找尋兒童數學，打造動感課堂（七）

專欄 錢守旺專欄

找尋兒童數學，打造動感課堂（七）

錢守旺

全國著名特級教師，北師大版小學數學課標教材分冊主編，教育部國培專家，“動感課堂”的倡導者和實踐者，全國自主教育聯盟副理事長，現為北京市朝陽區教育研究中心課程室負責人，已出版個人教學專著三本，被教師們親切地稱為“有水平，沒架子的特級教師”。

策略十三　數形結合，化難為易

數形結合是數學中一種重要的思想方法，它將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使代數問題幾何化或幾何問題代數化，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。綜觀小學教材的各個學段和各個領域，適合滲透數形結合思想方法的教學內容可謂比比皆是。

1.在數的認識教學中利用數形結合

數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。

《標準》把培養學生的數感作為義務教育階段數學教育的一項重要目標。只有為學生提供充分的可感知的現實背景，才能使學生真正理解數的概念。

2.在概念學習時利用數形結合

在“中國教育學會小學數學教學專業委員會第十三屆年會”上，北京大學附屬小學的李寧老師執教的《質數與合數》一課，就很好地體現了“數形結合”思想在概念教學中的優勢。本節課教學過程清晰流暢、層次清楚、富有新意。下面是其中的教學片斷：

第一步：課前談話

引導學生欣賞參加軍訓的相片，引發方陣的問題。

第二步：提出問題

師：剛才我們提到了軍訓中的排方陣，今天李老師為每組準備了一些小方塊，你們能用上所有的小方塊擺出長方形或正方形嗎？

（學生分成七組，每組的小方塊數量分別是4、5、7、9、11、12、24）

生：能。

師：咱比一比哪一組的設計方案最多，并將設計好的方案記錄在表格里。

總塊數　每行的塊數　行數

（學生分成七組研究并記錄研究方案。教師巡視，解答學生研究過程中的問題，并注意收集學生對方案多少產生的疑惑，為引導學生進一步研究做好準備。這一環節設計的目的主要是引導學生初步建立數與形之間的感性認識，為進一步學習打基礎。）

第三步：交流并引發沖突

（1）引導學生分組匯報研究成果（教師幫助學生記錄研究成果）。

第一組：4=4×1=2×2

第二組：5=5×l

第三組：7=7×l

第四組：9=9×1=3×3

第五組：11=11×1

第六組：12=12×l=6×2=4×3

第七組：24=24×1=12×2=8×3=6×4

師：第七組太棒了！你們真了不起，設計的方案最多。你們是今天當之無愧的冠軍！

生：不公平。

（2）教師收集學生的意見并記錄下來。

教師板書學生的質疑：數的大小、奇數偶數、因數個數。

（3）教師適時評價，引發學生進一步研究。

師：相信你們說的都有各自的道理，剛才我看到了每個組的同學都在想辦法，想使方案盡可能多，但有些數擺完后，方案只有一種，有的就不止一種，我們一起來看一看。

（教師引導學生將方案中只有一種和方案不止一種的數形圖選出來，分別呈現在黑板上。）

師：那么方案的多少到底與什么有關呢？剛才老師提供的學具不公平，如果讓同學自己選你們愿意嗎？

（教師通過課堂評價有意制造矛盾沖突，由此引發學生進一步探索和研究的欲望。）

第四步：再次嘗試

首先，教師呈現再次可供選擇的塊數：46、25、59、32、36、51；

其次，各組學生分別派代表自主選擇并進行研究；

最后，引導學生交流研究體驗，發現因數的個數是影響方案多少的決定性因素。通過再次體驗，引導學生關注數與因數之間的關系。

第五步：比較歸納

首先，觀察歸納。

師：既然因數的個數是決定性因素，就讓我們共同觀察我們曾經研究過的數的因數。方案只有一種的這些數有什么特點？

（引導學生從因數的特點、因數的個數和數形圖不同的維度進行觀察。）

其次，引導學生歸納質數的概念。

最后，在學生準確歸納質數的基礎上歸納合數的概念。

以上教學片斷，教師用軍訓方陣的具體情景引出用方塊擺“方陣”的操作活動。操作生成的豐富方案引發學生思考：擺出長方形（或正方形）的多少，可能與方塊的個數是奇數還是偶數、大小或因數的個數有關。在此基礎上，教師組織學生再次操作探索“什么是影響方案多少的決定因素”，直指質數、合數概念的內涵。數與形相結合，操作與思考融為一體，幫助學生清晰地構建了質數、合數的概念。

3.在理解算理、歸納法則時利用數形結合

算理是四則運算的理論依據，它由數學概念、運算定律、運算性質等構成；運算法則是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進行的，而法則又要滿足運算定律等。所以，算理為法則提供了理論依據，法則又使算理可操作。

數軸不但將抽象的數直觀形象化，而且也有助于理解運算，將運算直觀形象化。加法就是在數軸上繼續向右數，或者看做是向右平移若干個單位；減法就是在數軸上先找到“被減數”，然后再向左數，或者看做是向左平移若干個單位；乘法就是在數軸上幾個幾個地向右數，或者把一“線段”拉長幾倍；除法就是在數軸上先找到“被除數”，然后向左幾個幾個地數，如果恰好數到0，則就是“除盡”，數了幾次，商就是幾，當不能恰好數到0，就產生了余數。

4.在解決問題時利用數形結合

小學生在解決問題的過程中，實質上是完成了兩個認識上的轉化。第一個轉化是指從紛亂的實際問題中，收集、觀察、比較、篩選出有用的信息，從而抽象成數學問題；第二個轉化是根據已抽象出來的數學問題，全面分析其中的數量關系，探索出解決問題的方法并求解。

實際問題變化多端，把它們抽象成數學問題，有的結構也較特殊，因此，對學生來講，并非所有的題目一開始就能發現其中的數量關系。如果能為學生提供一些有效的解決問題的策略，將有助于提高他們解決問題的能力和數學思維能力。

美國數學家斯蒂思曾說過，如果—個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創造性地思考問題的解法。教師要讓學生嘗試把“應用問題”畫出來，提高學生的畫圖能力。

5.在探索規律時利用數形結合

為了進一步理解倒數概念的內涵，教師可以安排快速求倒數的練習，并利用線段圖，突出一個數與它的倒數的相互依存關系及真分數、假分數的倒數和單位“1”的關系，使學生體會到單位“1”的重要地位。之后，又通過讓學生把剛才的一組組倒數作為長方形的長與寬想象長方形的環節，再次借助幾何直觀，在線段（一維）直觀的基礎上，進入面積（二維）直觀，將“圖”與“數”聯系，直觀與思辨并重，使學生獲得了比較深刻的情感體驗和學習經驗。

6.在突破難點時利用數形結合

經常使用直觀模型。在日常教學中，教師應有意識地引導學生認識多種直觀模型。例如：實物、點子圖、面積模型和數線等。這些模型在課堂上不斷呈現，可以使學生認識到在數學學習中直觀模型的重要作用。

鼓勵使用多元表征。鼓勵學生早期使用多元表征，不僅有助于培養學生用自己的方式解決問題的興趣，而且這是未來學習的基礎。

培養數形轉化意識。在日常教學中，應結合具體內容，有意識地引導學生見數想形、因形思數，使數與形結合，培養學生數形相互轉化的意識。

總之，“數”輔助“形”，可以將“數”形象化；“形”輔助“數”，可以使“數”直觀化。數形結合是一種重要的教學手段。

策略十四　善于舉例，幫助理解

南京大學鄭毓信教授曾撰文談數學教師的三項基本功，包括：善于舉例、善于提問、善于比較與優化。他首先談到的就是“善于舉例”。

1.教師舉例要符合學生的接受水平

要從學生的知識水平、理解能力、生活經歷等出發，選用學生容易觀察、便于想象的例子，或者親身經歷的事情。這樣的例子可感性強，易于理解和接受。所舉事例要淺顯、貼切、自然，富有生活氣息，語言要生動、幽默，這樣才易于促進學生對知識的理解，才易于集中學生的注意力。

2.教師舉例要恰當、確切，具有典型性和說服力

若所舉事例在同類事物中具有代表性，則對學生理解觀點具有普遍指導意義。即所舉事例既要使學生較全面、清晰地感知事物的形象和基本屬性，便于學生準確與加深理解觀點的實質，又要能啟發學生思維，提高學生分析解決問題的能力，達到舉一反三、遷移知識的效果與目的，防止就事論事。

3.教師舉例要具體而又形象

所舉的例子形式要新穎，內容要形象、具體、生動，可感性要強，表述要言簡意賅、通俗易懂、具有較強的感染力。

為了幫助學生理解乘法分配律，教師可以舉下面的例子：

a代表爸爸、b代表媽媽、×代表愛、c代表我。

（a+b）×c=a×c+b×c爸爸和媽媽愛我，也就是爸爸愛我，媽媽也愛我。或c×（a+b）=c×a+c×b，我愛爸爸和媽媽，也就是我愛爸爸，我也愛媽媽。

4.教師舉例要內容豐富、形式多樣

兩步計算的應用題，第一步需要求出的是一個“隱蔽條件”（或者說“中間問題”）。對于這樣一個既是條件，又是問題的數量，學生理解起來是很困難的。著名特級教師劉德武曾給學生舉過這樣一個例子：

“如果我們從虎坊橋出發，乘公共汽車到頤和園，有沒有直達汽車？”

“沒有。”

“那怎么辦？”

“坐15路，到動物園再倒車。”

“對！”

劉老師邊說邊在黑板上畫了一幅示意圖。

然后劉老師問學生：“虎坊橋是我們出發的起點，頤和園是到達的終點，那么動物園是起點，還是終點？”

“動物園既是起點，又是終點。它是15路的終點，又是332路的起點。”

這樣，再結合具體應用題進行分析，學生對兩步應用題的結構和思路就十分清楚了。他們在互相講題時甚至都愛說：“你先得把這道題的‘動物園’求出來。”“動物園”簡直成了隱蔽條件的代名詞。

5.舉例要能夠突出學科特點

在教學同分母分數的加法時，教師將分母比成媽媽，分子比成小孩，跟小朋友說媽媽只能有一個，所以是不會變的，不能相加，小孩的數量可以改變，所以要相加，所以，而不是

當然，比方終究只是比方，它的意義只在于幫助理解，不能代替嚴密的數學論證，但是，它的重要性確實不可小覷。

責任編輯劉玉琴