試論偏微分方程數值解中塊迭代解法的應用

【摘要】本文從偏微分方程定解出發，通過對不同方法的比較，給出最佳解決方法，對偏微分方程的數值求解同時的依賴于離散方法、線性代數方程組的求解，以大型稀疏方程組的系數矩陣的塊結構性質為例，提出將ILU用于求解一類線性代數方程組，結果證明，將兩種方法結合到一起能夠有效解決此類問題，與其它方法相比，是能夠為偏微分方程提供最優參數的最佳方法。

【關鍵詞】偏微分方程 塊迭代 應用

【中圖分類號】O241.82 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）19-0021-01

在現代科學技術工程中涉及到許多數學模型，在這其中有很多數學名都能夠用偏微分方程進行描述，不僅如此，在工程技術、物理方面也能夠推導出偏微分方程。總的來說，在現代數學中，偏微分方程是非常重要的一個內容。這不僅體現在理論方面，在現實中的應用也十分廣泛，比如在流行病學、控制過程、化工循環系統等方面均有著非常廣泛的應用。由于偏微分方程在解決這些問題的時候充分考慮到了時滯、時間以及空間方面等多種的因素的影響，所以才能將實際情況反映出來，對偏微分方程的應用進行研究的具有十分重要的理論意義和現實意義。

一、基本迭代法

在求解偏微分方程的時候，一般可以分為兩個階段：首先是將偏微分方程離散化，將其轉化成代數方程組；然后對轉化后的代數方程組進行求解。求解偏微分方程的這兩個步驟是相輔相成的。原因在于在求解偏微分方程數值時，最終的精度取決于離散方法的采用。因此，在求解的過程中，應當將這兩個步驟看成一個整體，或者說，這兩個步驟本身就是一個整體。求解代數方程組能夠大大推動差分格式的研究，與此同時，對差分格式的研究對代數方程組的迭代法也有一定的借鑒作用[1]。

線性方程組：Ax=b （1）

在對此線性方程組進行求解時有兩種方法可供選擇，一種是直接法，另一種就是本文所研究的迭代法。上世紀六、七十年代主要采用的是直接法。所謂直接法，簡單來說就是通過變換系數矩陣，將原方程轉化成比較容易求解的三角或者是三對角等形式，最后再通過順代法或者是回代法等得到方程組的解，比較常用的系數矩陣變換方法有QR分解法、LU分解法等等。在精確運算的前提下，直接法能夠將任何非奇異的問題求解出來，但是該方法只對中小規模的稠密系統如（1）是有效的，但是對于特殊情況下，比如A的很多元素都是零或者是A的階數非常大，那么在求解的過程中就需要耗費大量時間。

迭代法是在算子A對某些向量的重復作用上發展而來的。上世紀中期，人們對在計算機上利用迭代法求求線性方程組的近似解展開研究，由此，研究出了許多迭代法，在求解這類方程組時發揮了重要作用。無論是哪種迭代法，它們都有一個共同的特點就是以矩陣分裂和算子的重復利用為基礎，然后逐漸逼近近似解。在這里我們需要指出，如果系數矩陣A是對稱正定而且相容次序相同，那么最好選擇逐次超松弛迭代法。從實際角度來說，按照某一條件劃分，具有某一性質的系數矩陣A在合理的重排次序下，就能夠將其整理成一個紅黑排序矩陣。如果一個矩陣是紅黑排序的，那么它也一定會擁有相容性質和相容持續。（2）表示的是方程（1）逐次超松弛迭代覺著呢的特征值和Jacobi方法迭代矩陣的特征值的關系：

如果A是對稱正定的，那么B的特征值就一定是小于1 的實數，這就是逐次超松弛迭代方法的最優松弛因子[2]，其中ω為參數，我們可以將其表示為：

二、塊ILU分解

計算線性代數方程組的不完全分解預條件，較為常用的方法就是采用高斯消元法對系數矩陣進行分解時，采取有效方法將分解過程中產生的填充去除，這樣一來，預條件矩陣M—Lu就很容易得到了，其中L和u表示的都是近似分解因子。填充的去除方法有許多標準，在這里不一一介紹。對于方程系數矩陣A，用P表示非對角位置F標集，得到A=LU—N。L和U分別是一個單位的下三角和上三角。還有一種的方法是通過填充的數值大小來確定。首先我們需要同定一個正數，如果產生填充的絕對值大于a，選擇保存。但是這種方法有一個很明顯的缺陷就是無法事先選擇一個好的a。在去除填充的時候也會遇到許多問題，比如我們根本無法預測不完全分解的因子需要多少空間存儲。為了解決這一問題，提出了雙重標準，這也是去除填充的第三個方法。固定一個a和p。在每完成一步消元時，小于a的填充就會被去除；對保存下來的填充，按照從大到小的順序，最多能夠保存p個。在這種方法下得到的預條件矩陣為ILUT。為了使ILU方法適合向量計算和并行處理，塊ILU分解也逐漸到了人們越來越多的關注。塊ILU分解簡單來說就是將塊作為分解的最小單元，包括對主對角塊求近似逆。

在現代數學中，偏微分方程是非常重要的一個內容。這不僅體現在理論方面，在現實中的應用也十分廣泛，比如在流行病學、控制過程、化工循環系統等方面均有著非常廣泛的應用。由于偏微分方程在解決這些問題的時候充分考慮到了時滯、時間以及空間方面等多種的因素的影響，所以才能將實際情況反映出來，對偏微分方程的應用進行研究的具有十分重要的理論意義和現實意義。

三、一類線性方程組考慮線性方程組：Ax=b

目前的偏微分方程的求解得到了越來越多學者的關注，在積極研究的過程中形成了許多求解方法。通常情況下，偏微分方程問題的數值的方法有兩類，一個是通過引進新的變量將其轉化為一階常微分方程組再進行求解，但是方程維數是原來的2倍；另一個是構造直接計算的數值格式，這就是我們所說的塊基本迭代法。

四、塊基本迭代法

我們可以通過構造一個收斂的方程組解的序列解求解線性方程組，迭代公式為：

如果p-1，可以將迭代公式表示為：

XK+1=GX（K）+f

其中，X、G、f均為矩陣。

定義1：設A為系數矩陣并且存在非奇異矩陣M，M為分裂矩陣，若x？鄢是（I—G）x—f的解而且也是Ax—b的唯一解，那么稱p階迭代法是相容的。

定義2：若p階迭代法得到的序列滿足條件X（n）=x？鄢，？坌x（0）∈Rn，則迭代法收斂，否則為發散。

在現代數學中，偏微分方程是非常重要的一個內容。這不僅體現在理論方面，在現實中的應用也十分廣泛，比如在流行病學、控制過程、化工循環系統等方面均有著非常廣泛的應用。由于偏微分方程在解決這些問題的時候充分考慮到了時滯、時間以及空間方面等多種的因素的影響，所以才能將實際情況反映出來，對偏微分方程的應用進行研究的具有十分重要的理論意義和現實意義。

參考文獻：

[1]劉榮花.塊迭代解法在偏微分方程數值解中的應用[J].長春師范學院學報（自然科學版），2010（3）.

[2]徐華.塊迭代解法在偏微分方程數值解中的應用[J].福建廣播電視大學學報，2009（5）.

作者簡介：

吐克孜·艾肯（1985-），女，維吾爾族，新疆喀什市人，新疆大學計算數學碩士，就職于巴音郭楞職業技術學院，研究方向：偏微分方程數值解。