問題打破預設　師生生成探究*

●孫小龍

(如皋市第一中學　江蘇如皋　226500)

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問題打破預設師生生成探究*

●孫小龍

(如皋市第一中學江蘇如皋226500)

學生在教師預設之外提出有價值的探究性問題時，教師應珍惜這個貼近學生實際的探究性資源，并以此為契機，幫助學生建構循序漸進研究問題的思維模式，從而在探究中成長，在探究中提升學生數學學習的能力.

問題;預設;生成;探究

筆者任教的是江蘇省四星級高中高二理科實驗班，學生基礎扎實，思維活躍，有很強的質疑精神，常在預設之外提出有價值的探究性問題.筆者欣喜之余，常果斷放棄預設，與學生一起對質疑進行深入探索，共尋破解之道，共享探究之樂.如此，學生的探究體驗不斷豐富，在探究中成長，在探究中強化對三基的認識，在探究中品味數學學習的快樂.下面筆者謹以一節直線與圓復習課中“意外探究”與讀者共享.

1　課前預設，觸發問題

師：將上述問題推廣到一般情況：點P(x0,y0)在⊙C:x2+y2=r2上，求過點P的⊙C的切線方程.

生2：與剛才的方法一樣，可求得過點P的⊙C的切線方程為x0x+y0y-r2=0.

生3：還要考慮特殊情況：切線與直線PC中有一條斜率不存在的情況，即x0=0或y0=0，不過也滿足切線方程x0x+y0y-r2=0.結合以上，所求的切線方程為x0x+y0y-r2=0.

師：雖然最后切線方程可以合二為一，但不考慮特殊情況，解題就有失嚴謹.有沒有其他方法求切線方程？

由PQ⊥OP可知

(x-x0)x0+(y-y0)y0=0

從而

x0x+y0y-r2=0.

師：很好，借助向量的數量積處理垂直問題，避免了特殊情況的討論.大家仔細觀察上面的切線方程與圓的方程之間有沒有可以總結的規律？據此猜一猜經過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程應該是什么？

生5：規律是將圓方程中的平方表示成2個因式相乘的形式：其中一個x換成切點橫坐標x0，一個y換成切點縱坐標y0，這樣得到的二元一次方程即為切線方程.根據這個規律，經過圓(x-a2)+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程應該是

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

師：很好，有理有據，猜想的結論也是正確的.可參考上面的2種方法進行證明.

筆者話音剛落，有學生站起來質疑：如果點P(x0,y0)不在圓上，那么這樣表示的直線在哪兒？它與點P之間有什么聯系呢？

(一石激起千層浪，教室里靜悄悄的，學生陷入了沉思.)

2　放棄預設，生成探究

教師是該按照課前預設繼續進行，以“這個問題大家課后思考”一句話帶過，還是打破課前預設，與學生共同探討呢？開展探究性學習是培養學生思維能力的重要渠道.文獻[1]中提到取之于學生、來源于教學實際的探究性材料最適合學生，切合學生的知識水平和思維層次，學生參與度高，學生感覺自然、親切、興趣濃.這樣的探究性契機稍縱即逝，非常寶貴，值得珍惜.略一思忖，筆者決定果斷放棄課前預設，現場生成，與學生一起探究和體驗.

師：這個同學問題提得非常好，出乎我的意料，我們一起來探究這個問題.現在不能立即確定直線的位置，但能否對這條直線的位置有個粗略地預判？

生6：如果點P在圓外，應該不是過點P的切線(因為過點P有2條切線，所以不可能只有1個方程).

生7：如果點P在圓內，過點P就沒有切線；如果點P與圓心重合，那么方程(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2就不表示直線了，我認為應該限制點P與圓心重合，這樣方程才能表示直線.

師：很好，生7思考得很周到，將提出的問題進行完善，難能可貴.要確定這條直線的具體位置，可以通過研究這條直線的相關特征來定位.不妨先從簡單的圓x2+y2=r2來研究直線l：x0x+y0y-r2=0的位置特征.

下面各小組先就點P(x0,y0)在圓外時進行討論交流，并推薦一名代表發言.頓時教室內人頭攢動，爭論聲此起彼伏，探究的快樂洋溢在學生的臉上.

1)點P和圓心O的坐標均不適合方程x0x+y0y-r2=0，因此直線l不經過點P和圓心O；

2)由(x0·0+y0·0-r2)(x0x0+y0y0-r2)<0可得點O,P位于直線l的2側.

師：根據上述特征只能確定直線位置的粗略范圍，仍不能具體確定直線的位置.

師：只是進一步縮小了范圍，還不能確定，還需要進一步研究.

r2=d·OP，

即

從而△OAP∽△OAC(如圖1所示)，于是OA⊥AP，同理可得OB⊥BP，因此A,B為過點P的2條切線與⊙O的切點，故點A,B唯一確定，直線l也唯一確定.

圖1　　　　　　　　　　　　圖2

師：真的很棒，為你們的探究喝彩，為你們的探究精神鼓掌！從上面的探究可知：當點P(x0,y0)在圓外時，x0x+y0y-r2=0表示的直線為過點P的2條切線的切點連成的直線，簡稱為切點弦所在的直線.

師：當點P(x0,y0)在圓內且不與圓心重合時，直線l：x0x+y0y-r2=0又在哪里？

各小組經過片刻討論后，給出了如下類似的特征：

直線l不經過點O和點P；點O,P位于直線l的同側；OP⊥l；直線l與⊙O相離；r2=d·OP.

根據上述特征便可確定直線l的具體位置：如圖2，過點P作直線OP的垂線，交⊙O于點A,B，過點A,B作⊙O的切線交直線OP于點C，過點C作與OP垂直的直線即為方程x0x+y0y-r2=0表示的直線l.

3　問題再生，深度探究

生12：上述結論在課本上并沒有，在填空題中可以直接加以使用，但解答題應該需要詳細規范的推導過程，如何直接推導呢？

師：很好，那我們以具體的題目為例來探究直線l的推導過程.

例2已知⊙C:x2+y2-2x-4y-4=0外一點P(-4,-1)，過點P作圓的切線PA,PB，求過切點A,B的直線方程.

師：下面各小組交流討論，派代表將解法展示到黑板上.

各小組探究的積極性得到了進一步的調動，爭先恐后進行展示，筆者選擇了其中有代表性的5種方法簡略展示如下：

方法1(斜率+點)

如圖3，聯結AB交PC于點D，由對稱性可知CP⊥AB，由PA是⊙C的切線可得AC⊥PA.⊙C的方程x2+y2-2x-4=0可化為

(x-1)2+(y-2)2=9，

圖3

從而

設D(x,y)，由向量等式可得

從而

從而

因此直線AB的方程為

即

5x+3y-2=0.

方法2(斜率+d+取舍)

即

5x+3y-3m=0，

從而

解得

3m=2或3m=20.

因為點P和點C位于直線AB的2側，由線性規劃可得

(11-3m)(-23-3m)<0，

從而

-23<3m<11，

于是3m=2，故直線AB的方程為

5x+3y-2=0.

方法3(相交弦法)

由PA=PB可得點A，B在以點P為圓心、PA為半徑的圓上，從而直線AB為⊙C與⊙P的相交弦.由上述計算可知PA=5，⊙P的方程為

(x+4)2+(y+1)2=25，

結合⊙C的方程，可得直線AB的方程為

5x+3y-2=0.

方法4(相交弦法)

由圖3可知，點A，P，B，C共圓，該圓以PC為直徑，可得圓的方程為

(x+4)(x-1)+(y+1)(y-2)=0，

從而直線AB為⊙C與該圓的相交弦.結合⊙C的方程，可得直線AB的方程為

5x+3y-2=0.

方法5(方程思想)

設A(x1,y1)，B(x2,y2),由圓上一點處的切線方程可得直線PA的方程為

(x1-1)(x-1)+(y1-2)(y-2)=9，

此直線經過點P，從而

-5(x1-1)-3(y1-2)=9，

化簡可得

5x1+3y1-2=0，

同理可得

5x2+3y2-2=0.

因此點A,B均滿足方程

5x+3y-2=0，

方程5x+3y-2=0表示一條直線，而2個點確定一條直線，因此5x+3y-2=0即為直線AB的方程.

師：上面各小組從多個角度展示了直線l的求法，非常到位.課后自己設計一道點P在圓內的試題進行自我探究，相信你一定可以想到很多方法，一定會有更多收獲.

4　教后思考

1)問題是數學的心臟.問起于題，疑源于思，正如亞里士多德所言“思維從疑問和驚奇開始”.學生有疑而問體現了一種求知欲，閃爍著智慧的火花.善疑勤問，有助于培養學生獨立思考的能力.教師要把學生培養成一個有想法、敢質疑、會提問的積極思考者，要充分保護學生提問的積極性，對提出“優”問題的學生要大力表揚，鼓勵學生有疑必問[2].一個好的問題必定來源于學生深層次的思考，讓提問題、提好問題蔚然成風.讓學生在問題的引領下鞏固知識，根植方法，為持續學習注入動力，注入活力.

2)充分利用來源于教學實際的探究性資源.適時開展探究性學習，對提高學生思維能力的重要性毋庸置疑，實際操作起來最困難的是找不到適合學生的探究性材料，極易脫離學生的最近發展區，激發不起學生探究的興趣，往往有其形而失其神[3].而來源于教學實際、取之于學生的探究性材料貼近學生實際，是學生有感而發的流露，學生感覺自然、親切，此時學生的求知欲望最強烈，是開展探究性活動的最佳時機，效果不言而喻.教師要充分挖掘來源于教學實際(學生提問、學生作業等)的探究性資源，以此為契機，建構循序漸進研究問題的思維模式，增強學生自我破解問題的能力.

3)教師要有探究意識、探究精神.有了探究意識，教師才能抓住教學實踐中值得研究的問題.有了探究精神，教師自身才能主動發現探究性材料，才能經常性地開展自我探究活動，才能分辨教學實際中有價值的探究，才能在探究中幫助學生修正數學學習的思維方式，對學生探究活動的指導才能夠高屋建瓴，長此以往，必將潛移默化地提升學生的思維及解題能力.

[1]張昌盛．家常探究一條開展探究性學習的好渠道[J]．數學通報，2016(1)：43-46．

[2]趙婭芳.淺談數學課堂生成教學的實施策略[J].中學教研(數學),2008(7):10-11.

[3]張健.新課程理念下的生成性教學及其實施策略[J].中學數學教學參考,2007(19):21-23.

*收文日期：2016-04-19；2016-05-25

孫小龍(1976-)，男，江蘇如皋人，中學數學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

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1003-6407(2016)08-19-04