基于時間函數的并聯六維力傳感器量程設計*

劉琬鈺, 王志軍, 田雪珂, 崔建國, 李占賢

(華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063009)

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基于時間函數的并聯六維力傳感器量程設計*

劉琬鈺, 王志軍, 田雪珂, 崔建國, 李占賢

(華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063009)

針對并聯六維力傳感器設計與制造過程中面臨的解耦計算復雜、量程確定困難、實用性不強等問題，應用螺旋理論，推導了其受六維外力向測量分支反作用力的映射矩陣；基于工程實際，提出并建立了并聯六維力傳感器測量分支作用反力的時間函數模型；提出了一種在特定工作環境下測量分支量程的確定方法。以Stewart并聯結構為例，針對曲面打磨作業，確定了其測量分支的量程，驗證了時間函數模型的正確性和可行性。研究內容對提高并聯結構六維力傳感器的工程應用性有重要的實踐價值。

六維力傳感器; 測量分支; 時間函數; 量程

0　引　言

六維力傳感器由于能夠檢測空間力/力矩信息而在機器人、航空航天等高新技術領域有著迫切的需求[1～3]。

并聯結構在六維力傳感器設計中廣為應用[4,5]。并聯六維力傳感器測量分支的優化設計是提高其實用性的重要途徑。各向同性是目前普遍認可的優化準則[2，6]。當傳感器結構滿足該準則時獲得的平均信息量最大[7]，但這并不能說明傳感器滿足某特定工作下的測量要求。為使傳感器滿足各方向上的測量需求，王航等人提出了任務模型[8]。但任務模型會受某些結構的限制，其設定的任務條件可能影響結構穩定性，使優化過程不易實現。由于六維力傳感器的解耦計算困難[9]，很難根據任務模型確定測量分支量程，這也給其實際應用帶來困難。因此，提出一種簡單可靠的測量分支設計方法，使得六維力傳感器能夠滿足不同作業需求，是高新技術產業智能化進程中急需解決的問題。

本文推導了并聯六維力傳感器在工作時受到六維外力影響向測量分支作用反力的映射矩陣；結合工況，提出了時間函數模型的概念，建立了針對特定任務的測量分支反作用力時間函數模型；提出了一種可通用的并聯六維力傳感器測量分支量程設計方法；最后，以Stewart結構為例，針對機器人曲面打磨作業進行了測量分支量程設計。研究內容為提高六維力傳感器的實用性奠定了基礎。

1　傳感器靜力學平衡方程

圖1為并聯六維力傳感器結構示意圖。在測力平臺上建立基坐標系O-xyz，其上的測量分支球鉸點在基坐標系中的位置用矢量b1,b2,…,bn表示，固定平臺上的測量分支球鉸點在基坐標系中的位置用矢量B1,B2,…,Bn表示。

圖1　并聯六維力傳感器結構示意圖Fig 1　Structure diagram of parallel six-axis force sensor

建立測力平臺的靜力學平衡方程為

Fw=Gfn

(1)

式中Fw為作用在測力平臺上的六維外力矢量，Fw=[FxFyFzMxMyMz]T；fn為由測量分支軸向力組成的向量，fn=[f1f2…fn]T；G為測量分支軸向力到空間六維外力的映射矩陣，維數為6×n；根據螺旋理論，將G表示為[10]

(2)

將fn看做未知數，在傳感器結構非奇異，即G的列向量不相關時，靜力平衡方程有解。此時若n=6，則靜力平衡方程有唯一解；若n>6，靜力平衡方程有無窮多解，此時引入偽逆矩陣進行求解。偽逆矩陣具有唯一性[11]，它保證了方程有唯一解。

2　傳感器外力映射矩陣

六維外力作用在傳感器的測力平臺上時，若測量分支數n=6，則G為方陣，此時有偽逆矩陣G+=G-1，在式(1)兩邊同時乘以G+得

f6=G+Fw

(3)

若n>6，靜力學平衡方程有無窮多組解，則

fn=G+Fw+(I-G+G)y

(4)

式中I為 n×n維單位矩陣；y為n維任意列向量，即y=[y1y2… yn]T。

式(4)中得到的測量分支軸向力包含兩部分，分別由方程組的特解和通解組成，將其表示為

fR=G+Fw

(5)

fP=(I-G+G)y

(6)

式中特解fR為外力作用下的測量分支反作用力；通解fP為初始內力。由式(5)、(6)可得出結論:初始力fP僅與結構參數有關，在結構參數一定的情況下，分支反作用力fR受六維外力Fw影響。

由式(3)、式(5)可以看出，在測量分支數 時，作用在測力平臺上的六維外力向測量分支軸向力的傳遞關系完全由G+決定。設僅由六維外力產生的測量分支軸向力為fw，有

Fw=G+Fw

(7)

式中fw為n維向量，表示為fw=[f1w…fnw]T。稱G+為六維外力向測量分支反作用力的映射矩陣，它只與傳感器結構參數有關。

3　時間函數模型

對機器人需測量的關節進行力學分析，可知其在工作過程中理論上所受的六維外力變化情況。將Fw表示為在工作周期T內變化的函數Fw(t)為

Fw(t)=[Fx(t)Fy(t)Fz(t)Mx(t)My(t)

Mz(t)]T

(8)

結合工程實際，易知Fw(t)中各項應在T內均有定義且均為有界函數。

將式(8)帶入式(7)，則測量分支反作用力的函數表達式fw(t)為

fw(t)=G+Fw(t)=[f1w(t) …fnw(t)]T

(9)

式中fiw(t)(i=1,2,…,n)為Fw(t)中各項的代數和，則fiw(t)也在工作周期T內有定義且均為有界函數，即在定義域I=[0,T]內，存在ti0∈I和ti1∈I使得對于任意t∈I都有

fiw(ti0)≥fiw(t)≥fiw(ti1)i=1,2,…,n

(10)

設fiw(t)的最大值fiw max=fiw(ti0)，最小值fiw min=fiw(ti1)。由此，第i個測量分支在工作周期T內的作用反力fiw的范圍為[fiw min,fiw max]。通常測量分支量程應為對稱區間，且受力數值應盡量靠近量程中部。設Mi為滿足機器人正常工作時測力需求的第i個測量分支的計算量程。

當fiw min≥0時，取

Mi=[fil,fir]=[fiw min-2fiw max,2fiw max-fiw min]

(11)

當fiw max≤0時，取

習近平主席近日在亞太經合組織工商領導人峰會發表主旨演講指出，40年來，中國人民依靠自身的智慧和勤勞的雙手，在風雨中砥礪前行，迎來了從站起來、富起來到強起來的歷史飛躍，開啟了中華民族偉大復興的光輝歷程。40年來中國人民勇于探索、真抓實干、憑著一股開拓創新的拼勁，一股自力更生的韌勁，把中國建成了世界第二大經濟體，中國的面貌、中國人民的面貌發生了翻天覆地的變化。中國的今天是中國人民干出來的。

Mi=[fil,fir]=[2fiw min-fiw max,fiw max-2fiw min]

(12)

當fiw max≥0且fiw min≤0時，取

Mi=[fil,fir]=[fiw min-fiw max,fiw max-fiw min]

(13)

式(11)～式(13)中，fil為Mi的左邊界，fir為Mi的右邊界，有fir>0且|fil|=fir，則存在i=k，使得對于任意fir均有

fkr≥fir,i=1,2,…,n;k∈{1,2,…,n}

(14)

對所有測量分支取統一量程為

M=[-fkr,fkr]

(15)

4　設計實例

以Stewart并聯結構的六維力傳感器為例，針對某機器人曲面打磨作業，進行其測量分支量程的確定。

4.1工況確定

某曲面打磨作業的工作周期T為23s，對機器人待測關節進行受力分析后，得到其正常工作時理論上的受力情況，其中,空間外力函數Fx(t),Fy(t),Fz(t)的計算單位為N，函數表達式如下

(16)

(17)

(18)

其函數圖像如圖2。

圖2　待測關節外力時間函數圖Fig 2　Time function image of force on the joint under test

空間外力矩函數Mx(t),My(t),Mz(t)的計算單位為N·mm，函數表達式如下

(19)

(20)

Mz(t)=0,0≤t≤23

(21)

函數圖像如圖3。

圖3　待測關節外力矩時間函數圖Fig 3　Time function image of moment of force on the joint under test

式(16)～式(21)確定了待測關節在曲面打磨作業中的外力函數Fw(t)。六維力傳感器需滿足對Fw(t)的測量要求。

4.2基于時間函數的量程設計

Stewart并聯六維力傳感器的結構示意圖如圖4，它由上下2個平臺以及6個測量分支組成。上平臺為測力平臺，下平臺為固定平臺，在測力平臺建立基坐標系O-xyz，Ai(i=1,2,…,6為固定平臺上的球鉸點在O-xyz中的空間位置，ai(i=1,2,…,6)為測力平臺上的球鉸點在O-xyz中的空間位置。設置各結構參數如下:H為上下平臺間的高度，Ra為上平臺球鉸點所在圓周的半徑，RA為下平臺球鉸點所在圓周的半徑，α和β分別為Aj,Ak和aj,ak(j=1,2,4;k=6,3,5)在其所在圓周中所夾圓心角。

圖4　Stewart結構示意圖Fig 4　Diagram of Stewart stucture

根據式(1)，建立傳感器靜力學平衡方程

Fw=G6×6×f6

(22)

根據式(2)，矩陣G6×6可表示為

(23)

根據文獻[12]，該傳感器結構參數滿足如下關系時綜合性能最優

(24)

(25)

(26)

將外力時間函數Fw(t)和式(26)帶入式(9)，應用Matlab計算得到測量分支反作用力變化曲線如圖5。

圖5　測量分支反作用力時間函數圖Fig 5　Time function image of measurement branches reactive force

根據計算結果，由式(11)～ 式(15)，得到測量分支的統一量程為±11.83 N。依此結果進行傳感器的加工制造可滿足對該機器人在此曲面打磨作業中的力測量要求。提高了六維力傳感器的針對性和實用性。

5　結　論

1)推導了并聯六維力傳感器受六維外力向測量分支反作用力的映射矩陣；

2)結合工況，提出并建立了測量分支反作用力時間函數模型；

3)依據時間函數模型，給出一種可操作性強且通用于并聯結構的測量分支量程設計方法；

4) 以Stewart結構為例，針對機器人曲面打磨作業，對測量分支量程進行了設計，驗證了時間函數模型的可行性和正確性。

5)研究內容為提高并聯六維力傳感器的實用性及實現批量生產提供了有效的方法。

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[2]劉芳華,倪受東,張弛.一種新型大剛度高靈敏度的并聯六維力傳感器設計研究[J].機械設計與制造,2012(1):23-25.

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[8]張景柱，郭凱，徐誠.六維力傳感器靜態解耦算法應用研究[J].傳感器與微系統，2007，26(12):58-59,62.

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Design of parallel six-axis force sensor measuring range based on time function*

LIU Wan-yu, WANG Zhi-jun, TIAN Xue-ke, CUI Jian-guo, LI Zhan-xian

(School of Mechanical Engineering,North China University of Science and Technology,Tangshan 063009,China)

Aiming at issues of complex decoupling calculation,difficult to determine range and poor practicability,etc,in process of design and manufacture of parallel six-axis force sensor,mapping matrix from six-dimensional external force in space to measure axial force of branches is deduced with screw theory applied;based on engineering practice,time-function model for measuring axial force of branches by parallel structure six-axis force sensor is proposed and set up;a kind of determination method for measuring range of branches in designated work environment is put forward.Take the Stewart parallel structure for example,aimed at curve polish work,measuring range of branches measuring is determined,then validity and feasibility of time function model are verified.The research contents have important practical value to improve the engineering practicability of parallel structure six-axis force sensor.

six-axis force sensor; measurement branch; time function； measuring range

2015—10—16

國家自然科學基金資助項目(51505124)；華北理工大學研究生創新項目(2015S14)

TH 112.1；TP 242

A

1000—9787(2016)08—0080—04

劉琬鈺(1990-)，女，河北邯鄲人，碩士研究生，主要研究方向為機器人機構理論，六維力傳感器技術。

DOI:10.13873/J.1000—9787(2016)08—0080—04