發(fā)現(xiàn)，高中與初中教材上的函數(shù)定義，其本質(zhì)上是一致的，最大的區(qū)別在于兩點(diǎn)：其一，用“集合”取代了“某一范圍”；其二，用“對(duì)應(yīng)”取代了“變化”。這樣一來，教師就能把其中的奧妙看得清清楚楚了。第一，“范圍” 是個(gè)習(xí)慣說法，基本上是指一個(gè)連續(xù)的區(qū)域，而“集合”則是規(guī)范的數(shù)學(xué)名詞，既可以是連續(xù)集，也可以是離散集，更加規(guī)范也更加寬泛了。第二，“變化”并不是函數(shù)的本質(zhì)特征（比如常函數(shù)中的y值就沒有變化），新定義剝離了這個(gè)非本質(zhì)特征以后，“隨之變化”的說法也自然去除。

另一個(gè)疑問是：函數(shù)的表示法中為什么要有個(gè)列表法？它有用嗎？

在而我多年的教學(xué)中，對(duì)列表法是很不在乎的。多數(shù)的學(xué)生也認(rèn)為它“太小兒科”，有點(diǎn)不屑一顧。再想象我們?cè)谘芯繂握{(diào)性、奇偶性、反函數(shù)時(shí)對(duì)解析式的重視，以及在利用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)對(duì)圖象法的重視，用“判若云泥”來形容也不為過。

難道列表法真的就這么沒有價(jià)值嗎？

其實(shí)不然，比如：

：y是x函數(shù)嗎？

如果沒有老師的講解，初中學(xué)生很可能感到莫名其妙，或者去設(shè)法求一個(gè)表達(dá)式。只有高中的而且思維品質(zhì)比較好的學(xué)生，才會(huì)想到用定義。與解析式法和圖像法相比，列表法更直接地展現(xiàn)了“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，與集合和對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)最為接近，也與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)最為接近。特別是把上面表格給出的函數(shù)辨認(rèn)清楚以后，可以形成一個(gè)認(rèn)知模式，對(duì)于理解常函數(shù)、分段函數(shù)、定義域?yàn)殡x散數(shù)集的函數(shù)、周期函數(shù)（多對(duì)一）等等都有重要的借鑒作用。對(duì)于后面這些復(fù)雜函數(shù)而言，前述表格給出的函數(shù)就可以看做是一個(gè)重要的經(jīng)驗(yàn)。

再比如研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，都可以從前面研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，類比地去研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等等。如果不利用前面研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，則無疑是對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知體系的人為割裂。不但是浪費(fèi)了學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，也影響了他們完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，是很不應(yīng)該的。

波利亞曾說過，教學(xué)要從最簡(jiǎn)單的做起；奧蘇泊爾也說過，教育者最重要的事情是弄清楚學(xué)生已經(jīng)知道了什么。因此，了解學(xué)生的實(shí)際水平，了解他們已有的經(jīng)驗(yàn)，就是教師必須做好的工作。越是抽象的概念，越應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把根扎在已有的認(rèn)知體系上。

【參考文獻(xiàn)】

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