零點定理的推廣及其應用

俞瑩磊

[摘 要] 零點定理是微分學中一個重要的定理，在理論與實際生活中都普遍地能夠應用到，就零點定理的推廣及應用來了解零點定理的獨特魅力。

[關(guān) 鍵 詞] 零點定理；推廣；應用

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）24-0068-02

零點定理是微分學中一個重要的定理，它的一個重要的應用是研究函數(shù)零點的存在性問題。它有兩個很重要的約束條件。由于零點定理有兩個約束條件，因此導致零點定理有時得不到充分的利用。本文將從零點定理及幾何意義入手，對零點定理的推論進行探討，將其推廣與在理論和實際中應用，學以致用，將零點定理的價值充分展現(xiàn)。

一、零點定理及幾何意義

1.零點定理：一般情況下我們設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號[（即f（a）·f（b）<0），那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有函數(shù)f（x）的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ

2.幾何意義：因為f（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，因此f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的連續(xù)曲線。當f（a）和f（b）異號，且曲線的兩個端點f（a）和f（b）一個在平面直角坐標系x軸上方，一個在x軸下方，所以這條曲線必然至少經(jīng)過x軸一次。

二、零點定理的推廣

零點定理本身具有一定的局限性，首先該討論的函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的，其次該函數(shù)在閉區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值必須是異號的。將其推廣可以得到更好地運用，以下是對零點定理的推廣。

推論1（介值定理）：零點定理是介值定理的一種特殊情況。我們假設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），那么，對于f（a）與f（b）之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少會有一點ξ，使得f（ξ）=C。

推論2：設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，P，p分別為f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則對于任何C，p

三、零點定理的應用

零點定理的應用十分廣泛，不僅在理論中可以用到，在實際生活中也是極為普遍的，學知識的極高境界就是學以致用，將學到的知識運用到生活中去，使復雜的事情簡單化。以下幾個例子介紹了零點定理在理論與實際生活中的應用。

（一）理論中的應用

綜上所述：函數(shù)f（x）圖像上有且只有3個零點，即2x3+3x2-12x-10=0有且只有三個實根。

（二）生活中的應用

案例1.巧分不規(guī)則土地

問題的提出：老人有兩個兒子，還有一塊不規(guī)則的土地，他想要把這塊地分給他的兩個兒子，但是必須過土地上的任意一點才能分，問老人如何才能過這個任意點將這塊土地平分。這個題目看似很難辦到，可是如果利用高等數(shù)學中的零點定理是可以做到的。

分析：此問題的難點就是老人的土地是不規(guī)則的，可以根據(jù)建模的思想將這個問題進行轉(zhuǎn)化。

通過題目的條件，我們可以知道在一個不規(guī)則的平面上有一條沒有交叉點的封閉曲線，A點是曲線所圍圖形上任意一點。那這道題看似是分土地，實際則是求證過A點一定存在一條直線，可以將這圖形的面積分成等面積的兩份。

證明：經(jīng)過P點作任意一條直線L，可將曲線所圍圖形分成兩個部分，兩個部分的面積可分別記為S1、S2，建立平面直角坐標系。

如果兩塊面積S1=S2，則L即為可以將土地平分的直線；如果S1≠S2，則假設S1>S2（將L與x軸正向的夾角記為θ0），證明如下。

P點為中心旋轉(zhuǎn)，將L按照逆時針的方向進行旋轉(zhuǎn)，土地的面積S1、S2就能連續(xù)地隨著角θ0的變化而變化，可記為S1（θ）、S2（θ），并設f（θ）=S1（θ）-S2（θ）。

函數(shù)f（θ）在[θ0，θ0+π]上是連續(xù)的，并且在端點是異號的，則：

f（θ0）=S1（θ0）-S2（θ0）>0，

f（θ0+π）=S1（θ0+π）-S2（θ0+π）=S2（θ0）-S1（θ0）<0.

根據(jù)零點定理，必存在一點ξ∈[θ0，θ0+π]，使得f（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）。過P點作直線，使之與x軸的夾角成ξ，該直線即為所求直線。

案例2.放桌子問題

問題的提出：有一個桌子，四只腳一樣長，桌子的四只腳的連線時一個正方形，將它放在凹凸不平的光滑的曲面地上，怎樣能使它的四只腳在落地時一起放穩(wěn)。

分析：首先先建立直角坐標系，設桌子的四只腳分別為PQRS，其四只腳的交點為O，將點O設為原點，對角線PR設為X軸。桌子在轉(zhuǎn)動過程中的任一的位置對應P1Q1R1S1，由對角線P1R1和x軸的夾角α唯一確定。在不同的位置，桌子腳P、R與地面的距離之和為f（α），Q、S兩腳與地面距離和為g（α）。我們發(fā)現(xiàn)在任意位置，桌子總會有3只腳同時落地，即對任意的α，f（α）與g（α）總有一個為零。我們設g（α）=0，并將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：

設f（α），g（α）都是α的連續(xù)函數(shù)，g（α）=0，且對任意，f（α）·g（α）=0.存在α0∈（0，），使得f（α0）·g（α0）=0。

證明：將桌子轉(zhuǎn)動角度，使得對角線互換，由此可得：g（0）=0且f（0）>0；f（）=0且g（）>0.令h（α0）=f（α0）-g（α0），且h（α）在[0，]上是連續(xù)的，同時滿足h（0）>0且h（）<0。

根據(jù)零點定理，必然存在α0∈（0，）使h（α0）=0，即f（α0）=g（α0），因為f（α0）·g（α0）=0，所以f（α0）=g（α0）=0，此時桌子四腳同時落地的放穩(wěn)。

本文將零點定理進行了推廣并列舉了幾個理論上和實際生活中的例子，我們不僅看到了零點定理在數(shù)學上的理論價值，更發(fā)現(xiàn)了零點定理在生活中的應用，這樣的方式有助于我們靈活地運用有關(guān)定理解決相應的實際問題。

參考文獻：

[1]梁瑞光，郭強.介值定理在中學數(shù)學中的應用[J].長治學院學報，2005（2）.

[2]張月華.介值定理在解題中的應用[J].濮陽職業(yè)技術(shù)學院學報，2011（2）.