談中學數學中的中點與中位線定理教學

董秀山

初中數學中有關中點的知識點主要有兩個，一個是中線，另一個是三角形中位線定理。其中三角形中位線定理是初中數學學習的一個重要知識內容。

定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

那么在學生的具體學習和應用中主要出現的問題是什么呢？通過對幾屆學生的調查發現，主要是學生不知道什么時候使用定理，該怎樣使用定理。在此我給出一個基于關鍵詞思路的記憶和應用方法。首先記憶方法是找中點，通過中點直接連接到學生的知識框架中，對幾個和中點相關的知識點采取分級原則，把中點—中位線的關系定位為最高級別，學生見到中點立即反饋回中位線定理的內容。下面以初中數學的平面問題為例，說明筆者的思路，供讀者參考。

一、中點條件的給出方式

1.直接給出中點條件

例1：在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH是菱形.

分析：可以明顯地看到E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，立刻使用中位線定理，得到相應的數量關系，很容易就可以得到結論。

證明：∵E、F分別是AB、BC的中點

∴EF=1/2AC

同理：FG=BD/2，GH=AC/2，HE=BD/2.

∵AC=BD

∴EF=FG=GH=HE

∴四邊形EFGH是菱形

2.間接給出中點條件

中學數學題目中可以通過對稱性給出中點的條件，當然也還存在其他方法如通過全等證明后得到中點、等腰三角形三線合一等。無論怎么給出主意只要得到了中點，就應直接對接中位線定理，這樣也就解決了第一個問題在什么情況下使用中位線定理。

分析：先根據點A、D關于點F對稱可知點F是AD的中點，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位線，故可得出CG的長，再根據點E是AB的中點可知GE是△ABC的中位線，故可得出GE的長，由此可得出結論.

二、記憶鏈接的升華

在做題中我們發現找到中位線實際上只是完成了第一步，在解的過程中要熟知三角形中位線定理，理解中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半才是解題關鍵。因此我們要建立二級鏈接中點—中位線—三角形第三邊（知識鏈接很多此處仍強化定義中位線—第三邊為最高級別鏈接）。現在我們分析下面的例題。

例3.如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點，延長BA、NM、CD分別交于點E、F，試說明∠BEN=∠NFC.

分析：題目中很快能夠找到M、N分別是AD、BC的中點，但我們發現兩個中點無法建立有效關聯，給定的AB=CD也顯得孤立，如果沒有強化中點—中位線—三角形第三邊就會感到很棘手。現在通過強化的思路構想，我們看到中點聯系到考察的點在中位線定理，又要找第三邊，還要利用到AB=CD或根據結論證角相等想到平行線，則比較容易想到構造BD的中點，并連接中位線。

證明：連接BD取其中點O，連接OM，ON

∵O為BD的中點，M、N分別是AD、BC的中點

∴OM∥=1/2AB，ON∥=1/2CD

∴OM=ON，∠BEN=∠OMN，∠CFN=∠ONM

∴∠OMN=∠ONM

∴∠BEN=∠CFN

三、啟示與思考

數學是一門培養學生解決問題能力的學科，我們在各種事物處理中主要也是通過觀察和了解事物的特點、特性找到突破口，具體解決。希望學生通過尋求相關知識的關鍵點理解定理的本質，以此為基礎技能理解事物的本質。

參考文獻：

[1]徐堯.中位線定理與中點四邊形[J].學生之友，2012（09）.

[2]黃忠梁.構造三角形中位線巧妙解決有關中點問題[J].數理化解題研究，2013（2）.