最小二乘法的幾點研究

云南省會澤縣待補中學(xué)　浦　帥　王利娟

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最小二乘法的幾點研究

云南省會澤縣待補中學(xué)浦帥王利娟

最小二乘法是科學(xué)實驗和統(tǒng)計工作中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，解決如何從一組測量值中尋求規(guī)律，其基本原理是：成對等精度測得一組數(shù)據(jù) ，找出一條最佳的擬合曲線，使這條擬合曲線上的各點的值與測量值的差的平方和在所有擬合曲線中最小，即從一組實驗數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n）中尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x）。由于觀測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，因此不要求y=f（x）經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點，只要求所在所有給定點xi上的偏差的平方和達(dá)到最小。

最小二乘法 歷史發(fā)展 數(shù)據(jù)擬合 多項式

一、引言

十八世紀(jì)，最小二乘法就由高斯首先創(chuàng)立，成功地應(yīng)用于天文觀測和大地測量工作中。三百年來，它已廣泛應(yīng)用于科學(xué)實驗與工程技術(shù)。隨著現(xiàn)代電子計算機的普及與發(fā)展，這個古老的方法顯示出強大的生命力。

無論是經(jīng)濟管理、社會科學(xué)、醫(yī)學(xué)還是工程技術(shù)、工業(yè)實驗往往會遇到這樣的情況：實驗產(chǎn)生n組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），其中橫坐標(biāo)xi是明確的，而最小二乘法的目標(biāo)之一，根據(jù)使誤差的平方和最小的原則確定一個函數(shù)y=f（x），將這些變量聯(lián)系起來，從一類允許的函數(shù)中進行選擇并最終確定它們的系數(shù)。選擇函數(shù)的可能性是多樣的，本文從線性函數(shù)和非線性函數(shù)以及多項式函數(shù)三種形式，給出函數(shù)y=f（x）的確定方法。

二、最小二乘法的基本原理和多項式擬合

三、最小二乘法的矩陣原理

四、多項式擬合

定義4 給定數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），在取定的函數(shù)類Φ中，求P(x)∈Φ，使誤差，1，…，n ）的平方和最小，即，從幾何意義上講就是尋求與給定點的距離平方和為最小的曲線y=P（x）。這樣就把函數(shù)P（x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)P（x）的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

五、一般最小二乘擬合

多項式擬合形式比較規(guī)范，方法也比較簡單，但在實際應(yīng)用中，針對所討論問題的特點，擬合函數(shù)可能為其他類型，如指數(shù)函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)等，這就是一般最小二乘擬合問題。

六、總結(jié)

本文通過對最小二乘法的幾點研究全面介紹最小二乘法及其一些應(yīng)用，對于解決實際社會生產(chǎn)生活中的數(shù)據(jù)問題有著重要的作用。今后的學(xué)習(xí)和研究中我們將不斷深入探討，結(jié)合線性模型及正規(guī)方程的計算理論對數(shù)據(jù)進行研究，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律與問題，以彌補本文不足。

［1］賈小勇，徐傳勝，白 欣.最小二乘法的創(chuàng)立及思想方法［J］.西北大學(xué)學(xué)報，2006

［2］徐傳勝，呂建榮.亞伯拉罕·莫夫的概率思想與正態(tài)概率曲線［J］.西北大學(xué)學(xué)報，2006

ISSN2095-6711/Z01-2016-06-0182