基于等額本金按揭貸款的脈沖增加還款模型

茹永梅(三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人文社會(huì)科學(xué)系,福建 三明 365000)

基于等額本金按揭貸款的脈沖增加還款模型

茹永梅
(三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人文社會(huì)科學(xué)系,福建 三明 365000)

為指導(dǎo)人們合理制定按揭貸款計(jì)劃,利用一階線性差分方程建立了基于等額本金按揭貸款的每隔半年還款一次的數(shù)學(xué)模型,并通過(guò)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明其在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用.

按揭貸款;等額本金還款模型;脈沖增加還款模型;數(shù)學(xué)模型

1　問(wèn)題的提出

近年來(lái),隨著我國(guó)商業(yè)住房產(chǎn)業(yè)化制度的推進(jìn)、按揭政策的放寬及居民收入水平的提高,商業(yè)住房日益成為我國(guó)居民新的消費(fèi)熱點(diǎn).房改政策、城鎮(zhèn)化趨勢(shì)和居民財(cái)富增加后,對(duì)住房需求的提升推動(dòng)了居民購(gòu)房需求的增長(zhǎng).居民購(gòu)房前,只有根據(jù)自己的收入理性地確定貸款額,了解貸款后每期的欠款額、剩下期數(shù)、總期數(shù)、每期的還款額和總還款額,及時(shí)調(diào)整投資策略,才不會(huì)在購(gòu)房中盲目貸款或造成過(guò)大壓力.目前,銀行按揭貸款已成為人們普遍采用的一種購(gòu)房方式.葉其孝依據(jù)中國(guó)人民銀行的規(guī)定建立了等額本息、等額本金、等本等息等額三種按揭貸款模型[1].錢(qián)曉莉建立了每隔6個(gè)月每月增加(或減少)還款K元的數(shù)學(xué)模型[2].文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]為人們?cè)谫?gòu)房時(shí)如何理性選擇適合自己的貸款方式提供了一定的指導(dǎo).

由于商業(yè)貸款的利率一般要比住房公積金貸款的利率高,居民在購(gòu)房時(shí)一般首選公積金按揭貸款.商業(yè)貸款中,職工每半年可將積攢下來(lái)的余款用于償還各種貸款.公積金按揭貸款中,職工每半年提取一次住房公積金用于還貸,這種還款方式稱為脈沖增加還款方式[3-4].王積建建立了基于等額本息按揭貸款的脈沖增加還款模型,但沒(méi)有考慮等額本金的情況[4].實(shí)際生活中,居民購(gòu)房時(shí)存在以等額本金為基礎(chǔ)進(jìn)行按揭貸款的情況.本文對(duì)文獻(xiàn)[4]的模型加以改進(jìn),利用文獻(xiàn)[5]中的差分方程法建立以等額本金按揭貸款為基礎(chǔ)的脈沖增加還款模型,完善脈沖增加還款模型的體系,使其更好地服務(wù)于居民購(gòu)房貸款還款的實(shí)際需求.

2　符號(hào)說(shuō)明與模型假設(shè)

2.1符號(hào)說(shuō)明

A0為貸款額(元),r為月利率,N為原計(jì)劃還款期數(shù),n為還款月數(shù),An表示第n個(gè)月后的欠款額(n∈Z,1≤n≤N,元),Hn為每月還款額(元),Ln為每月利息(元),a為每隔6個(gè)月一次性增加的還款額(元), A6m+p為第m次脈沖增加還貸后的第p個(gè)月還款后的欠款額(m=0,1,2,3,…,M;p∈Z,0

2.2模型假設(shè)

為簡(jiǎn)化問(wèn)題并建立適合一定條件下的脈沖還款模型,提出以下模型假設(shè):

(1)銀行利率在居民貸款期內(nèi)不受國(guó)家政策、通貨膨脹、經(jīng)濟(jì)危機(jī)等因素的影響,始終保持不變;

(2)居民按月計(jì)算利率和貸款期限;

(3)居民在每月最后一天還款; (4)貨幣價(jià)值在居民貸款期限內(nèi)不升值、不貶值; (5)每半年的一次性增加還款時(shí)間發(fā)生在該半年的最后一天;

3　模型的建立與求解

3.1等額本金還款模型

已知居民購(gòu)房時(shí)的本金為A0,根據(jù)銀行計(jì)利方式可建立等額本金還款模型為:

按照這種方法得到的該居民第n個(gè)月后的欠款額為:

第n個(gè)月的還款額為:

每月還款額是遞減的,遞減額為:

總期數(shù)為:

貸款額為:

月利率r為:

總還款額為:

第n個(gè)月的利息為:

總利息為:

3.2等額本金-脈沖增加還款模型

根據(jù)模型假設(shè)及3.1給出的等額本金還款模型可建立等額本金-脈沖增加還款模型為:

當(dāng)a=0時(shí),(12)式就成為(2)式,所以等額本金還款模型可看作等額本金-脈沖增加還款模型的特殊情況.

其中Nm為非負(fù)有理數(shù),并規(guī)定當(dāng)m=0時(shí),N0=N.總期數(shù)為:

3.2.3脈沖增加還款額和脈沖次數(shù).將A6M+NM=0代入(1 2)式得,每半年的增加還款額為:

脈沖次數(shù)為:

當(dāng)NM=0時(shí),脈沖次數(shù)為:

3.2.4貸款額.貸款額為:

其中M依賴于A0.如果A0未知,那么M就無(wú)法求出,因而A0就無(wú)法求出.

采用迭代思想設(shè)計(jì)一個(gè)近似算法,步驟如下:

(1)給定N,取n=1,給定Hn,由(6)式可得不脈沖情況下的貸款額A0;

(2)給定a,由(17)式可得脈沖情況下的M;

3.2.5還款額和總還款額.如果第n期不是最后一期,則第n期的還款額為:

規(guī)定當(dāng)m=0, p=0時(shí),H0=0.

如果第n期是最后一期,則第n期的還款額分類討論如下:

則

正常月比脈沖月的遞減額為:

正常月的遞減額為:

總還款額分類討論如下:

3.2.6利息和總利息.如果第n期不是最后一期,則第n期的利息為:

規(guī)定:當(dāng)m=0, p=0時(shí),L0=0.

如果第n期是最后一期,則第n期的利息分類討論如下:

總利息分類討論如下:

規(guī)定:當(dāng)m=0時(shí),r0=r.

4　應(yīng)用實(shí)例

王積建以"某對(duì)夫婦計(jì)劃公積金貸款30萬(wàn)元,月利率為0.003 225,月還款能力為2 000元,10年還清,每半年可提取公積金15 500元還款"為例,研究并得到一些結(jié)論[4].本文根據(jù)所建模型,在文獻(xiàn)[4]已有結(jié)論的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究以下問(wèn)題:

(1)如果不提取公積金還款,第7個(gè)月的還款額和第7個(gè)月的利息各多少元?

(2)如果提取公積金還款,第7個(gè)月的還款額和第7個(gè)月的利息各多少元?

(3)如果提取公積金還款,那么總還款期數(shù)是多少?

(4)提取公積金還款比不提取公積金還款減少利息支出多少元?

(5)如果要求4年還清,那么每半年增加還款額必須提高至多少元?

(6)如果他們想盡可能多貸一些款,于是將每月積攢的2 000元和公積金15 500元一起全部用于還貸, 5年內(nèi)還清,那么能夠貸款多少元?

解(1)此時(shí),A0=300 000,r=0.003 225,a=0, N= 120.當(dāng)m=1, p=1時(shí),代入(19)式的第2個(gè)公式得第7個(gè)月還款額為H7=3 419.13元.代入(28)式的第2個(gè)公式得第7個(gè)月利息為L(zhǎng)7=919.13元.

(2)在(1)的基礎(chǔ)上,a=15 500,代入(19)式的第2個(gè)公式得第7個(gè)月還款額為H7=3 369.14元.代入(28)式的第2個(gè)公式得第7個(gè)月利息為L(zhǎng)7=869.14元.這樣比(原來(lái)不脈沖還款情況下)919.13元減少利息49.99元.

(3)確定m, p,使得A6m+p≤0,且A6m+p-1>0.根據(jù)(12)式,通過(guò)嘗試,當(dāng)m=10, p=0時(shí),A6m+p= -5 000≤0,而當(dāng)m=9, p=5時(shí),A6m+p=13 000>0,所以在第60個(gè)月可全部還清貸款,即只需要5年即可還清貸款.

(4)在不提取公積金還款的情況下,由(10)式可知,總利息為58 533.75元;在提取公積金還款的情況下,由(32)式可知,總利息為30 282.75元.這樣可減少利息支出28 251元.

(5)M=8, NM=0,由(15)式得a=22 500,即每半年增加還款額必須提高至22 500元.也就是說(shuō),他們除了提取15 500元公積金外,還需要額外拿出7 000元用于還貸.

(6)采用A0的迭代算法.取n=1,給定Hn=5 000,給定a=15 500+2 000X6=27 500,通過(guò)迭代,當(dāng)N=139時(shí),得A0=479 881.24,M=9.95<2X5.所以大約可貸款48萬(wàn)元,比原來(lái)多貸款18萬(wàn)元.

5　結(jié)束語(yǔ)

等額本金-脈沖增加還款模型可幫助居民根據(jù)自己的收入合理確定貸款額,并了解貸款后每期的欠款額、剩下期數(shù)、每期還款額、脈沖增加還款額等,為居民及時(shí)調(diào)整還貸方式提供依據(jù),也使得銀行貸款的透明度得以提升,從而實(shí)現(xiàn)銀行與居民購(gòu)房貸款的雙贏.

[1]葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材(五)[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,2008:52-59.

[2]錢(qián)曉莉.按揭貸款模型的研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2002,32(5):733-737.

[3]2016最新住房公積金管理?xiàng)l例全文[EB/OL].(2015-11-20)[2015-12-20].http://www.liuxiaoer.com/ct/1991.html.

[4]王積建.基于等額本息按揭貸款的脈沖增加還款模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(3):67-71.

[5]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2005:55-68.

[責(zé)任編輯:王積建]

Analysis Based on Pulse Increased Repayment Model of Average Capital Mortgage Loan

RU Yongmei
(Department of Humanities and Social Science, Sanming Vocational Technical College, Sanming, 365000, China)

In order to help people to make rational mortgage loan plan, first order linear difference equation is applied to forming the mathematics model based on average capital mortgage loan to make the repayment once every half a year. Cases will be analyzed to clarify how to employ it in economic life.

Mortgage loan; Repayment model of average capital; Pulse increased repayment model; Mathematics model

F832.4;F244.0

A

1671-4326(2016)02-0055-05

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.038

2016-01-06

茹永梅(1979-),女,陜西寶雞人,三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社會(huì)科學(xué)系講師,碩士.