活躍在數學高考中的三角不等式*

●鄧群毅

(浙江大學附屬中學　浙江杭州　310007)

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活躍在數學高考中的三角不等式*

●鄧群毅

(浙江大學附屬中學浙江杭州310007)

文章借助三角不等式，對2016年浙江省數學高考試題中的向量和數列問題進行了研究,期望對讀者進行解題細節上的指導,提高對新穎問題的解決能力.通過解法展示,指出教師需要關注知識的交匯,提高對問題模式的識別能力.

三角不等式；解法；教學啟示

2016年高考已經落下帷幕，有關數學高考試題的研究正在火熱進行中，筆者發現與三角不等式有關的問題在浙江省數學高考文、理科試卷中都有呈現.經過研究，筆者得到了一些處理方法，希望對今后的解題教學能起到一定的指導作用.

1　問題呈現

縱觀2016年浙江省數學高考文、理科試卷，筆者發現以下問題與三角不等式有關:

例1已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

(2016年浙江省數學高考文科試題第15題)

(2016年浙江省數學高考理科試題第15題)

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)，n∈N*;

2)略.

(2016年浙江省數學高考理科試題第20題)

2　問題賞析

平面向量和數列是高中數學的重點內容，是學習高等數學的基礎，也是高考經常考查的熱點之一.2015年的浙江省數學高考理科試題第14題考查了絕對值三角不等式的應用，2016年的數學高考中對三角不等式的涉及面有所拓廣，與平面向量結合，強調了其應用的廣泛性，可以說是意料之外，又在情理之中.另外，2016年理科數列問題考查了對遞推不等式的處理方法，檢驗了學生選擇有效解題工具的能力.

從試題上看，三角不等式的應用主要考查學生的問題轉化和代數變形能力，用簡單的數學語言道出了“平平淡淡才是真”的真諦.

3　解題工具

本文需要用到以下絕對值三角不等式：

若x，y為2個實數，則

|x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y|.

4　問題求解

例1的解答(坐標化與絕對值三角不等式)

不妨設e=(1,0)，a=(cosα,sinα)，b=(2cosβ,2sinβ).由a·b=1得

下面分2種情況討論：

|a·e|+|b·e|=|cosα|+2|cosβ|=

由sin2α+cos2α=1得

3m2+(n-m)2=3,

于是，利用絕對值三角不等式和柯西不等式，得

|a·e|+|b·e|=|m|+|n|≤

|m|+|(n-m)+m|=

|m|+|n-m|+|m|=

2|m|+|n-m|=

利用柯西不等式的取等條件，容易檢驗等號可以成立.

評注本題巧妙地引入了坐標化方法，利用數量積的坐標運算，轉化為三角最值問題，通過利用絕對值三角不等式和柯西不等式(也可使用均值不等式)，得到了最大值.坐標化方法的引入，極大地降低了思維難度，把問題求解轉化為學生熟悉的計算問題.

例2的解答(絕對值三角不等式)

|(a+b)·e|=|a·e+b·e|≤

2邊平方，得

|a|2+2a·b+|b|2≤6，

代入已知條件|a|=1，|b|=2，得

評注1本題其實也可以使用坐標化方法處理，但是利用絕對值三角不等式處理，簡潔明了，更好地把握了問題的實質.

評注2例1和例2是一對條件與結果“互逆”的問題，但是求解的難度大不相同，互換條件和結論，也為我們平時編題提供了嘗試的方向.

例3的解答(絕對值三角不等式)

即

|an+1|≥2|an|-2,

于是

|an+1|-2≥2(|an|-2).

不斷使用上面的遞推不等式，得

|an|-2≥2(|an-1|-2)≥

22(|an-2|-2|)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

因此|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2).

評注利用絕對值三角不等式，得到顯性的遞推不等式，重復使用該不等式，最后得到數列通項絕對值的指數下界估計.

5　教學啟示

鑒于三角不等式在高考試題中的活躍表現，教師應對它加強關注，給予該解題工具應有的地位.在教學中，要關注三角不等式與哪些知識可以進行交匯、可以設計哪些數學問題.對問題模式的識別需要達到精準的程度，進而為問題解決作出快速的方向判斷.

*收文日期：2016-06-12；2016-07-05

鄧群毅(1987-)，男，浙江遂昌人，中學二級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-42-02