區域GPS高程擬合方法及實驗對比分析

張丕亞,牛沖

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院,青島 266590;2.山東省地質測繪院,濟南 250001)

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區域GPS高程擬合方法及實驗對比分析

張丕亞1,牛沖2

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院,青島 266590;2.山東省地質測繪院,濟南 250001)

在GPS測量應用中,無法直接利用GPS大地高替代正常高,必須通過高程擬合進行轉換。因此,如何利用GPS高程擬合求得正常高成為測繪應用領域研究的一個重要方向。本文在論述常用GPS高程擬合理論模型基礎上,通過實例比較分析了幾種模型的適用性及可靠性,最后得出一些有益的結論。

GPS;高程擬合;常數擬合法;曲線擬合法;曲面擬合法

0　引　言

相較于傳統大地測量,GPS測量有著速度快、精度高、操作簡單等特點,已經越來越廣泛地應用于實際測繪工作中[1]。但GPS測量采用的高程系統是大地高系統,即以參考橢球面為基準面,而我國目前采用的高程系統是正常高系統,即以似大地水準面為基準面, 若能求出兩個水準面之間的差異,即高程異常,就可以將GPS大地高轉換成正常高。

參考橢球面是一個理想化的規則球面,但是似大地水準面由于受到重力的影響,是一個不規則的曲面,所以每點的高程異常值不同,因此精確求得高程異常成為GPS高程轉換的一個關鍵因素。在較大區域內精確確定一點的高程異常比較復雜,通常需要結合重力資料、地形資料等,采用物理大地測量的理論方法解算求得高精度大地水準面,但是由于重力資料難以獲得,所以在實際工作中難以實施[2]。當測區范圍相對不大、地形起伏較小時,各方面影響因素較為接近,高程異常有一定的幾何相關性[3]。根據這個原理,可以建立相應的函數模型,進而擬合求得高程異常。GPS高程擬合的方法很多,如常數擬合法、多項式曲線擬合法、樣條曲線擬合法、Akima曲線擬合法、多項式曲面擬合法、多面函數擬合法、移動曲面擬合法、神經網絡法等[4-5]。本文在介紹常數擬合法、曲線擬合法、垂直平移法、曲面擬合法和多面函數擬合法等的基本原理基礎上,通過算例比較各方法的適用性和可靠性。

1　高程擬合的幾種方法

1.1常數擬合法

常數擬合法也稱加權平均擬合法,其基本原理是根據待擬合點周圍的若干已知點進行加權平均,求得高程異常。若測區有n個已知點,其高程異常值為ξi(i=1,2,…,n),則待擬合點的高程異常為

(1)

式中: pi=1/(Di+ε)n(n=1,2,…)為周圍已知點高程異常對待擬合點高程異常影響的權重; Di為差值點到已知點的距離; ε一般取0.01.

1.2曲線擬合模型

當GPS點成線狀分布時,可以通過數值擬合的方法根據已知點的平面坐標和高程異常構造插值函數,擬合測線方向上的似大地水準面曲線,然后據此內插求得待擬合點的高程異常,進而求出點的正常高[6]。

通常取一個m次的多項式作為插值函數來表示高程異常

(2)

各點的已知高程異常與擬合值殘差為

Ri=ξi(xi)-ξi.

(3)

令: L=[ξ1ξ2…ξn]T,β=[a1,a2,…,an]T,

β=(BTB)-1BTL.

(4)

1.3曲面擬合模型

曲面擬合法是最常用的方法之一,其基本思想是:當GPS點成面狀分布時,可以認為高程異常在一定范圍內變化平緩,根據已知點的平面坐標和高程異常擬合出測區似大地水準面,然后通過內插求得其它點的高程異常,進而求得正常高[7]。

1) 垂直平移法

垂直平移法是最簡單的高程轉換方法,基本原理是利用若干個已知點的平均高程異常獲得其它點的高程異常,進而推求正常高,其公式為

(5)

2) 多項式曲面擬合法

當GPS測點成面狀區域分布時,常用的擬合方法是多項式曲面擬合法,包括二次曲面擬合法、三次曲面擬合法等。其中用的比較多的是二次曲面擬合法,其公式為

ξ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4y2+a5xy.

(6)

總誤差方程式為

V=BX-L,

(7)

式中: V=[v1v2…vn]T;

X=[a0a1a2a3a4a5]T;

L=[ξ1ξ2…ξn]T;

根據最小二乘原理,可以求得其待定系數,即:

X=(BTB)-1BTL.

(8)

3) 多面函數擬合法

多面函數擬合法的基本原理是:任何數學表面和任何不規則的圓滑表面,總可以利用一系列規則的數學表面的總和以任意精度逼近[8]。即在每個待擬合點上同所有的已知點建立函數關系,并將這些多面函數的值疊加起來,以獲得最佳的曲面擬合值。高程異常函數表達式為

(9)

式中:ai為待定系數;Q(x,y,xi,yi)為核函數;x、y和xi、yt分別為待擬合點和已知點的坐標。核函數有多種形式,通常選取二次函數Q(x,y,xi,yi)=[(x-xi)2+(y-yi)2+δ]1/2,δ選取0.01.

令:

L=[ξ1ξ2…ξm]T,

X=[a1a2…an]T,

則根據最小二乘原理得

X=(BTB)-1BTL.

(10)

2　算例分析

2.1實驗數據

現有某區域無粗差且同精度的GPS/水準點17個(數據選自文獻[9]),其大地高、正常高、高程異常如表1所示。

表1　已知點的大地高、正常高和高程異常

2.2擬合結果

為對比分析,將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十個點作為已知點進行擬合,將11、12、13、14、15、16、17七個點作為檢核點進行檢核。通過MATLAB程序,分別采用常數擬合法、二次曲線擬合法、垂直平移法、二次曲面擬合法、多面函數法進行擬合,各模型擬合結果如表2、表3所示。

表2　各模型擬合結果

表3　各模型殘差對比

2.3結果分析

由表2、表3可以看出,本算例中,二次曲面擬合法的殘差及中誤差明顯小于其它幾種方法,精度高于其它方法,擬合效果最為理想,達到四等水準測量的要求。

常數擬合法是根據待擬合點周圍部分已知點的高程異常,加權平均求得該點的高程異常,能在一定程度上體現出地形因素對高程異常的影響;當控制點成線狀分布時可采用曲線擬合法,而在成面狀分布地區則不適合,擬合效果較差;垂直平移法由于只是簡單地用已知點平均高程異常值替代待擬合點的高程異常,所以擬合效果并不理想;核函數選取、擬合點的分布情況及特征點數等對多面函數擬合法精度影響較大,擬合效果也不是很好。

3　結束語

隨著GPS技術的發展,其各種優勢越來越明顯,在區域內用其優化甚至替代水準測量有很大的可行性。根據以上對GPS高程擬合的論述并結合具體的實驗分析,可以得到如下幾點經驗:

1) 在地形起伏不大的區域范圍內,通過選取合適的數學模型,GPS高程擬合可以獲得比較高的精度,可極大減少水準測量的工作量,提高工作效率。

2) 二次曲面擬合法所需已知點少,適合于高程變化比較平緩的區域,在實際工作中操作性較強。

3) 高程異常受多種因素影響,通過函數模型進行擬合是一種純數學方法,模型誤差不可避免。實際應用中,在模型以及計算數據選取等方面需綜合考慮各類因素的影響,應多進行比較、分析,盡可能提高擬合精度。

[1]陳安平,李紅偉.GPS高程擬合方法的比較研究[J].測繪地理信息,2013,38(3):32-35.

[2]雷曉霞.基于重力與GPS水準組合法的大地水準面精化研究[D].西安:長安大學,2005:8-15.

[3]王巖,劉茂華,黨永超,等.小地區GPS高程擬合的方法研究與實施[J].測繪通報,2012(S):66-68.

[4]高原,張恒璟,趙春江,等.多項式曲面模型在GPS高程擬合中的應用[J].測繪科學,2011,36(3):179-181.

[5]王峰,王 冉,崔錦龍,等.GPS高程擬合方法及其擬合精度對比[J].全球定位系統,2012,37(4):86-89.

[6]馬鴻煒,郭金運,李國偉,等.一種區域似大地水準面模型擬合方法分析[J].海洋測繪,2014,34(1):8-11.

[7]雷偉偉,鄭紅曉.二次曲面擬合法在區域似大地水準面精化中的應用[J].測繪與空間地理信息,2008,31(6):38-40.

[8]張紅華,孫月文.GPS高程擬合方法及精度分析[J].測繪與空間地理信息,2014,37(2):132-134.

[9]李景衛,楊蔭奎,高建,等.GPS高程擬合中多面函數及二次曲面函數的比較與分析[J].山東冶金,2006,28(3):42-43.

Study and Comparison of GPS Elevation Fitting

ZHANG Piya1,NIU Chong2

(1.SchoolofGeomatics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China;2.GeologicalSurveryingandMappingInstituteofShandongProvince,Jinan250001,China)

In the GPS measurement applications,we can’t directly use the GPS geodetic height, it must be converted by height fitting. Therefore, how to use GPS elevation fitting seek normal height is an important direction for the application research of geomatics. This paper discusses the theoretical basis of common GPS elevation fitting model, through examples of a comparative analysis of the applicability and reliability of several models, and finally draw some useful conclusions.

GPS; elevation fitting; constantfitting; curve fitting; surface fitting

2016-03-00

P228.4

A

1008-9268(2016)03-0105-04

張丕亞(1992-),男,碩士生,主要研究方向為現代測量數據處理。

牛沖(1989-),男,工程師,主要從事工程測量、變形監測等方面研究。

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.03.022

聯系人： 張丕亞E-mail:zpy2011@163.com