輻射噪聲線譜多渦卷混沌同步化方法研究

劉樹勇, 位秀雷, 方　煊, 王　基

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢　430033)

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輻射噪聲線譜多渦卷混沌同步化方法研究

劉樹勇, 位秀雷, 方煊, 王基

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033)

摘要：針對(duì)非線性隔振系統(tǒng)不容易產(chǎn)生小幅值混沌振動(dòng)的難題，選擇合適的多渦卷混沌系統(tǒng)及其參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了非線性隔振Duffing系統(tǒng)與渦卷混沌系統(tǒng)同步，重構(gòu)了隔振系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)的頻譜，得到小幅值的寬頻動(dòng)力學(xué)行為。研究了不同參數(shù)條件下渦卷混沌行為以及對(duì)應(yīng)的頻譜特征，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)，證實(shí)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。通過(guò)參數(shù)驅(qū)動(dòng)同步策略，發(fā)現(xiàn)非線性隔振系統(tǒng)在周期狀態(tài)下，能夠被有效地同步到混沌狀態(tài)。而且從系統(tǒng)的分岔圖以及吸引子相圖可以看出，同步后系統(tǒng)的混沌響應(yīng)具有明顯的小幅值特性；同時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的渦卷參數(shù)可調(diào)，可以滿足不同系統(tǒng)的同步需求。

關(guān)鍵詞：多渦卷；混沌；同步；Duffing系統(tǒng)；小幅值

混沌是確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng),混沌振動(dòng)的一些優(yōu)良特性可用于船舶動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng)噪聲控制[1]。一方面由于混沌能夠改變其輸出響應(yīng)的頻譜結(jié)構(gòu)，從而改變潛艇輻射水聲的頻譜特征；另一方面，混沌使單頻輸入產(chǎn)生寬頻輸出，將集中于某一頻率的能量分散到較寬的頻帶上，從而降低輻射噪聲中的線譜成分[2-3]。

目前，基于混沌理論的線譜控制方法，在理論分析[4]、混沌區(qū)域預(yù)測(cè)[5]、隔振性能評(píng)估[6]以及混沌識(shí)別[7]等方面，取得了諸多成果。但實(shí)現(xiàn)其工程應(yīng)用等方面還存在若干難點(diǎn)，其中，如何保持持續(xù)的小幅值混沌振動(dòng)是線譜混沌化在工程實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題[8]。劉樹勇等[9]提出一種機(jī)械式混沌同步系統(tǒng)，在主系統(tǒng)為大振幅混沌狀態(tài)時(shí)，實(shí)現(xiàn)了子系統(tǒng)的小幅值混沌態(tài)。楊慶超等[10]設(shè)計(jì)了投影同步的試驗(yàn)臺(tái)架，實(shí)現(xiàn)了隔振系統(tǒng)在變工況和小振幅條件下的混沌響應(yīng)。上述方法大多集中在混沌的單渦卷和雙渦卷形式，振動(dòng)的能量還不能夠充分地分散到其他頻帶上，阻礙了混沌化目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

近年來(lái)，多渦卷混沌吸引子的研究逐漸成為混沌研究領(lǐng)域的一個(gè)新方向[11]，相比于傳統(tǒng)的單渦卷和雙渦卷混沌系統(tǒng)，多渦卷混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為[12-13]。本文研究了不同參數(shù)條件下多渦卷混沌行為以及對(duì)應(yīng)的頻譜特征，采用多渦卷混沌同步方法將系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)誘導(dǎo)進(jìn)入混沌狀態(tài)，通過(guò)參數(shù)驅(qū)動(dòng)同步策略，實(shí)現(xiàn)了非線性隔振Duffing系統(tǒng)的小幅值混沌行為。

1非線性隔振系統(tǒng)無(wú)量綱模型

單層非線性隔振系統(tǒng)模型如圖1所示，得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

(1)

式中：M為質(zhì)量；C為阻尼器的黏滯阻尼系數(shù)；K1X+K3X3為非線性彈性恢復(fù)力；F0為作用在質(zhì)塊M上的激勵(lì)力。其中，K3為負(fù)時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性；K3為正時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬特性。

圖1　Duffing隔振系統(tǒng)Fig.1 Duffing vibration isolation system

(2)

則有

(3)

將式(3)代入式(1)，得

(4)

2混沌同步原理

考慮如下參數(shù)驅(qū)動(dòng)單向耦合系統(tǒng)[8]：

(5)

式中：x={x1,x2,…,xn}為n維空間Rn中的驅(qū)動(dòng)狀態(tài)向量，y={y1,y2,…,ym}為m維空間Rm中的響應(yīng)狀態(tài)向量。F和G都為向量場(chǎng)，F(xiàn)：Rn→Rn，G：Rm→Rm。P表示系統(tǒng)之間的耦合狀態(tài)向量，P：Rn→Rm，kt為表示耦合強(qiáng)度系數(shù)。

要判斷式(5)是否存在廣義同步，通常采用的方法是構(gòu)造一個(gè)輔助系統(tǒng)y′)，它與式(5)第二式的形式一致：

(6)

式(5)第一式和第二式實(shí)現(xiàn)廣義同步的充要條件是式(5)第二式和式(6)實(shí)現(xiàn)精確同步，由于式(5)第二式和式(6)實(shí)現(xiàn)精確同步與式(5)第二式漸近穩(wěn)定等價(jià)，因此式(5)第一式與第二式實(shí)現(xiàn)廣義同步當(dāng)且僅當(dāng)該系統(tǒng)第二式漸近穩(wěn)定。

3非線性隔振系統(tǒng)的多渦卷混沌同步

輻射噪聲線譜的混沌化，在本質(zhì)上是要使得系統(tǒng)將振動(dòng)能量從線譜轉(zhuǎn)移到其他頻率成分，從而削減特征頻譜的能量。傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)雖然具有寬頻響應(yīng)，但大多集中在單渦卷和雙渦卷形式，振動(dòng)的能量還不能夠充分地分散到其他頻帶上，阻礙了混沌化目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。構(gòu)造多渦卷的混沌系統(tǒng)并與非線性隔振系統(tǒng)混沌同步，將為解決該問(wèn)題提供新的思路。

選取具有鞍焦點(diǎn)的系統(tǒng)：

(7)

對(duì)應(yīng)的Jacobi矩陣為：

將式(5)具體化為：

(8)

根據(jù)系統(tǒng)的Jacobi矩陣，當(dāng)參數(shù)為u=-8,v=0.4,w=-6時(shí)，系統(tǒng)的特征值為λ1，2=0.2±2.821i,λ3=-6，這表明系統(tǒng)的行為將限制在某一區(qū)域，并具有類似蝴蝶吸引子的纏繞軌道。為了重構(gòu)多渦卷混沌系統(tǒng)，取非線性函數(shù)為：

sgn[s-(2j-1)]}

(9)

聯(lián)合式(8)和式(9)，可進(jìn)一步得到具有非線性項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

(10)

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)在特定范圍時(shí)，系統(tǒng)將呈現(xiàn)混沌行為。將式(10)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，式(4)作為被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在式(4)中引入剛度系數(shù)后寫成狀態(tài)方程形式：

(11)

同步過(guò)程中采用參數(shù)驅(qū)動(dòng)模式，將驅(qū)動(dòng)信號(hào)p2作用于式(11)的線性剛度k1，因此得到系統(tǒng)的k1=kp2，其中，k為驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度，因此，得到：

(12)

4仿真研究

4.1驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

對(duì)式(10)而言，取u=-8，v=0.4，w=-6，Q=1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖2所示，此時(shí)系統(tǒng)的吸引子是由三個(gè)螺旋上升的渦卷構(gòu)成，頻率譜呈現(xiàn)連續(xù)譜狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)為0. 221。當(dāng)Q的值進(jìn)行調(diào)整時(shí)，系統(tǒng)渦卷數(shù)不斷改變，Q為2時(shí)，生成5個(gè)渦卷，Q=3時(shí)生成7個(gè)渦卷(見圖3,圖4)。由此可見，調(diào)整該值能夠得到不同的工作狀態(tài)，為隔振系統(tǒng)的混沌同步奠定了良好的基礎(chǔ)。

圖2　u=-8;v=0.4;w=-6，Q=1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.2 System response when u=-8;v=0.4;w=-6，Q=1

圖3　u=-8;v=0.4;w=-6，Q=2時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.3 System response when u=-8;v=0.4;w=-6，Q=2

圖4　u=-8;v=0.4;w=-6，Q=3時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.4 System response when u=-8;v=0.4;w=-6，Q=3

4.2被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性及同步響應(yīng)

(1) 動(dòng)力學(xué)特性分析

以線性剛度為負(fù)的硬彈簧Duffing系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)式(11)取不同的參數(shù)進(jìn)行分析。首先采用全局分岔方法來(lái)分析系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)性態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)為k1=-1，k3=1，ξ=0.3，ω=1.2，以激勵(lì)力幅值f為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖如圖5所示。從圖中可以得知系統(tǒng)在初始階段出現(xiàn)周期1的解，隨后出現(xiàn)多周期解，經(jīng)過(guò)倒分岔進(jìn)入周期1解，再次經(jīng)過(guò)倍周期分岔后，進(jìn)入混沌狀態(tài)。但是激勵(lì)力的幅值和系統(tǒng)響應(yīng)的幅值已經(jīng)明顯增大，更確切地說(shuō)，這種大幅值混沌振動(dòng)狀態(tài)和隔振系統(tǒng)小幅值混沌狀態(tài)要求相矛盾，必須采取新的方式誘導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)入有益的混沌行為中。

圖5　系統(tǒng)的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of the system

根據(jù)全局分岔圖，當(dāng)系統(tǒng)的其他參數(shù)不變，激勵(lì)力幅值大小f=11.5時(shí)，系統(tǒng)的胞映射圖如圖6所示，從中可以看出，系統(tǒng)的對(duì)初值具有很強(qiáng)的敏感性，混沌吸引域相互纏繞，具有明顯的分形結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)相平面的吸引子如圖7所示，功率譜圖如圖8所示。吸引子不同于不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)和環(huán)面等平庸吸引子，而是具有自相似結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子，功率譜呈現(xiàn)譜特征。系統(tǒng)的行為具有混沌特性，但混沌響應(yīng)處于較大振幅狀態(tài)。

從系統(tǒng)的分岔規(guī)律可知，當(dāng)參數(shù)選擇為f=2.3時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期1解，通過(guò)PMUCR胞映射法得到系統(tǒng)的胞映射圖如圖9所示，在該圖中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)的初始條件取不同的值時(shí)，都將呈現(xiàn)周期1響應(yīng)。圖10是系統(tǒng)在該范德玻爾平面上的解，所有的曲線都收斂在一個(gè)吸引子上，這驗(yàn)證了系統(tǒng)的行為具有唯一性。

圖6　系統(tǒng)的胞映射圖Fig.6 Cellular mapping of the system

圖7 相平面吸引子圖Fig.7Phaseplaneattractor圖8 響應(yīng)功率譜圖Fig.8Responsepowerspectrum

圖9 周期1解的胞映射圖Fig.9Cellmappingofperiodic1solutions圖10 在范德玻爾平面上的解Fig.10SolutionintheplaneofvanderBohr

對(duì)系統(tǒng)求解，到了系統(tǒng)的相平面圖和Poincare截面圖(見圖11)。系統(tǒng)的相圖是一個(gè)橢圓，Poincare截面圖只有一個(gè)點(diǎn)，因此當(dāng)沒(méi)有使用驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)不會(huì)因?yàn)槌跏紬l件的不同而產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，其響應(yīng)的位移功率譜如圖12所示。

圖11 系統(tǒng)響應(yīng)的相平面圖Fig.11Phaseplanofsystemresponse圖12 系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜圖Fig.12Powerspectrumofsystemresponse

(2) 混沌同步結(jié)果

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)為f=2.3，k1=-1，k3=1，ξ=0.3，ω=1.2時(shí)，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài)。采用3渦卷同步時(shí)，驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度k=1，能夠?qū)⒃撝芷?狀態(tài)驅(qū)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，而最大幅值只有2.54，如圖13所示，響應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.118，顯然是一種獲得小幅值混沌的有效手段。而不采用同步方式時(shí)，系統(tǒng)的參數(shù)為k1=-1，k3=1，ξ=0.3，ω=1.2，但激勵(lì)的幅值需要達(dá)到f=11.5該系統(tǒng)才能夠出現(xiàn)混沌，而響應(yīng)的幅值達(dá)到7.78，兩者的比較如圖14所示。

圖13 同步混沌響應(yīng)相圖Fig.13Phasediagramofchaoticsynchronizedresponse圖14 非同步混沌響應(yīng)相圖Fig.14Phasediagramofchaoticnon-synchronizedresponse

5結(jié)論

通過(guò)對(duì)非線性隔振Duffing系統(tǒng)的全局分岔分析，得到了系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的整體性態(tài)圖，觀察到了系統(tǒng)在在不同參數(shù)時(shí)的周期1、周期2解以及由倍周期分岔導(dǎo)致的混沌行為。應(yīng)用PMUCR胞映射方法得到了系統(tǒng)在不同參數(shù)區(qū)域時(shí)初始條件對(duì)系統(tǒng)解的影響，在混沌參數(shù)范圍時(shí)，胞映射圖具有明顯的分形結(jié)構(gòu)，反映了混沌系統(tǒng)內(nèi)部復(fù)雜但有規(guī)律的動(dòng)力學(xué)特征。在周期1解情況下，初始條件對(duì)系統(tǒng)的影響不明顯，應(yīng)用范德玻爾平面證實(shí)了解的唯一性。由于系統(tǒng)本身產(chǎn)生混沌時(shí)，處于大幅度振動(dòng)狀態(tài)，不利于輻射噪聲的控制，因此采用多渦卷混沌同步方法將系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)誘導(dǎo)進(jìn)入混沌狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)了非線性隔振Duffing系統(tǒng)的小幅值混沌行為，從而為噪聲線譜混沌控制提供有益參考。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51179197);國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51579242);海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(上海交通大學(xué))開放課題(1009);國(guó)家留學(xué)基金委資助

收稿日期：2015-02-11修改稿收到日期：2015-08-10

通信作者位秀雷 男，博士生，1988年10月生

中圖分類號(hào):O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.022

Multi-scroll chaotic synchronization method for radiated noise line spectrum

LIU Shu-yong, WEI Xiu-lei, FANG Xuan, WANG Ji

(College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract:The nonlinear vibration isolation system is hard to produce chaotic vibration with small amplitude. In order to solve the problem, an appropriate multi-scroll chaotic system and its parameters were selected and the synchronization between the multi-scroll chaotic system and Duffing system were achieved. The frequency and spectrum of the isolation system was reconstructed, and then the dynamics behavior with broadband spectrum and small amplitude was realized. The chaotic dynamic characteristics under different parameters of the multi-scroll system and the corresponding frequency spectrum characteristics were studied. The largest Lyapunov exponent of the system response was calculated to confirm the chaotic state of system. By using the parametric driven synchronization strategy, it is found that the synchronization between the periodic state and chaotic state of the nonlinear isolation system can be achieved exactly, and the chaotic response after synchronization has obvious characteristics of small amplitude which can be presented in the bifurcation and attractor diagram. In addition, the scroll number of drive system is adjustable, so the synchronizations of different systems can be implemented.

Key words:multi-scroll; chaos; synchronization; Duffing system; small amplitude

第一作者 劉樹勇 男，副教授，1975年11月生