“顯而易見”型問題的學習策略*

●王鵬飛

(西安市航天中學　陜西西安　710100)

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“顯而易見”型問題的學習策略*

●王鵬飛

(西安市航天中學陜西西安710100)

文章對教材中用“顯然”“容易得到”“不難看出”等詞語描述的“顯而易見”型問題作了簡明分類，并站在學習者立場上提出了相應的學習策略.

顯而易見；問題類型；學習策略

在教材中，我們常常會碰到某些用“顯然”“容易得到”“不難看出”等詞語來描述的問題，這些對編者看似“昭然可見”的問題，有些對學生卻“顯而難見”，要真正使之“彰明較著”實屬不易.“顯而易見”，并非不值一提，它給學習者留下了難得的思考空間，提供了豐富的探究素材.學習者要具體問題具體分析，采取不同的學習策略提高學習成效.

1　“顯而易見”型問題的常見類型

編者對“顯而易見”型問題的編排處理方式，通常有以下幾種：

1.1名副其實型

這類問題通常比較簡單，學生容易理解，不必占用較大篇幅細說，果真有“顯而易見”之實.

1.2篇幅受限型

這類問題可能因教材篇幅所限導致，編者采取“顯而易見”型詞語略過，讓人難覓其蹤，難解其意.

1.3知識銜接型

這類問題可能是依據課程標準照顧學生知識范圍制約而不宜深究使然，要形成對此類“顯而易見”型問題的完整認識還需要后續進一步學習.

2　“顯而易見”型問題的學習策略

作為教材使用者，要講究“顯而易見”型問題的“補白”策略，要樹立敢于質疑、勇于探究的意識，對“顯而易見”型問題應該有不為易勇、不為難怯的精神，做到知其然，更知其所以然.

2.1顯而易見，昭然若揭——變形引申

對于教材中真正昭然若揭的問題，可以采取變形、引申、推廣、應用的方法，加深這類“顯而易見”問題的研究，使其易而博、博而深，切記因易不究.

案例1[1](公理1)過不在一條直線上的3個點，有且只有1個平面(即可以確定1個平面).

這個公理刻畫了平面的性質.由這個公理，再結合初中學的“兩點確定一條直線”容易得到以下3個推論：

推論1一條直線和直線外一點確定一個平面.

推論22條相交直線確定一個平面.

推論32條平行直線確定一個平面.

公理1及其推論給出了確定平面的依據.

對于這3個推論的確容易由公理1得到，學習者應該依據公理1經歷證明推論的過程，從“容易得到”中切實體會，自我評價是否真的很容易.

學習者應該在證明的基礎上多想一想，有其他變形嗎？能引申嗎？能推廣嗎？能應用結論解決相關問題嗎？

變形logab·logba=1(其中a,b>0,a,b≠1).

引申logab·logbN=logaN.

推廣logab·logbc·logca=1(其中a,b,c>0,a,b,c≠1).

應用1)求值：log225·log34·log59；

2)求值：(log43+log83)(log32+log92)；

3)證明：logab·logbc·logca=1(其中a>0,b>0,c>0,a≠1,b≠1,c≠1).

2.2語焉不詳，難覓其蹤——彌補缺失

對于教材中語焉不詳、難覓其蹤的“顯而易見”問題，有必要究其根源，經歷知識形成、發展的過程.

案例3[1]我們知道，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫作棱臺，所以棱臺的體積可用2個棱錐的體積差來計算.計算公式如下：

其中S上，S下分別為棱臺的上、下底面積，h為高.

教材雖然說明了算法，看似顯而易見，但并沒有完整的證明.教學實踐中，對于公式的證明學生并非力所能及，對2個棱錐體積差式變形受阻，無法與公式達成統一.此時，教師要幫助學生掃除證明中的障礙.

于是

案例4[3]復數z=a+bi(其中a,b∈R)可以用直角坐標平面內的一個點Z來表示，這個點的橫坐標是a,縱坐標是b.顯然，表示實數的點都在x軸上，表示純虛數的點都在y軸上.

當用直角坐標平面內的點來表示復數時，我們稱直角坐標平面為復平面，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸.

在教學中，學生因教材中的“顯然”總認為“復平面虛軸上的點都表示純虛數”.對此，教師有必要條分縷析地彌補教材的缺失，消除學生的誤解：

1)實軸上的點都表示實數；

2)除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；

3)在實平面內原點是x軸與y軸的交點，在復平面內原點是實軸與虛軸的交點.

2.3深不可測，易中有難——揭紗刨底

對于在學習者知識范圍內有深度的“顯而易見”問題，刨根問底是揭開其神秘面紗的解決之道，不可知難而退，放棄有挑戰性的探究歷程.

案例5[1]不難得到S圓錐側=πrl，S圓臺側=π(r1+r2)l.

2)上、下底面半徑為r1,r2(其中r1

即

又l=l2-l1，于是

π(r1+r2)l.

聯想1曲邊梯形的面積

聯想2由相似形可得

于是

(r2-r1)l1=r1l,

從而

S圓臺側=πr2l2-πr1l1=

π[(r2-r1)l1+r2l]=

π(r1+r2)l.

圖1

以上結論對任意角α都成立，即對任意角α，有

1)當任意角α的終邊在坐標軸上時，

若a=1,b=0,則x0=0,y0=1；

若a=0,b=1,則x0=-1,y0=0；

若a=-1,b=0,則x0=0,y0=-1；

若a=0,b=-1,則x0=1,y0=0.

2)當任意角α的終邊在某個象限時，由平面幾何知識可知，Rt△OPM≌Rt△P′OM′，從而

|OM′|=|PM|,|P′M′|=|OM|,

即

|x0|=|b|，|y0|=|a|.

又由點P′與直線OP:bx-ay=0的位置關系可知bx0-ay0<0，從而

2.4知識所限，極為不易——適度拓展

對超越知識范圍的、后續也會遇到的“顯而易見”問題，可采取特例驗證、合情推理，或適度拓展、化難為易，或暫時擱置、待機再研的策略.

案例7[5]若A1,A2,A3中任意2個都是互斥事件，容易看出，

P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

要真正弄清楚“容易看出”中的道理，可參考以下方法：

1)特例驗證法.

依據教材例1在一個健身房里，用拉力器進行鍛煉時，需要選取2個質量盤裝在拉力器上.有2個裝質量盤的箱子，每個箱子中都裝有4個不同的質量盤：2.5 kg,5 kg,10 kg和20 kg，每次都隨機地從2個箱子中各取1個質量盤裝在拉力器上后，再拉動這個拉力器.

P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

2)適度拓展法.

適度補充事件運算、事件關系等相關知識，明確“和事件”“2個事件互斥”“多個事件彼此互斥”的涵義，對2個互斥事件至少有1個發生的概率公式進行推廣.

3)暫時擱置法.

給學生留下思考空間和期待，事件運算、事件關系、和事件概率公式等待大學課程進一步研究.

“顯而易見”問題在教材中并不鮮見，認為其淺顯易懂、無需耗費精力,刨根問底不是一種科學的態度.學習者不妨認真地問問自己：我真的知道嗎？越是顯而易見的問題，越值得學習者玩味.房龍曾說：“世間萬物，唯有真理離我們最遠”.要縮短與真理的距離，唯有養成嚴謹、求實的學風，從司空見慣的小問題探尋大道理，讓“顯而易見”名副其實.

[1]嚴仕健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書·數學2(必修)[M].北京:北京師范大學出版社,2014.

[2]嚴仕健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書·數學1(必修)[M].北京:北京師范大學出版社,2014.

[3]嚴仕健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-2)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

[4]嚴仕健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書·數學4(必修)[M].北京:北京師范大學出版社,2015.

[5]嚴仕健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書·數學3(必修)[M].北京:北京師范大學出版社,2015.

*收文日期：2016-05-04；2016-06-10

王鵬飛(1964-)，男，陜西商州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

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1003-6407(2016)08-09-04