三軸一體石英撓性加速度計標定數學建模與誤差分析*

趙桂玲， 郭文婧， 李　松

(遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000)

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三軸一體石英撓性加速度計標定數學建模與誤差分析*

趙桂玲， 郭文婧， 李松

(遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000)

為了提高加速度計標定精度，針對三軸一體石英撓性加速度計確定性誤差特性和工程安裝特點，基于笛卡爾空間坐標系之間的轉換，推導加速度計坐標系與載體坐標系之間的轉換矩陣，建立三種石英撓性加速度計線性標定數學模型。仿真和導航實驗結果表明：三軸一體石英撓性加速度計標定數學模型誤差引起捷聯慣性導航系統速度誤差、位置誤差和姿態誤差，且姿態誤差和位置誤差包含常值分量；所有誤差均包含舒勒周期振蕩和傅科周期振蕩，傅科周期振蕩調節舒勒周期振蕩。

石英撓性加速度計； 標定； 數學建模； 導航

0　引　言

石英撓性加速度計以其結構簡單、精度和靈敏度高、穩定性好、性/價比高等優點在航空、航天、航海、石油、測繪等領域得到快速發展和廣泛應用[1～4]。將加速度計安裝到慣性測量單元(inertial measurement unit，IMU)基座上時，由于基座支架加工的垂直度誤差以及加速度計實際輸入軸與理想輸入軸之間存在的失準角誤差，使得加速度計實際輸入軸組成的坐標系是一個非直角坐標系，然而加速度提供給慣導系統進行解算的數據應該是在統一直角坐標系下表示的比力矢量[5]。為了實現從非直角坐標系到直角坐標系的測量轉換，必須在單個加速度計元件級測試之后再進行三軸一體加速度計的組合級標定與補償。三軸一體加速度計標定模型分為線性模型、二次非線性模型、考慮失準角的模型、考慮桿臂的模型和考慮動態誤差的模型等。從補償精度和標定實驗難度出發，三軸一體石英撓性加速度計應用最多和最方便的是線性模型。石英撓性加速度計標定采用的線性數學模型主要集中在為3個安裝誤差角、6個安裝誤差角和9個安裝誤差角等幾種形式[6～10]。

無論石英撓性加速度計標定誤差模型采用何種形式，研究熱點主要集中于采用何種標定方法對石英撓性加速度計進行精確標定，鮮有對標定模型本身精確性和適用性的分析與研究。針對石英撓性加速度計線性標定誤差模型建立不夠精確、模型過于簡化不能滿足精度要求、模型參數過多給標定帶來一定困難等關鍵工程應用問題，以三軸一體石英撓性加速度計安裝誤差角為切入點，提出一種基于空間笛卡爾坐標系轉換的石英撓性加速度計線性標定誤差建模方法，并給出模型中各個參數的物理含義和模型的適用條件。

1　加速度計標定線性建模

單個石英撓性加速度計靜態輸入輸出標定數學模型為

Nm=Kmfm+Am0,m=x,y,z

(1)

式中Nm為加速度計的脈沖輸出，fm為加速度計比力，Km為加速度計標度因數，Am0為加速度計零偏。將三軸一體石英撓性加速度計模型合在一起寫成矢量的形式

(2)

式中

Na=[NxNyNz]T

Ka=diag[KxKyKz]T

fa=[fxfyfz]T

(3)

式中fa為比力矢量在加速度計坐標系(oa-xayaza,a系)下的投影，而慣性導航解算需要的是比力矢量在載體坐標系(ob-xbybzb，b系)下的投影fb，fb與fa之間存在如下關系

(4)

(5)

圖1　坐標系安裝示意圖Fig 1　Diagram of coordinate system installation

ia,ja,ka表示a系軸向的單位矢量，ib,jb,kb表示b系軸向的單位矢量，b系到a系的基變換公式為

(6)

b系到a系的坐標變換矩陣

(7)

簡化一：加速度計輸入軸與載體坐標系b系對應軸成小角度安裝

cosθmanb≈1,m=n=i,j,k

cosθmanb≈π/2-θmanb,m≠n;m,n=i,j,k

(8)

(9)

簡化二：加速度計輸入軸與載體坐標系b系對應軸成小角度安裝，且三個軸正交安裝

cosθmanb≈1,m=n=i,j,k

(5) 各指標主、客觀權重最優組合。根據式(12)～(17)可以求出上述主觀權重Wz，Wc和客觀權重Wb，Ws的重要程度系數α=0.518，β=0.482，根據主、客觀權重的重要性系數，最終可得各指標主、客觀權重的組合向量W={0.332，0.102，0.124，0.085，0.105，0.062，0.190}。

cosθmanb=-cosθnamb,m≠n;m,n=i,j,k

(10)

(11)

3　六位置分立式標定

為了驗證加速度計標定模型的正確性和標定模型誤差對導航結果的影響，設計六位置標定路徑對三軸一體加速度計進行標定，設計的加速度計標定路徑如圖2所示。

圖2　六位置標定路徑Fig 2　Path of six positions calibration

(12)

將式(12)代入式(5)，可得三軸一體加速度計靜態輸入輸出標定數學模型為

(13)

六個位置的加速度計脈沖輸出如表1。

表1　加速度計脈沖輸出

根據六個位置的加速度計脈沖輸出，可以計算出加速度計的輸入輸出模型參數

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

采用簡化模型的加速度計脈沖輸出在六個位置如表2。

表2　簡化模型下的加速度計脈沖輸出

根據表2的加速度計脈沖輸出，可以計算速度計標定簡化模型的零位和標度因數

(20)

(21)

采用簡化模型一的三軸一體加速度計數學模型中的安裝誤差為

(22)

采用簡化模型二的三軸一體加速度計數學模型中的安裝誤差為

(23)

將式(14)～式(17)、式(20)～式(23)計算出的加速度計標定參數分別代入式 (13)、 式(18)和式(19)，則可以根據任意加速度的脈沖輸出計算加速計的輸入比力fb。

4　模型誤差對導航的影響

4.1計算機仿真

采用六位置分立式標定方法對三軸一體石英撓性加速度計進行仿真和實驗，這里只分析簡化模型誤差對導航的影響。其中標度因數、安裝誤差和零位分別在700±10，±0.1°和20±5隨機產生。簡化的加速度計標定數學模型對導航的影響如圖3～圖8所示。

圖3　簡化模型一對姿態的影響Fig 3　Influence of simplified model 1 on attitude

圖4　簡化模型一對速度的影響Fig 4　Influence of simplified model 1 on velocity

圖5　簡化模型一對位置的影響Fig 5　Influence of simplified model 1on position

圖6　簡化模型二對姿態的影響Fig 6　Influence of simplified model 2 on attitude

圖7　簡化模型二對速度的影響Fig 7　Influence of simplified model 2 on velocity

圖8　簡化模型二對位置的影響Fig 8　Influence of simplified model 2 on position

從仿真圖可以看出：在此仿真條件下，簡化的三軸一體石英撓性加速度計標定數學模型誤差引起慣導系統速度誤差、位置誤差和姿態誤差。在7個導航參數誤差中，傅科周期振蕩調制舒勒周期振蕩，且加速度計標定簡化數學模型誤差引起姿態誤差和位置誤差的常值分量。

4.2標定與導航實驗

將石英撓性加速度計和光纖陀螺組成的捷聯慣性導航系統置于三軸慣性測試轉臺(角位置精度為3″)并預熱30 min，按照式(13)、式(18)、式(19)三種標定數學模型分別進行加速度計標定，并將標定結果代入系統進行靜態導航實驗，前13.5 h進行對準估漂，導航結果如圖9所示。采用9個安裝誤差角、6個安裝誤差角和3個安裝誤差角形式的三軸一體加速度計標定誤差模型60 h靜態定位誤差分別為4.76,5.03,15.88 n mile。采用9個安裝誤差角形式的導航結果與簡化為6個安裝誤差角形式的導航結果精度相當，其定位誤差遠遠小于簡化為3個安裝誤差角形式的定位誤差。這是因為6個安裝誤差角形式的簡化模型誤差引起的導航誤差相對于初始對準、加速度計漂移、轉臺誤差等引起的導航誤差，可忽略不計。

圖9　捷聯慣性導航系統定位誤差Fig 9　Positioning errors of strapdown inertial navigation system

5　結　論

利用空間笛卡爾坐標系變換，推導三種加速度計標定數學模型，并設計六位置標定路徑分別對三種模型進行仿真和實驗驗證，得到以下結論：1)簡化的加速度計標定數學模型誤差引起系統速度誤差、位置誤差和姿態誤差，且姿態誤差和位置誤差均包含常值分量。2)導航實驗中的定位誤差遠遠大于仿真結果，這是因為在標定和導航實驗中，不可避免地會存在陀螺誤差、轉臺定位誤差、初始對準誤差等對導航結果的影響。綜合補償效果和標定實驗的難度，對于導航級的捷聯慣性導航系統，6個安裝誤差角形式的三軸一體加速度計標數學模型是一個較為理想的選擇。

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趙桂玲(1983-)，河北滄州人，博士，講師，研究方向為慣性導航系統標定與初始對準技術。

Mathematical modeling for calibration of three-axis integration quartz flexible accelerometer and error analysis*

ZHAO Gui-ling, GUO Wen-jing, LI Song

( School of Geomatics,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China)

In order to improve precision of accelerometer calibration,aiming at certainty error characteristics and engineering installation features of three-axis integration quartz flexible accelerometer,derived and researched, the transformation matrix between accelerometer coordinate system and carrier coordinate system based on transformation of Cartesian coordinate system is deduced. Three quartz flexible accelerometers calibration mathe-matical models is established.Simulations and navigation experimental result shows that on static conditions error of calibration mathematical model cause velocity error,position error and attitude error; and attitude error and position error contain constant component;all errors contain Schuler Periodic shocks and Foucault Periodic shocks. Foucault Periodic shocks modulate Schuler Periodic shocks.

quartz flexible accelerometer; calibration; mathematical modeling; navigation

2015—10—26

國家自然科學基金資助項目(41404035)；導航位置服務國家測繪地理信息局重點實驗室開放基金資助項目(2013NL002)

U 666.1

A

1000—9787(2016)08—0015—05

DOI:10.13873/J.1000—9787(2016)08—0015—05