不等式的求解方法

馬影遼寧省鞍山市寶得中學

不等式的求解方法

馬影
遼寧省鞍山市寶得中學

數學方法具有以下三個基本特征:是高度的抽象性和概括性;精確性,即邏輯的嚴密性及結論的確定性,三是應用的普通性和可操作性。

一、代數法

代數方法：使用數學公式，法則解不等式.代數方法是學生解答不等式所選取的最普遍的方法,采用這種方法所使用的公式，法則包括：

(1)同號為正;不等式兩邊加上或減去同一個表達式,不等號不變;不等式兩邊同乘以分母的平方,不等號方向不變;不等式兩邊同乘以負因式,改變不等式的符號等。

(2)找到二次不等式 ax2+bx+c>0與其相應的方程ax2+bx+c=0的兩個實數根,利用公式口訣小于”兩根之間“大于”是兩根之外;或先觀察“a”的符號和△=b2-4ac的符號,并找出相應方程ax2+bx+c=0的根,再利用口訣解答不等式。

二、平方法

平方法：在解左右兩邊都帶有絕對值的不等式或保證不等式符號兩邊都是非負的情況下,一般采用兩邊同時平方。

例2.1解不等式|x-1|>|2x-1|。

解：原不等式可化為：|x-1|2>|2x-1|2,即x2-2x+1>4x2-4x+1。

所以:3x2-2x<0,所以原不等式的解集為

例2.2解不等式｜x＋3｜>｜x－5｜。

解:不等式可化為（x＋3）2>（x－5）2,即x2+6x+9>x2－10 x+25。

所以:16x>16,即x>1,所以,原不等式的解集為｛x｜x>1｝。

說明：該不等式兩邊都是非負數,所以可以對兩邊進行平方,利用|a|2=a2,從而把絕對值符號去掉。

三、圖像法

圖像法：指的是先畫出相應的函數圖像,通過圖像可以得到不等式的解答.利用“同號兩數相乘得正,異號兩數相乘得負”的原理,將一元二次不等式轉化一元一次不等式組加以解決.毫無疑問,這種解法具有極大的不完整性,這就為二次不等式的圖象法作了必要的鋪墊和準備(圖像法如表2-1)。

例3.1x2-x-6>0。

所以二次函數y=x2-x-6與x軸有兩個交點。

一元二次方程x2-x-6=0的兩個根為x1=3,x2=-2。

一元二次不等式的解為x<-2或x>3。

說明：通過例題一達到讓學生掌握圖象法解一元二次不等式的基本步驟（求根——畫圖——找解）和基本原理（數形結合）.

例3.2-x2+3x+10≥0。

分析：讓學生注意二次項系數為負時的處理方法。

解：原式可化為-x2+3x+10≤0,得：-2≤x≤5。

說明：通過圖象解法分類化歸，滲透數形結合、等數學思想,培養學生動手能力,抽象概括能力,滲透數形結合、歸納總結等系統的邏輯思維能力,培養學生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質。

四根軸法

根軸法：又叫數軸標跟法指的是利用數軸將不等式所相應方程的根在數軸上用連續的線段將它們連起來,實質上它是圖像法解不等式的簡化,用數軸分區間法來確定不等式的解集。

步驟(1)確定零點,在數軸上標出零點坐標(2)從零點上方最大的數自右向左畫出曲線,每經過兩個點改變一次曲線的方向,數軸上方的曲線對應的取值使得不等式的值為正,數軸下方的曲線對應的取值使得不等式的值為負,與x軸相交的交點取值為零點,(3)根據不等式的條件判斷解集,解集是各成立取值區間的并集,注意零點中的可能取值情況(如圖3-1)。

圖3-1　根軸法

五、零點分段法

零點分段討論法：是解決含有兩個或兩個以上絕對值不等式的問題。

例5.1求不等式 |x+2|+|x-1|>3的解集。

分析：據絕對值為零時x的取值把實數分成三個區間,再分別討論而去掉絕對值.從而轉化為不含絕對值的不等式。

故可把全體實數x分為三個部分：(1)x<-2,(2)-2≤x<1,(3) x≥1。

所以原不等式等價于下面三個不等式組：

不等式組(1)的解集是{x|x<－2}。

不等式組(2)的解集是?。

不等式組(3)的解集是{x|x>1}。

綜上可知原不等式的解集是{x|x<－2或x>1}。

說明：在用零點分段法解題時,首先求出使某些式子等于零的字母的值，然后再進行分段討論,從而達到解題的目的。

例5.2解不等式|x－1|＋|2－x|>3－x。

分析：在解題時，應先求出含絕對值中x對應的零點值,此題與上一題有所區別,不等式后邊是含有未知數的式子,但不含有絕對值,所以它非零點值。

解:由于實數1,2將數軸分成(－∞,1],(1,2],(2,＋∞)三部分,故分三個區間來討論。

(1)當x≤1時,原不等式可化為－(x－1)－(x－2)>x＋3,即x<0。故不等式的解集是{x|x<0}。

(2)當1x＋3,即x<-2。故不等式的解集是?。

(3)當x>2時,原不等式可化為(x-1)＋(x-2)>x＋3,即x>6。故不等式的解集是{x|x>6}。

綜上可知,原不等式的解集是{x|x<0或x>6}。

說明：分段討論后，所得出的解取并集后才是原不等式的解。

例5.3已知關于x的不等式|x－5|＋|x－3|

解：∵x＝5時,|x－5|＝0；x＝3時,|x－3|＝0。

(1)當x≤3時,原不等式可化為－x＋5－x＋38－2x, 由x≤3,所以－2x≥－6,故a>2。

(2)當32。

(3)當x>5時,原不等式可化為x－5＋x－32x－8> 10－8＝2,故a>2。

綜上知a>2。

說明：對于含兩個以上絕對值不等式，一般采取零點分段法。

通過這篇文章使大家對不等式的類型及主要求解方法有了進一步的認識,對這類題形更加熟悉,對不等式在培養教育學生能力上有了一定的認識.同時也鍛煉了獨立思考的精神.上面是我對一些常用的不等式解法的粗略回顧和總結,可以對一些學生有些幫助。