略談“十字相乘法”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

喻敏

（重慶市涪陵第一職業(yè)中學(xué)校）

略談“十字相乘法”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

喻敏

（重慶市涪陵第一職業(yè)中學(xué)校）

在初中數(shù)學(xué)（人教版）八年級(jí)上冊(cè)“整式的乘除和因式分解”一章中有一個(gè)選章內(nèi)容叫“觀察與猜想：x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解”，大家形象地將它稱為“式子相乘法”。在教授這部分內(nèi)容后，發(fā)現(xiàn)在解一元二次方程和解一元二次不等式中也可以用此方法。

十字相乘法；中學(xué)數(shù)學(xué)；一元二次不等式

一、“十字相乘法”在因式分解中的運(yùn)用

例1.將下列各多項(xiàng)式分解因式

（1）x2+7x+12（2）x2-7x+10（3）x3-5x2+6x

（4）x2+x-12（5）x2-x-2

分析：（1）題的12可分解為3和4，而3加4剛好等于7，所以此題易分解。

（2）題中常數(shù)項(xiàng)10可分解為2×5，也可以分解為（-2）×（-5），由于一次項(xiàng)系數(shù)為-7，（-2）加上（-5）剛好為（-7），所以應(yīng)選擇把10分解為（-2）×（-5）。

（3）題中各項(xiàng)有公因式x，所以先提公因式x，括號(hào)里的項(xiàng)為x2-5x+6，常數(shù)項(xiàng)6為正數(shù)，可以分解為（-2）×（-3），（-2）與（-3）的和剛好為-5，于是此題就可解了。

（4）題的常數(shù)項(xiàng)為-12，-12為-3×4，也可分解為-4×3，結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)為1，故選前者。

雙向互動(dòng)性。許多的公眾號(hào)會(huì)利用這個(gè)優(yōu)勢(shì)與網(wǎng)民互動(dòng)，例如“快樂(lè)大本營(yíng)”公眾號(hào)，會(huì)在公眾號(hào)中為新電影、新綜藝做宣傳，設(shè)計(jì)部分互動(dòng)環(huán)節(jié)讓網(wǎng)民參與，如用手機(jī)拍攝場(chǎng)景中的動(dòng)作、話語(yǔ)發(fā)布到公眾號(hào)中，即有機(jī)會(huì)贏取獎(jiǎng)勵(lì)，還會(huì)定期將網(wǎng)民反饋的問(wèn)題進(jìn)行統(tǒng)一解答。類似的也有在公眾號(hào)頁(yè)面最下方設(shè)計(jì)抓娃娃、猜你喜歡、小票抽獎(jiǎng)、活動(dòng)廣場(chǎng)等互動(dòng)活動(dòng)。這種雙向互動(dòng)性能夠增加網(wǎng)民參與感，吸引網(wǎng)民關(guān)注、提升對(duì)該公眾號(hào)的信任度。

（5）題中的常數(shù)項(xiàng)為-2，-2=-1×2=1×（-2），由于一次項(xiàng)系數(shù)為-1，所以選擇-2=1×（-2），此題可解。

例2.把下列各式分解因式

（1）-x2+9x+10（2）x2+18xy-63y2

（3）（x+y）2-16（x+y）-36（4）（a2-4a）2-2（a2-4a）-15

分析：（1）題二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，應(yīng)先將負(fù)號(hào)提出來(lái)后再分解。

（2）題應(yīng)把它看成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，把y看成常數(shù)。

（3）（4）題要把（x+y）、（a2-4a）看成一個(gè)整體，即（3）看成是（x+y）的二次三項(xiàng)式，（4）看成是（a2-4a）的二次三項(xiàng)式，然后再分解。

二、“十字相乘法”在解一元二次方程中的運(yùn)用

例3.解下列方程

（1）x2+2x-15=0（2）（x+3）（x-1）=5

（3）2x2+3x-2=0（4）-x2+3x-2=0

分析：（1）題的二次項(xiàng)系數(shù)為1，將常數(shù)項(xiàng)-15分解為-3×5或者-5×3，結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)為2，應(yīng)把常數(shù)項(xiàng)分解成-3×5，即（x-3）（x+5）。

（3）題的二次項(xiàng)系數(shù)為2，可分解成x2=2x·x，再將-2分解成2×（-1），結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)為3，此題可解。

（4）題轉(zhuǎn)化為x2-3x+2=0，將2分成（-2）×（-1）即可。

三、“十字相乘法”在解一元二次不等式中的應(yīng)用

眾所周知，解一元二次不等式是借助對(duì)應(yīng)的拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定一元二次不等式的解集，其步驟為：先化二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，歸結(jié)為ax2+bx+c≥0（a＞0）或ax2+bx+c≤0（a＞0）的形式，再求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，最后根據(jù)口訣“大于零解集在兩根之外”“小于零解集在兩根之間”來(lái)確定一元二次不等式的解集，那么在求一元二次方程的根時(shí)，我們也可以借助“十字相乘法”來(lái)解方程。下面舉例說(shuō)明：

例4.解下列不等式

（1）-x2-3x+10≥0（2）14x2-31x+15＞0

（3）3x2-5x+2<0（4）2x2+2x+7<3x2+x+1

分析：（1）先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再利用“十字相乘法”分解因式求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，最后確定不等式的解集。

（2）此題中二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但可分解為7x與2x的積，常數(shù)項(xiàng)可分解為-3與-5的積，再交叉相乘即可求得和為一次項(xiàng)。

（3）題中將3x2分解為3x與x的積，常數(shù)項(xiàng)2分解為-2與-1的乘積，再交叉相乘再相加即可得到一次項(xiàng)。

（4）將此不等式進(jìn)行整理后，得x2-x-6＞0，二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)分解為-3與2的積，然后交叉相乘再相加后就得一次項(xiàng)。

解：（1）原不等式化為x2+3x-10≤0，左邊用“十字相乘法”分解為（x+5）（x-2），解方程（x+5）（x-2）=0，∴x1=-5，x2=2

（2）解方程14x2-31x+15=0，左邊用“十字相乘法”分解為（7x-5）（2x-3）

（3）解方程3x2-5x+2<0，左邊用“十字相乘法”分解為（3x-2）（x-1）

（4）原不等式化為x2-x-6＞0，解方程x2-x-6=0，用“十字相乘法”將左邊分解為（x+2）（x-3），即（x+2）（x-3）=0，∴x1=-2，x2=3，故原不等式的解集為。

以上是我在教學(xué)中的點(diǎn)滴體會(huì)，寫(xiě)出來(lái)與大家分享，不足之處，望同行們不吝賜教。

·編輯溫雪蓮