中國城市地價波動的冪律特性

彭代彥，彭旭輝（華中科技大學經濟學院，湖北 武漢 430074）

中國城市地價波動的冪律特性

彭代彥，彭旭輝
（華中科技大學經濟學院，湖北 武漢 430074）

研究目的：實證分析中國城市地價波動的冪律特性，并比較冪指數的差異性。研究方法：最小二乘法（OLS），最大似然估計法（MLE），柯爾莫哥洛夫—斯米爾統計量。研究結果：中國城市綜合地價、商服地價、住宅地價和工業地價的增長率波動都具有冪律特性，且所估計的冪指數都接近2，但工業地價對應的冪指數明顯偏小，這些冪律規律與金融市場的冪律規律具有相似性，而冪指數卻存在顯著差異性。研究結論：城市地價波動的冪律特性是普適性的規律，能為土地市場進一步的發展完善提供有價值的政策啟示。

土地經濟；地價；冪律分布；最大似然估計；復雜系統

1　引言

土地是一種非常重要的不可移動的固定資產，地價是土地資產價值的反映。地價的波動不僅是整體經濟運行的一種重要指標，也會對企業個體及整體經濟運行產生重要影響，一定條件下甚至會對國民經濟的發展帶來長期性的阻滯效應［1］。日本在20世紀90年代的地價泡沫值得各國吸取教訓，在泡沫破滅之前日本的平均地價從1981年到1991年增長了550%，彼時東京都的土地總價值甚至可以買下一個國家。然而在1992年地價達到峰值后，接下來的近十年中地價一直處于下跌趨勢，到2002年時平均地價相對于峰值水平下降了大約70%，泡沫經濟也由此破滅［2］，從此日本經濟一直處于低迷狀態，迎來“失去的二十年”。

最近十多年中國地價水平總體上處于波動上升的趨勢，間或有下降的年份，2008年金融危機期間地價就呈現出下降的趨勢。以中國三大重點經濟區地價水平的變化趨勢為例，環渤海、長三角及珠三角三大重點經濟區的平均地價整體上升的趨勢很明顯，但工業地價的上升趨勢卻不顯著，這大概與地方政府壓低工業地價而進行引資競爭有關；而商服用地及住宅用地的平均價格卻增長的很快，尤其是珠三角地區，其商服地價遠遠高于綜合地價；三大區域的地價水平表現出的共同特點是商服地價最高，住宅地價其次，而工業地價是最低的①分析所用數據來自中國城市地價動態監測網（http：//www.landvalue.com.cn/）。。這也就不難理解地方政府通過商服及住宅用地的出讓收入去彌補工業用地的現象了。

對于地價的波動，現有文獻多研究其決定及影響因素，既有偏重宏觀層面的，也有偏重微觀地塊交易的［3-5］。學界對房價及地價兩者相關關系的研究文獻也不少，典型的是基于時間序列的方法檢驗兩者因果關系，以及使用面板數據等方法［6-10］。然而對于地價波動規律的研究很缺乏，趙奉軍等［11］實證檢驗了中國土地交易價格的季節性并分析了季節性的根源，胡守庚等［12］基于多重分形方法的研究則發現城市地價數據主體部分服從近似對數正態分布，但兩端數據顯著偏離對數正態分布，其實兩端的數據可能是服從冪律分布的。這與Kaizoji的研究具有類似性，Kaizoji通過研究發現日本的評估地價及地價變動率均服從冪律規律［13］。那么中國城市地價的變動是否也具有冪律規律呢？這需要進一步嚴謹的實證檢驗才能得以證實。從已有文獻來看，尚未有研究對中國城市地價增長率的波動是否具有冪律特性進行系統的實證分析。地價的波動與經濟增長以及宏觀經濟的波動具有很密切的關系［14-15］，地價可作為觀察宏觀經濟運行的重要指標，其異常波動往往能提供更有價值的信息，而借助于冪律分布可以有效刻畫異常波動值的規律，所以本文對城市地價波動的冪律規律開展深入分析，旨在為城市地價的監測和調控提供依據，使土地市場的管理更為科學。

2　冪律分布估計基本方法

冪律分布是復雜系統中的一個極具普適性的經驗規律，也叫帕累托分布，最早是源于意大利經濟學家帕累托的研究工作，其不僅廣泛存在于物理學、生物學系統等自然科學領域中［16］，在經濟和金融系統中也有大量應用［17-20］。經濟學家Xavier Gabaix和物理學家Eugene Stanley等對冪律分布規律在經濟金融學中的應用方面做了大量的研究工作，發現金融系統中的股價收益率及交易量等變量都服從普適性的冪律規律［21-24］，其成果對地價波動規律的研究具有很大的借鑒作用。

冪律分布的估計通常是采用位序—規模法則進行對數化的最小二乘法來近似，常規方法是先對數據進行從大到小的排序，再用位序的對數對規模變量對數進行最小二乘估計（OLS），即：

式（1）中，i表示規模變量的排序，Si表示第i個變量的規模大小，A為常數項，α為冪指數。

冪律分布的一般形式為P（S＞x）= k / xα，其中α為冪律指數，也稱帕累托指數，k為常數?，F實情況中往往不是研究對象的所有樣本數據服從冪律分布，而只是大于某個最小臨界值的數據xi≥xmin服從冪律，即其中的上尾部分服從冪律分布。雖然常規的對數化最小二乘法（OLS）簡單方便，但這種方法存在系統性的偏誤，且對于臨界值的選取也沒有可靠的規則，大多數的研究中是截取前5%或10%的樣本進行估計，這樣的經驗處理方式主觀隨意性太大，并不科學。比較可行的方法是使用最大似然估計法（MLE），對于連續型變量的冪律分布，其冪指數的估計為：

而對于離散型變量的估計則較為復雜，一般可以用連續型變量的方法進行近似處理，得到的估計為：

為了得到擬合效果最好的模型估計結果，可以考慮通過一定的方法來保留合適的上尾，即選取合理的閾值截取分布前列的數據進行回歸。這里借鑒Aaron Clauset等［25］提出的估計冪律分布的一般化方法來確定合適的閾值。具體方法是基于MLE來估計冪律參數，并結合Kolmogorov-Smirnov檢驗構造KS統計量

這里S（x）為xi≥xmin范圍內的實際觀測數據的累積概率分布（CDF），P（x）為該范圍內估計所得的最優冪律分布模型的累積概率分布（CDF），對D最小化時所得的估計量x^min就是估計冪律分布時最合適的臨界值。

3　城市地價波動的冪律分布實證

3.1主要數據來源

本文所用實證數據主要包括城市地價數據及地價增長率數據，均來源于《中國地價網》（http：//www.landvalue.com.cn/），這些地價數據是由國土資源部的城市地價動態監測系統發布，保證了數據的完整性和科學性。該系統發布的地價數據根據代表性監測地塊的交易價格形成，相比于常規的總成交金額除以成交面積所得的平均地價更準確可靠，更重要的是還有連續發布的季度數據。本文將利用中國35個大中城市的地價增長率數據進行實證分析，數據的時間跨度為2004年第一季度到2014年第四季度。具體包括中國重點監測的35個大中城市綜合地價、商服地價、住宅地價及工業地價4類地價的監測數據。

3.2城市地價波動的實證分析

股票市場價格的收益率變動規律具有冪律特性已被不少研究所證實，且冪指數αr≈3。那么城市地價的增長率變動是否也具有類似的規律以及同樣的冪指數呢？

定義pt為某給定城市的地價，ri為城市地價的增長率，可以類似于股票收益率表示為Δt時間間隔的對數化變化，即rt= lnpt+Δt-lnpt，這里Δt為一個季度，當價格的變化很小時，可以近似的表示為離散形式的地價增長率，其實rt也可以看作是地價租金的收益率。那么城市地價增長率rt的絕對值也應該會服從如下經驗性的冪律分布規律：

冪律分布冪指數的估計很關鍵，為了加強對比性，分別使用MLE估計方法和常規的對數化OLS估計了綜合地價、商服地價、住宅地價及工業地價增長率對應的冪指數。運用Clauset等［25］提出的MLE方法進行參數估計，可以得到臨界值x^min和冪指數及相應的自助穩健標準誤，計算過程中自助抽樣的次數為1000次。估計的結果如表1所示，從表1中的估計結果來看，MLE方法與OLS方法估計的冪指數相差不是很大，但OLS估計中報告的穩健標準誤更小，而MLE方法中給出的為bootstrap穩健標準誤。另外，OLS方法得到的擬合優度都很高，這也表明對數化的OLS方法對冪律分布的近似估計效果很好，盡管存在一些偏誤，但是能夠說明問題。

同時使用非參數的方法檢驗了樣本數據是否真的服從冪律分布，采用Newman等［25］提出的判定冪律擬合好壞的p值，結果也報告于表中，該p值越大越好，表明支持樣本數據服從冪律分布的證據更充分，臨界值選為0.1，可以看到這里除了工業地價以外，其余地價類型相應的p值都大于0.1，進一步證實城市綜合地價、商服地價、住宅地價都服從冪律規律，而工業地價服從冪律的證據似乎還不充分。

表1　地價增長率冪律分布的估計Tab.1 Estimation of power-law distribution for growth rates of land prices

為了直觀的展示地價波動的規律性，給出了圖1所示的綜合地價增長率MLE估計結果的圖示，圖1縱軸為累積分布函數（CDF），坐標都經過對數化尺度變換，圖2所示為對數化的OLS估計結果，與圖1的上尾部分是一致的，其中OLS估計是選定臨界值后所得結果。

圖1　綜合地價增長率冪律分布的MLE估計Fig.1 Maximum Likelihood Estimation of power laws for growth rates of integrated land price

圖2　綜合地價增長率冪律分布的對數線性估計Fig.2 Logarithmic linear estimation of power laws for growth rates of integrated land price

估計的結果顯示，冪指數的數值都在2左右，且對數化OLS估計與MLE估計的系數結果都很接近，OLS估計的擬合優度也都很高，對于p值，除了工業地價外，其他類型地價都顯著大于0.1的臨界值，說明這些地價的波動規律確實很好的服從冪律分布。冪律分布的冪指數大小往往能反映出均勻性程度，冪指數越大則分布越均勻，相反冪指數越小則分布就更不均勻，出現極端值的可能性就更大。從各類型地價的冪指數大小來看，綜合地價對應的冪律分布指數是最大的，其波動性也就表現得最為均勻。住宅地價的冪指數與綜合地價的最為接近，其波動性也相對均勻些，因為住宅用地無論是出讓面積還是出讓金額都在整個土地出讓中占有較大比例。

深入對比三種分類地價波動規律的估計結果，可以看出商服地價和住宅地價對應的估計系數很接近，都大約等于2，且兩種估計方法所得結果均如此，這表明商服地價和住宅地價的市場運行規律是一致的。自2002年出臺《招標拍賣掛牌出讓國有土地使用權規定》之后，城市土地出讓市場不斷完善，經營性用途的商住用地大都采用更為市場化的招拍掛出讓方式，各大城市的商服用地及住宅用地的交易價格也更為市場化，所以商服地價和住宅地價波動的冪律規律趨于一致了。不過住宅地價對應的冪指數相對于商服地價偏大，原因在于住宅用地的交易規模一般更大且具有一定連續性，而商服用地的交易規模一般較小且可能存在間斷性，這樣就使得住宅地價的波動相比商服地價顯得更為均勻和平穩，即表現出住宅地價對應的冪指數相對更大一點。

工業地價變動規律的冪指數則最小，明顯與住宅地價及商服地價對應的冪指數存在較大差異，這與中國特殊的工業用地出讓模式有很大關系。很多地方工業用地雖然出讓面積很大，但市場化程度并不高，采用協議出讓方式較多，絕大數還受到地方政府的行政性干預。在中國現行的地方分權體制下，地方政府為了發展經濟有強烈的動機開展引資競爭，工業用地也就成為重要的土地引資手段，由此地方政府會傾向于極大的壓低和人為調整工業地價，甚至會出現無底線的土地引資競爭，使得工業地價遠遠偏離其真實的市場價值和運行規律。從工業地價增長率的波動情況也可以發現，大多數時候工業地價都會保持不變，而少數時期則大幅度的增長，跳躍性比較大，這種間斷性的調整往往是地方政府為維持土地引資競爭而采取的拖延性策略。所以工業地價的波動相比于商住地價更為不均勻，也更偏離工業用地真實的市場價值，這種偏離市場價值的地價波動也是工業用地利用效率低下的表現，未來應該更進一步的對工業用地的出讓市場化。

以上的實證結果很清楚的表明城市地價波動具有冪律特性，不僅綜合地價的波動服從冪律，而且細分類型的商服地價、住宅地價及工業地價都服從此規律，并且除工業地價外冪指數都接近于2，具有很大的一致性和普適性。然而地價波動的冪律特性與股價波動的冪律特性仍存在一定區別。股票價格收益率的冪律規律被稱為“反立方定律”（inverse cubic law），即冪指數約等于3，且極具普適性，時間間隔從分到月的數據都符合，對于不同市值的股票，不同時期和不同的股票市場等都存在類似規律。而以上的結果顯示城市地價增長率的冪指數大約等于2，與股價波動對應的冪指數并不一樣，這應該是由土地市場交易和股票市場交易的差異性所決定的，同時冪指數的大小也反映出地價的波動沒有股價波動表現的那么均勻。股票市場流動性大，交易過程接近完全競爭，并且是高頻交易，而土地市場的流動性很小，交易的頻次也相對較少，而且中國的土地市場很特殊，政府主導和人為干預的程度比較強，具有很大的壟斷性。這些特有的差異性使得城市地價波動冪律分布的冪指數與股價波動冪律分布的冪指數具有較大不同，然而它們所表現出的規律卻具有類似性，即都服從冪律分布規律。

從復雜系統的視角來看，城市也是一種典型的復雜系統，大量研究發現城市系統中存在普適性的標度規律，而冪律就是其中的一種典型模式［26-29］。城市地價變動實質上是城市系統自組織過程運行的結果，城市系統面臨各種資源約束和競爭，地價的變化并不是獨立運動的，而是作為城市系統自組織過程的一部分。在地價增長過程中由于存在著各種競爭機制，一個城市的地價不會無限增長或下降，增長率越大的時點出現的頻率越小，由此城市地價增長率的整體規律就表現出典型的冪律特性。工業地價冪指數與其他類型地價冪指數的差異性也是工業地價增長過程中市場競爭機制不完善的一種反映。很多研究指出了城市地價的各種決定因素，不同的地理位置、規模、資源稟賦、經濟發展和市場規制等這些因素都會決定城市地價的差異性［30-32］。盡管不同城市地價水平各有不同，同一城市不同時點的地價也不同，然而在忽略地價決定的細節因素的情況下，城市地價增長率卻仍能在整體上表現出冪律分布的共同規律。這是由于城市系統具有典型的分形幾何特性，作為城市系統一部分的地價增長過程也就具有自組織相似性，再加上城市系統內在的競爭機制的作用，地價增長率最終就表現出復雜系統中普遍存在的冪律規律。

4　結論與討論

本文基于城市地價的季度數據，使用了更為一般化的冪律估計方法對中國城市地價的波動規律進行了嚴謹的實證分析，結果發現城市地價的波動具有冪律特性，無論是綜合地價，還是細分的商服地價、住宅地價以及工業地價都具有冪律規律，而且除工業地價外冪指數都接近2，表現出很大的一致性，其中工業地價的冪指數最小，這應該與工業用地的出讓不夠市場化和競爭機制不完善有很大關系。這些規律可以說是土地市場的普適性規律，不隨城市規模大小、地理位置等個體異質性差異而變化。城市地價波動的這些統計規律雖然與股價的波動規律具有較大的類似性，但冪指數的大小存在一定差異性，主要是由于土地市場與股票市場交易的差異性所致，股票市場是接近于完全競爭的流動性市場，而中國的土地市場具有典型的壟斷性和一定的非流動性。本文的實證研究從不一樣的側面提供了城市系統以及復雜系統中冪律規律的現實證據，這些實證結果可以從經濟物理學及復雜系統自組織分形理論進行解釋。城市地價增長過程在城市系統中具有自組織相似性結構，同時受到城市系統內在競爭機制的約束作用，所以使得城市地價增長表現出冪律特性。這種規律性廣泛存在于復雜系統之中，不同類型系統所表現出的規律也都是類似的，差異性一般只是體現在冪指數的不同上面。另外，地價增長的冪律特性是自身系統中存在的普適性規律，其與城市的個體異質性以及地價的決定因素等幾乎沒有關系。

雖然還不知道城市地價波動規律的冪指數理論值為多少，但通過簡單比較仍然可以發現一些有益的政策啟示。本文的實證結果表明工業地價的冪指數明顯偏小，價格波動相對商住地價更為不均勻。商住用地大多采用更為市場化的招拍掛出讓方式，其地價變動的冪指數反映的是土地價格波動更為市場化的規律，而工業用地以協議出讓為主，其價格機制不健全，存在資源配置扭曲，工業地價變動的冪指數偏小由此也反映出對土地市場規律的偏離。所以未來土地市場管理的重要任務之一是應該進一步提升工業用地出讓的市場化水平，以提高工業用地的資源配置效率。

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（本文責編：郎海鷗）

Power Laws Features of Land Price Fluctuation in Chinese Cities

PENG Dai-yan，PENG Xu-hui
（School of Economics，Huazhong University of Science & Technology，Wuhan 430074，China）

The purpose of this study is to empirically explore the power-law features of land price fluctuation in Chinese cities，and compare the differences between the power-law exponents.The methods used include Ordinary Least Squares linear regression and Maximum Likelihood Estimation combining with Kolmogorov-Smirnov（KS）statistic.The results find that the fluctuation of growth rate of four different types of land price in Chinese cities，including integrated land price，commercial land price，residential land price and industrial land price，all obey power laws.The estimated exponents for land prices are approximately equal to two，but exponent for industrial land price is smaller.These power laws in land market are similar to those in financial market，yet they have significantly different scaling exponents.We conclude that the power-law features of land price fluctuation in Chinese cities are universal laws，and these statistical regularities can provide valuable policy implications for further improvements in land market.

land economics； land price； power-law distributions； maximum likelihood estimation； complex systems

F301.3

A

1001-8158（2016）01-0061-07

10.11994/zgtdkx.2016.01.007

2015-07-15；

2015-09-18

華中科技大學人文社會科學重大交叉研究項目（2014WZ06）；華中科技大學自主創新基金項目（2014AA046）。

彭代彥（1964-），男，湖北仙桃人，教授，博士生導師。主要研究方向為發展經濟學，福利經濟。E-mail：Pengdaiyan0880@126.com

彭旭輝（1987-），男，湖北紅安人，博士研究生。主要研究方向為土地經濟、發展經濟學。E-mail：pxhust@126.com