略談“十字相乘法”在中學數學解題中的運用

喻敏

（重慶市涪陵第一職業中學校）

略談“十字相乘法”在中學數學解題中的運用

喻敏

（重慶市涪陵第一職業中學校）

在初中數學（人教版）八年級上冊“整式的乘除和因式分解”一章中有一個選章內容叫“觀察與猜想：x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解”，大家形象地將它稱為“式子相乘法”。在教授這部分內容后，發現在解一元二次方程和解一元二次不等式中也可以用此方法。

十字相乘法；中學數學；一元二次不等式

一、“十字相乘法”在因式分解中的運用

例1.將下列各多項式分解因式

（1）x2+7x+12（2）x2-7x+10（3）x3-5x2+6x

（4）x2+x-12（5）x2-x-2

分析：（1）題的12可分解為3和4，而3加4剛好等于7，所以此題易分解。

（2）題中常數項10可分解為2×5，也可以分解為（-2）×（-5），由于一次項系數為-7，（-2）加上（-5）剛好為（-7），所以應選擇把10分解為（-2）×（-5）。

（3）題中各項有公因式x，所以先提公因式x，括號里的項為x2-5x+6，常數項6為正數，可以分解為（-2）×（-3），（-2）與（-3）的和剛好為-5，于是此題就可解了。

（4）題的常數項為-12，-12為-3×4，也可分解為-4×3，結合一次項系數為1，故選前者。

雙向互動性。許多的公眾號會利用這個優勢與網民互動，例如“快樂大本營”公眾號，會在公眾號中為新電影、新綜藝做宣傳，設計部分互動環節讓網民參與，如用手機拍攝場景中的動作、話語發布到公眾號中，即有機會贏取獎勵，還會定期將網民反饋的問題進行統一解答。類似的也有在公眾號頁面最下方設計抓娃娃、猜你喜歡、小票抽獎、活動廣場等互動活動。這種雙向互動性能夠增加網民參與感，吸引網民關注、提升對該公眾號的信任度。

（5）題中的常數項為-2，-2=-1×2=1×（-2），由于一次項系數為-1，所以選擇-2=1×（-2），此題可解。

例2.把下列各式分解因式

（1）-x2+9x+10（2）x2+18xy-63y2

（3）（x+y）2-16（x+y）-36（4）（a2-4a）2-2（a2-4a）-15

分析：（1）題二次項系數為負數，應先將負號提出來后再分解。

（2）題應把它看成關于x的二次三項式，把y看成常數。

（3）（4）題要把（x+y）、（a2-4a）看成一個整體，即（3）看成是（x+y）的二次三項式，（4）看成是（a2-4a）的二次三項式，然后再分解。

二、“十字相乘法”在解一元二次方程中的運用

例3.解下列方程

（1）x2+2x-15=0（2）（x+3）（x-1）=5

（3）2x2+3x-2=0（4）-x2+3x-2=0

分析：（1）題的二次項系數為1，將常數項-15分解為-3×5或者-5×3，結合一次項系數為2，應把常數項分解成-3×5，即（x-3）（x+5）。

（3）題的二次項系數為2，可分解成x2=2x·x，再將-2分解成2×（-1），結合一次項系數為3，此題可解。

（4）題轉化為x2-3x+2=0，將2分成（-2）×（-1）即可。

三、“十字相乘法”在解一元二次不等式中的應用

眾所周知，解一元二次不等式是借助對應的拋物線與x軸的交點坐標，從而確定一元二次不等式的解集，其步驟為：先化二次項系數為正數，歸結為ax2+bx+c≥0（a＞0）或ax2+bx+c≤0（a＞0）的形式，再求出對應的一元二次方程的根，最后根據口訣“大于零解集在兩根之外”“小于零解集在兩根之間”來確定一元二次不等式的解集，那么在求一元二次方程的根時，我們也可以借助“十字相乘法”來解方程。下面舉例說明：

例4.解下列不等式

（1）-x2-3x+10≥0（2）14x2-31x+15＞0

（3）3x2-5x+2<0（4）2x2+2x+7<3x2+x+1

分析：（1）先將二次項系數化為正數，再利用“十字相乘法”分解因式求出對應的一元二次方程的根，最后確定不等式的解集。

（2）此題中二次項系數不為1，但可分解為7x與2x的積，常數項可分解為-3與-5的積，再交叉相乘即可求得和為一次項。

（3）題中將3x2分解為3x與x的積，常數項2分解為-2與-1的乘積，再交叉相乘再相加即可得到一次項。

（4）將此不等式進行整理后，得x2-x-6＞0，二次項系數為1，常數項分解為-3與2的積，然后交叉相乘再相加后就得一次項。

解：（1）原不等式化為x2+3x-10≤0，左邊用“十字相乘法”分解為（x+5）（x-2），解方程（x+5）（x-2）=0，∴x1=-5，x2=2

（2）解方程14x2-31x+15=0，左邊用“十字相乘法”分解為（7x-5）（2x-3）

（3）解方程3x2-5x+2<0，左邊用“十字相乘法”分解為（3x-2）（x-1）

（4）原不等式化為x2-x-6＞0，解方程x2-x-6=0，用“十字相乘法”將左邊分解為（x+2）（x-3），即（x+2）（x-3）=0，∴x1=-2，x2=3，故原不等式的解集為。

以上是我在教學中的點滴體會，寫出來與大家分享，不足之處，望同行們不吝賜教。

·編輯溫雪蓮