大道至簡　悟者天成*
——2016年浙江省數學高考試題簡析及有關高考復習的思考

●朱偉義

(浙江師范大學　浙江金華　321004)

●曹鳳山

(浙江師范大學特級教師流動工作站　浙江金華　321004)

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大道至簡悟者天成*

——2016年浙江省數學高考試題簡析及有關高考復習的思考

●朱偉義

(浙江師范大學浙江金華321004)

●曹鳳山

(浙江師范大學特級教師流動工作站浙江金華321004)

2016年浙江省數學高考試題穩定中創新，簡約而不簡單，全面考查基礎知識、基本技能，深入考查數學本質，體現數學核心素養考查的特色.數學高考復習只有扎根基礎，引導學生理解本質，提高思維能力，方能以不變應萬變，完勝高考，成就教與學.

數學本質;高考復習;解題

從拍案叫絕到劍走偏鋒，對浙江省數學高考試題冰火兩重天的評價已司空見慣.從2004年浙江省自主命題以來，在教與考不斷地博弈、碰撞、共進中，考生、學校、社會各方面的寬容度不斷提升，無論褒貶，大家都是一個目標——更好地教、更好地考，培養選拔更多、更好的學生.

認真做一遍而不是看一眼高考試題，沉下心來從昨天的現實與明天的需求分析、反思，會有更多真實的認識.客觀地說，2016年浙江省數學高考試題傳承自主命題以來簡約、大氣的特點，微調布局，不斷尋求新的知識交匯點，在全面考查基礎知識、基本技能的基礎上，減少計算量，深度考查對數學思想方法的理解，體現對數學核心素養的要求，在浙江省高考模式即將發生大變革的關鍵點，交出了一份承上啟下的優秀試卷.

1　試題簡析

1.1宏觀穩定

立足基礎，全面考——重點突出.2016年浙江省數學高考文、理科試題均保持了對知識點較大的覆蓋面，對支撐中學數學的核心內容進行了深入考查，如理科的解析幾何、立體幾何、三角函數、函數不等式以及數列等都占有較大比重；在知識的交匯點上下功夫，如理科的不等式部分，分別出現在第1，3,4,7,8,15,18題以及第19,20題等;結合解不等式、線性規劃、命題、大小比較、絕對值、向量運算及幾何意義、函數與方程、數列等有關知識.

分步設問、分層把關.理科試卷按照選擇題、填空題、解答題拾階而上，每類試題中又分檔次：選擇題第1～5題為容易題，第6，7題為中檔題，第8題最難；填空題第9～13題中規中矩，第14題稍有加重，第15題深入概念、性質考查，選拔的意圖明顯；解答題除第18題的第2)小題以及第20題，其他試題都注意了難度的控制，第20題情理之中的難度預料之外的形式，讓不少考生望而卻步.

文、理試卷繼續保持較大差異.選擇題和填空題各有2道相同，解答題中文科數列題是理科填空題第13題的延展，立體幾何選取載體一致，第2)小題要求不同，其他解答題則分道揚鑣.文科試卷難度相比2015年有所加大，也使部分文科考生亂了陣腳.

1.2內涵深厚

突出考思維，注重數學本質的理解.在近幾年“多考一點想、少考一點算”[1]的基礎上，2016年又進一步突出“想”，盡量不算、易算.理科考生會發現有些題目很難動筆“硬算”，選擇題除第7題尚有列式計算的樣式，其他題目基本沒有運算量，填空題也有類似情形.同時，數字的設計、計算已極盡簡單，突出數學概念、原理、思維能力的考查，以最簡約的形式考本質，注重對數學本質的理解.最后一道數列題，命題者惜墨如金，以極其簡約的形式給出題干，深度考查思維能力，對選拔優秀考生發揮了重要作用.大家都知道數學是玩概念的，數學是思維的體操，高考題在關鍵的位置、顯眼的試題上體現了這一點.如理科第15題.

(2016年浙江省數學高考理科試題第15題)

圖1

分析如圖1，

|a·e|+|b·e|=

|OA1|+|A1B1|=

|OB1|≤|OB|，

直角邊總不大于斜邊，共線時取等號，從而

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=10,

(a+b)2取到最大值6時，(a-b)2取到最小值4，這時

當且僅當單位向量e與向量a+b共線時等號成立.以上是文字的詳細敘述，實際解題過程中，一個圖，口算，結果很快可以得出.考后一些教師也給出了不少解法，或者講究技巧或者計算量過大，沒有從最本質的角度分析求解.

實際上，向量部分最核心的是向量的加、減運算及其幾何意義，也就是三角形法則、平行四邊形法則，以及數量積的幾何意義，抓住這些核心，問題迎刃而解.概念、原理的理解不是文字的背誦，是數字嚴密的刻畫，是具體生動的形象，是具體情境下的應用，要消化.

凸顯數學思想方法的考查，突出能力立意.寓思想方法的考查于基礎知識的考查之中，重要的思想方法在不同題型中以不同的方式重點考查，“多考一點想”的重要體現就是凸顯數學思想方法的考查.解答題每道題都會涉及數學思想方法，如理科第16題考查方程思想，第18題考查數形結合思想、分類討論思想以及轉化與化歸思想等等.數學思想方法的運用層次是數學核心素養的重要體現，考查的核心思想方法如函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等.

()

(2016年浙江省數學高考理科試題第3題)

圖2

分析首先根據數形結合思想，畫出可行域(如圖2).其次，求|AB|的長，方法多樣：①求出投影求長度；②不求投影求長度；③不求投影看長度；④直接畫圖三角板量出等等.本題實際上并不需要確定點的投影，由2條直線平行轉化為求|CD|的長，如果圖形基本準確，點C，D的坐標均為整數，結果一望而解.雖然沒有難度，解答起來也頗有味道，投入時間的多少、準確度的高低充分體現了考生的思想方法利用意識與能力.

1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

2)①求F(x)的最小值m(a);

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

(2016年浙江省數學高考理科試題第19題)

分析第1)小題中，g(x)=x2-2ax+4a-2過定點(2，2)，該定點又恰好在折線f(x)=2|x-1|右支上，根據a≥3以及函數

F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}

的定義畫出草圖(如圖3)，只要解折線右支y=2(x-1)與二次函數的右交點，即

2(x-1)=x2-2ax+4a-2,

亦即

x2-2(a+1)x+4a=0，

其中1個根已知，求解另1個根可以直接寫出x=2a，故所求x的取值范圍為[2,2a].

圖3 圖4

第2)小題中，①由于二次函數的對稱軸x=a≥3，函數的最小值取決于

min{0,g(a)}=min{0,-a2+4a-2}，

下面就是簡單地比較大小.

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)，根據圖4可以看出，最大值的可能位置有3個，只要確定

max{f(0),f(2),f(6)}=max{2,34-8a}，

問題也就很簡單.此題一題三問，含有參數，看起來挺復雜，實際上，只要思想清晰，運用數形結合、分類討論思想，不斷地轉化問題，無論是解方程或者是不等式，計算量都很少.

方法靈活多樣，重在通性通法.從第1題開始，每道題的解法就呈多樣化.如第1題，直接求解，端點代入驗證，畫圖；第2題根據性質、判定定理或者構造模型；第3題前面已有提及，解題層次相當豐富；第5題定性與定量相結合，可以利用公式一般性的推演，可以通過特殊值檢驗，……，沒有套路與題型，根據條件靈活選擇.

注重繼續學習潛能的考查.高考是選拔性考試，要選拔出具有一定學習潛能的考生繼續深造，數學語言把世界化無形為有形，正是數學語言的刻畫，幫助我們認識世界、把握世界，數學語言閱讀理解能力是繼續學習潛能的一個重要方面[2].縱觀整卷，數學氣息濃厚，符號語言突出，文字語言與圖形語言和諧搭配，3種語言的理解、轉化、互譯體現了考生之間繼續學習潛能的差異.

2　有關高考復習的思考

2.1大環境下看2017年的高考復習

2017年是浙江省新一輪高考改革的第1年，既有文、理合卷的因素，相比2016年，又有考查知識點增加的現實，加之前期選考、學考，相比往年數學的課時數都有減少，考查的整體難度相比以前應該有所降低.

基于以上分析，對絕大多數學生而言，抓基礎仍是復習的主旋律.不過高考畢竟是選拔性考試，不能指望高考試題學考化，不同層次的生源還是要考慮不同的目標與相應的難度.

2.2從數學本身看高考復習

從課改的趨勢看，在核心素養已經明確寫入《課程標準》的前提下，浙江省數學高考命題的方向是值得肯定的.現在的高考試題達到了讓題海戰術失效，但還沒有把教學引導到跳出題海.面對高考之后的一片喧囂，數學教學如何適應高考，需要有客觀的判斷、理性的思考和明智扎實的行動.

目前，高中數學課堂教學,特別是高三復習教學中出現的一些問題值得重視和反思.

講題不講數學.一些教師之所以對高考試題不欣賞，就在于“講的都不考，考的都沒講”，讓自己的學生白學3年.實際上，高考是考數學，考數學理解，考數學核心素養，考沒有見過、沒有練過的題是必須的，是選拔性考試的必然，是公平、公正的必然.不識廬山真面目，只緣身在此山中.復習時間久了有些課堂忘了復習的初心，學生做午練題、每日必做題、周練題、月考題、模擬題、沖刺題、仿真題，教師就是講題，講題，還是講題.講題是必須的，問題出在講題就是題型、套路、技巧，沒有來龍去脈，學生不知道做題為什么，依據是什么，一旦不符合題型就慌了手腳.到最后，基礎沒有掌握好，題型又對不上號，3年白學也就順理成章.基于核心素養的考查就是要考查“公式、定理都遺忘之后還保留下來的東西”，題型、設問、考查方式會更多地從數學思想方法著眼，沒有對數學的真正理解，題海戰術會吃更大的虧.

講題不講怎樣解題.一些教師真實的解題能力在報刊和網絡上得以表現，其中有很多試題的精彩解法.但是，也看到有些教師對某些試題的求解實在不敢恭維，或者脫離學生實際一味講究技巧追求“高大上”，不從基礎出發而是利用二階、三階結論等“獨門絕技”，講究“好劍”不講“功力”，或者繁難偏怪，不從本質出發，思路不自然.反映在解題教學中，解題只講“術”沒有“道”，或者只有教師“布道”而沒有讓學生“悟道”.大家都知道，傳授“術”易，引導悟“道”難.不過，高考試題萬變不離其宗，萬變是術，宗是道，道負術正，則事為勞心，道負術負，則一事無成.教師解題不從引導“悟道”著眼，學生最多“至于術”，但往往是“道不通、術不精”，面對高考“重道輕術”的考查，考生自然失去功力[3].

講速度不講質量.高一、高二新課開快車，一模、二模趕進度，高三就是一場考試連接一場考試的考試馬拉松，追求速度的結果勢必是基礎一帶而過、解題一閃而過，沒有學生“悟”的時間，結果教師講十遍學生還是不會.杜威說：“如果學生不能籌劃自己解決問題的方法，不會自己尋找出路，他就學不到什么，即使他能背出一些正確的答案，百分之百正確，他還是學不到什么.”慢點，再慢點，即使有外在的壓力，課堂也要自己的地盤自己做主，可以少講點，少做點，講深、悟透，只要抓住核心，讓學生領悟思想方法，結果就不會很差.

跟風沒有定力.首先是跟題型風，高考試題是專家們的杰作，在各個方面都堪稱典范，學生適當的演練、領悟很有必要.對高考真題“跟蹤模仿”，一個知識點被深挖，題目千篇一律，越出越難越搞越怪，一直在模仿，從不會超越，形似神已去，反復操練，直到一類題被玩壞，自己累學生也苦，最后一無所得.其次是跟模擬題的風，模擬題是一些有經驗教師智慧的結晶，貼近一線實際，對數學高考有深入的理解與把握，當然，限于人力、物力以及時間等等因素，也有一些模似題只能追求高考題的形似，不是體現在概念、原理深刻理解基礎上的考查，沒有新的考查視角和合適的背景，甚至出現錯題、超綱試題，給學生帶來不必要的負擔；還有跟風資料，或者直接被資料“綁架”，資料市場魚目混珠、參差不齊，但是，把資料上題目完成作為復習目標的教學恐怕不在少數，學生被各種資料弄得暈頭轉向，數學淹沒在資料的汪洋大海之中，搞不清楚數學是什么，要做什么、怎么做.跟風來源于不自信，來源于對高考認識的偏頗以及對數學理解、數學評價認識的偏頗.實際上，“大道至簡”，一百多個化學符號歸結了物質世界，三原色畫出了大自然的奇妙美景，數學有難度，但也沒有那么復雜，在基于核心素養考查下的高考，讓學生掌握最本質的東西才是王道.數學教師必須會解題，還要會引導學生領悟，數學教師還要看書，不僅看數學課本、復習資料，還要盡可能涉獵相關的數學史、數學教育、心理學等方面的書，提升自己的修養，就會有自己的定力，不會因為風吹草動而影響自己的課堂，不會再盲目跟風.對高考不能“領跑”，也要追求“并行”，與教材并行，與高考命題專家并行.

回歸原點，高考復習是中學教育的一個階段，也是回歸教育的根本.愛因斯坦說：“不是所有有價值的都能被計算，不是所有能計算的都有價值.”要在追求分數與培養全人之間盡力追求一種平衡，讓學生學習真正的數學，培養學生扎實的核心素養，為學生的終身發展與人生幸福奠基.

[1]曹鳳山.數學教學把根留住——2015年浙江省數學高考試題解讀[J].中學教研(數學)，2015(8)：1-4.

[2]教育部考試中心.高考數學測量理論與實踐[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]波利亞.數學發現[M].臺北：九章出版社，2000.

*收文日期：2016-06-09；2016-07-09

朱偉義(1964-),男，浙江諸暨人，教授.研究方向：數學教育與數論.

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1003-6407(2016)08-36-04