分析材料參數對二維固/固聲子晶體能帶結構的影響

李正偉　周　珺

（蘭州交通大學，甘肅　蘭州　730070）

分析材料參數對二維固/固聲子晶體能帶結構的影響

李正偉周珺

（蘭州交通大學，甘肅蘭州730070）

應用平面波展開法（PWE）分析了材料參數對二維固/固聲子晶體能帶結構的影響，發現散射體的剪切模量和密度是影響聲子晶體能帶結構的主要因素，楊氏模量對聲子晶體能帶結構的影響極小。當散射體的剪切模量小于基體時，聲子晶體出現了多條帶隙；反之聲子晶體的帶隙在填充率較大時出現，且與基體的剪切模量差值越大，聲子晶體的帶隙越寬。當散射體的密度小于基體時，只有在填充率較大時出現帶隙且極窄；反之，聲子晶體出現了多條帶隙。繼而采用鎢、鈹、碳、硅四種材料設計二維聲子晶體，計算結果與上述推論頗為吻合，這為設計聲子晶體在選材方面提供了理論依據。

聲子晶體；平面波展開法；能帶結構

0　引言

聲子晶體［1］的帶隙特性具有非常重要的理論價值和實際應用價值，因而受到廣泛關注。周曉敏等人［2］研究了固/固聲子晶體的聲聚焦現象；陳阿麗等人［3］結合實驗研究了二維8重固-流型準周期聲子晶體帶隙特性；Yantchev等人［4］探討了聲表面波的橫向耦合特性；Sigalas等人［5］在研究二維聲子晶體中的能帶結構時發現，相比于將高速材料散射體填充到低速材料基體中所形成的的聲子晶體，將低速材料散射體填充到高速材料基體中所形成的聲子晶體，更容易得到帶隙，且密度比越大，越容易產生帶隙。

聲子晶體是通過調節其帶隙來實現對聲波調控的。影響聲子晶體帶隙的結構參數分為兩類：構成聲子晶體的材料參數和結構參數，其中的材料參數主要包括各組分的材料密度、楊氏模量、剪切模量、波速以及聲阻抗等。

1　基礎理論

1.1聲子晶體的本征方程

理想聲子晶體是指在某個方向上具有無限多周期而其他方向上均勻且無限大的聲子晶體，其理論模型就是式（1）

在彈性波理論中也稱為彈性波方程。理想二維聲子晶體由軸向無限長的柱體周期性分布在基體中構成；通常將二維晶格平面取為xOy平面，軸向取為z方向。將式（1）化成兩個方程，分別是z軸方向的質點位移分量方程和xOy平面內的質點位移矢量方程。

z軸方向的位移分量，一般稱為z模式的標量方程，如式（2）。

平面內的位移矢量，一般稱為模式的矢量方程，有

1.2平面波展開法

由于聲子晶體具有周期性結構，可以把彈性常數、密度等參數按傅里葉級數展開，應用Bloch定理，將彈性波波動方程在倒格矢空間以平面波疊加的形式展開，即將波動方程轉化為本征值求解，從而得到聲子晶體的本征方程（4）和（5）。

Z模式的本征方程

XY模式的本征方程

式（4）和式（5）為無限階復數矩陣的特征值，其中G'取遍整個倒格矢空間。為了求得該問題的數值解，通常使用倒格矢空間原點附近的有限個倒格矢代替整個倒格矢空間，對稱地進行近似求解。

2　材料參數對聲子晶體能帶結構的影響

（1）為便于分析材料參數對手二維固/固聲子晶體帶隙結構的影響，使材料的材料參數對聲子晶體能帶結構作用更為明顯，假設構成聲子晶體基體材料的相關參數見表1所示。

表1　基體參數

將散射體A以正方形排列的形式鑲嵌在基體B中，形成二維聲子晶體，見圖1所示。

圖1　二維聲子晶體截面圖

晶格常數a=0.02 m。設散射體的密度為3e3（kg·km-3）和楊氏模量為2e-3（1010Pa），在不同的剪切模量下所出現的帶隙情況見表1所示。

表2　聲子晶體能帶結構

表2中剪切模量μ單位（1010Pa），散射體半徑Rs單位（10-3m），頻率ω單位為（kHz）。

表2中第一、二組數據顯示：當散射體的剪切模量大于基體時，在填充率較大的地方出現聲子晶體的帶隙，且與基體的剪切模量差值較大，出現的帶隙就越寬。比較第三、四組數據，發現在散射體的剪切模量小于基體時，即使在填充率很小，也會產生聲子晶體帶隙，聲子晶體的能帶并不會隨著填充率的增加而無限增寬，而是會出現一個峰值，并出現了多層帶隙。當散射體的剪切模量越是接近于基體時，產生的能帶結構越寬，且能帶條數越少。

同上，假設散射體滿足如下條件：密度為3000kg·km-3和剪切模量為2e-3（1010Pa），在不同的楊氏模量情況下，所得到的聲子晶體的能帶結構見表3所示。

表3　二維聲子晶體能帶接結構

表中散射體半徑Rs單位（10-3m）、頻率ω單位（kHz）、楊氏模量E單位（1010Pa）

表3中的數據顯示，在物質的密度和剪切模量非常接近的情況下，散射體的楊氏模量無論如何變化，都未出現聲子晶體帶隙。說明了材料的楊氏模量并不是影響聲子晶體帶隙的主要因素。

假設散射體的楊氏模量為2e-3（1010Pa），剪切模量為4e-3（1010Pa），在不同密度下產生的聲子晶體能帶結構見表4所示。

表4　聲子晶體能帶結構

表中散射體Rs的單位（10-3m）、密度單位（kg/m-3）、頻率ω單位（kHz）。

表4中的數據表明，當散射體的密度小于基體密度時，聲子晶體帶隙會在填充率較大的情況下出現，且其帶隙極為狹窄；當散射體的密度大于基體時，即使填充率很小，也會產生帶隙，并且會出現多條帶隙。

綜上所述，剪切模量和密度是影響聲子晶體能帶結構的主要因素，而楊氏模量對聲子晶體能帶結構的影響極小。散射體的剪切模量比值與密度比值在遠小于1時，聲子晶體帶隙在填充率較大時出現。散射體與基體的剪切模量比值在大于1時，聲子晶體帶隙在填充率較小時也會出現。

（2）聲子晶體能帶結構

選取鎢、硅、碳、鈹四種材料作為聲子晶體的制作材料。它們的相關參數見表5所示。

表5　材料參數

比較這四種材料的相關參數，發現鎢與碳的密度相差較大，而楊氏模量和剪切模量都比較接近。若用這兩種材料設計聲子晶體，若以碳為散射體，鎢為基體，根據上述預測，該種聲子晶體的帶隙極窄，反之，若以碳為基體，鎢為散射體，該種散射體具有多條能帶。鈹和硅的密度和楊氏模量相差很小，而剪切模量很大，若以鈹為散射體，硅為基體。按上述條件設計的聲子晶體的能帶結構見表6所示。

表6　聲子晶體能帶結構

表6中的數據說明在以鎢為散射體而硅橡膠作為基體所設計的二維聲子晶體在填充率很低的情況下就出現了聲子晶體帶隙，而將散射體與基體交換之后，僅在散射體半徑Rs=0.006 5 m時出現了極窄的聲子晶體帶隙。而二維鈹/硅聲子晶體，無論填充率如何變化，都沒有出現帶隙，但二維硅/鈹聲子晶體則在整個填充率的變化過程中都會出現能帶結構。這與前面分析所得結論頗為吻合。

3　結束語

在設計聲子晶體時，通常應該將密度大的材料作為散射體，而將密度小的作為基體。在密度接近的情況下，將剪切模量較大的選作散射體，最后再考慮材料的楊氏模量。

［1］ 溫熙森，溫激鴻，郁殿龍，等.聲子晶體［M］.北京：國防工業出版社，2009.

［2］Xiaoming Zhou，M.Badreddine Assouar.Acoustic super-focusing by solid phononic crystals［J］.Applied physics letters 105.22355（2014）.

［3］ 陳阿麗，梁同麗，汪越勝.二維8重固-流型準周期聲子晶體帶隙特性研究［J］.物理學報，2014，63（3）.

［4］ V.Yantchev.A transversely coupled phononic surface acoustic wave transducer［J］.Applied Physics Letters 104（2014）.

［5］M.Sigalas，N.Economou.Band structure of elastic waves in two dimensional Systems［J］.Solid State Communications，1993 （86）：141-143.

O735

A

10.3969/j.issn.1672-6375.2016.04.025

2016-2-18

李正偉（1987-），男，漢族，甘肅慶陽人，碩士研究生，主要從事聲學材料的研究工作。