嘗試　聯(lián)想　發(fā)現(xiàn)
——從一道題的多解談起

王國(guó)榮

（浙江省義烏第二中學(xué)）

嘗試聯(lián)想發(fā)現(xiàn)
——從一道題的多解談起

王國(guó)榮

（浙江省義烏第二中學(xué)）

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者?！钡聡?guó)教育家第斯多惠說：“一個(gè)好的教師應(yīng)該教人去發(fā)現(xiàn)真理?！睌?shù)學(xué)教學(xué)的核心就是要教會(huì)學(xué)生怎樣分析問題，怎樣探索解題思路。無論是新授課還是習(xí)題課，教師講題始終要堅(jiān)持分析地講，要充分暴露解題途徑的尋找過程，“為什么要這樣做”比“這樣做”更重要，并注重優(yōu)化，注意反思，突出題目的本質(zhì)，優(yōu)化解題過程與方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。下面筆者從一道題出發(fā)，對(duì)它進(jìn)行多角度的思考和挖掘，以求拓寬學(xué)生思維的廣度和深度。

一、常規(guī)解法

分析1想到求函數(shù)最值，最容易想到的是利用單調(diào)性。但這個(gè)函數(shù)中，第一部分是減的，第二部分是增的，整個(gè)函數(shù)究竟是減還是增？

本題利用單調(diào)性求最值，首先要求出導(dǎo)數(shù)，再求出單調(diào)區(qū)間，最后利用單調(diào)性求出最值。思路清晰，但是運(yùn)算量較大，費(fèi)時(shí)且較易出錯(cuò)。

分析2注意到4-x+x+5=9，而且右邊是非負(fù)的，因此可以通過兩邊平方把右邊的兩個(gè)根號(hào)減少為一個(gè)，轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題再解決。

一題多解要“見機(jī)行事”，一般通性通法要講，而且要著力落實(shí)。但多數(shù)高考題都有一個(gè)顯著特征：求解入手較寬。因此方法往往就呈多樣性，不同方法的選擇將會(huì)產(chǎn)生不同的解題效果。而我們都希望學(xué)生能在最短的時(shí)間內(nèi)用相對(duì)較好的方法解決問題，這就需要在平時(shí)養(yǎng)成優(yōu)化解法的習(xí)慣，著力于培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維。

而數(shù)學(xué)是充滿聯(lián)想的，因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目隱含條件或者結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，為學(xué)生解決問題提供“機(jī)會(huì)和可能”，教師適時(shí)給予學(xué)生必要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

二、聯(lián)想遷移

聯(lián)想遷移是通過對(duì)同一表達(dá)式或問題的不同解釋，將參數(shù)視為常數(shù)、變數(shù)、未知數(shù)等多種角度，這樣就可以獲得各種解題方法。而每種方法都有它的思維切入點(diǎn)，一題多解，不僅豐富了解題思路，同時(shí)也使一些基本知識(shí)點(diǎn)、基本應(yīng)用方法等得到了充分地展示，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性會(huì)起到積極的影響作用。

在本題中注意到（4-x）+（x+5）=9，聯(lián)想a2+b2=9，可以利用不等式求最值、利用三角函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換、利用圓的方程轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，再分別利用均值不等式、三角換元、數(shù)形結(jié)合等來解決它。

解法3利用基本不等式解題

解法4通過換元，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題解決。

解法5利用圓的方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化

已知a2+b2=9，a≥0，b≥0求y=a+b的最大值。

從而可以得到多種解題思路。

思路2：利用直線與圓位置關(guān)系d≤r，可以求得ymax=3。

思路3：可以考慮利用數(shù)形結(jié)合解決。

如圖所示，可以求得ymax=3

三、思維拓展

解題教學(xué)中，有的問題有多種解題方法，有些解題方法新穎，解題思路獨(dú)特，多角度地分析和挖掘問題的解決方法，有利于開闊學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)思維的靈活性。在本題中，我們還可以進(jìn)一步進(jìn)行思維拓展，構(gòu)造出相應(yīng)的式子解題。

解法6構(gòu)造向量解題

可以看出當(dāng)前電力系統(tǒng)在我國(guó)人民的日常生活中有十分重要的作用，因此很有必要增強(qiáng)電力系統(tǒng)運(yùn)行的自動(dòng)化和智能化程度，以更好滿足當(dāng)前人民的使用需求?？梢酝ㄟ^試用各項(xiàng)電氣工程自動(dòng)化技藝和電力設(shè)施，進(jìn)一步增強(qiáng)電力系統(tǒng)的運(yùn)行質(zhì)量和運(yùn)行效果，并且也為后期的維修和檢修工作提供了便利。與此同時(shí)，也極大地節(jié)省資金和人力資源的投入，對(duì)系統(tǒng)的發(fā)展有積極的促進(jìn)作用。

解法7構(gòu)造對(duì)偶函數(shù)

另外，還可以利用對(duì)稱性直觀處理，利用柯西不等式等多種方法解決本題。

變式該題可以從已知求證變，也可以從隱藏條件、式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行變式。

該題的變式題可以設(shè)計(jì)出如下一些，供大家參考使用：

總之，在尋求解題思路時(shí)，要讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)怎樣分析、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣選擇方法、怎樣解決問題，通過充分暴露解題的思維過程，使學(xué)生的思維與教師的思維產(chǎn)生共鳴，使教師的思維為學(xué)生的思維過渡到科學(xué)的思維架起橋梁，變傳授過程為發(fā)現(xiàn)過程。更重要的是在嘗試、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中，把失敗的過程和失敗到成功的過程暴露出來，使學(xué)生看到轉(zhuǎn)變思維的方式、方法和策略，在體驗(yàn)和領(lǐng)悟中提煉出思想和方法，并逐步形成用思想方法進(jìn)行思維的習(xí)慣，碰到問題能自覺地“往這方面想”，提升解題能力。

一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問題的能力，找出題目中不同的關(guān)建點(diǎn)，從不同的關(guān)鍵點(diǎn)發(fā)散出去，用不同的方法解決問題變式題更是學(xué)好數(shù)學(xué)的一件法寶，通過變換已知條件或所求結(jié)論，可以衍生出相類似但又不同的各種題目，讓學(xué)生在原題的基礎(chǔ)上逐步去拓展，既不會(huì)出現(xiàn)思維掉鏈，又能讓學(xué)生有發(fā)揮的空間。因此，讓學(xué)生思考一題多解可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)原題條件的運(yùn)用能力和探究能力，而變式題可以提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，幫助學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散思維。在教學(xué)中，教師就應(yīng)該多用這樣的方式來講解課本上的例題，充分利用好教學(xué)資源，為學(xué)生帶來更大的收獲。

·編輯溫雪蓮