國外養老金優化管理模式借鑒

■金 赟 吳 鵬 劉維迪/文

國外養老金優化管理模式借鑒

■金 赟 吳 鵬 劉維迪/文

一、引言

伴隨著城市化進程的加速推進，人口老齡化和農業轉移人口市民化等問題導致社會養老局勢日趨嚴峻，在此背景下社會養老保險制度在老年人的生活保障中承擔著越來越重要的職責。作為社會養老保險制度的重要待遇形式，養老金是指在勞動者退休或喪失勞動能力后，國家依據他們對社會所作的貢獻及具備的養老保險資格或退休條件而進行的貨幣支付，因此其運作管理至關重要，直接關系到所有勞動者的養老保障程度與社會穩定。

從國際通行的養老金運作模式來看，主要包括兩類：一是固定受益計劃（DB），該計劃利用精算公式確定雇員在退休前應繳納的款項，并保證雇員退休后能得到固定的養老金給付。然而經濟環境不斷變化，為了能夠達到退休后的固定給付，雇員繳納的款項需隨實際環境調整。二是固定給付計劃（DC），該計劃確定了雇員每年固定應繳納的款項，退休后的收益是到期繳款及其投資收益的函數。以美國為例，20世紀70年代以前美國政府單位和幾乎所有企業單位都選擇DB計劃，但隨著人口壽命不斷增長和金融市場加劇動蕩，承諾固定給付的DB計劃逐漸暴露出較大缺陷——繳費率風險和償債風險不斷加大。在此之際，DC計劃的優勢更加突顯：（1）風險轉移，金融風險由保險人轉移至投保人；（2）靈活性強，參與者不受工作調換限制；（3）時效性強，投保人可即時獲取養老金賬戶價值；（4）自主性強，投保人可自主參與養老金投資組合選擇。目前DC計劃已成為美國最為主流的養老金運作模式，著名的401k和403k就是DC計劃中最成功的項目，而政府單位的457k主要還采用DB計劃。反觀中國，現行的養老金運作模式主要采用DC計劃，但在實際操作中會根據某些特殊情況作出調整。如企業普遍存在“中人”過渡問題，即企業在初建養老金計劃時，部分員工已臨近退休，預計按照DC計劃正常參與會出現退休后賬戶金額不足的問題。為保證該類員工退休前后待遇水平的平穩銜接，我國多數企業在初建養老金計劃時就為“中人”確定未來的支付數額，以此鎖定其退休后的待遇水平，這種以DC計劃為基礎，同時結合DB計劃的混合模式在我國也有一定適用范圍。

無論國外或是國內，有關養老金優化管理問題的研究已成為當今最具現實意義的課題，相關研究成果也越來越豐富。但由于國內外養老金體系的成熟度不同以及養老金運作模式的國別差異，國內外關于養老金優化管理的研究存在較大差異。目前國外對DC計劃和DB計劃優化管理的研究成果均較為豐富，國內的研究成果則相對稀缺，且由于國內養老金運作模式的適用范圍差異，國內針對DB計劃優化管理的研究比DC計劃更少。

二、國外養老金體系的優化管理模式分析

（一）DB計劃的優化管理

在DB計劃中，參與者在退休后所領取的養老金是提前確定的，根據其在退休前的工資水平和工作年限加以精算得來。而參與者在退休前的繳費率則需通過估值調整，因為社會經濟環境始終都處于動態變化之中，包括無風險利率、通貨膨脹率和死亡率等因子都隨之改變，這就造成了早前DB計劃所基于的估值基礎很難再符合當下的DB計劃。因此，養老金出現缺口或富余很難避免。在此情況下，最優繳費問題成為DB計劃的重要研究方向。此外，除了參與者繳費，養老基金總數額還來源于其投資收益，因此最優資產配置問題也成為DB計劃的重要研究方向。

1.DB計劃的繳費管理

在對DB計劃繳費管理的研究中，學術界主要從最優目標函數和精算模型兩個方向展開。在目標函數的文獻中，學術界普遍認為養老金的管理以最小化繳費率風險與償債風險為目的。Lee分別給予了這兩種風險相應的定義：對于繳費率風險，他認為DB計劃的參與者為了讓繳費率在未來仍保持穩定，將會盡量尋求一種不會被巨大變故而干擾的繳費計劃，因為當繳費計劃和繳費率變動時，DB計劃將面臨參與者被迫終止繳費的風險。對于償債風險，他解釋到由于參與者在退休后的養老金領取是提前確定的，而精算條件的改變可能造成養老金償債能力不足，因此參與者關心的是不斷積累的養老金資產對其養老金權利的保障程度，以及DB計劃是否和在何時點會被清盤。Haberman將養老金的管理目標視為：最小化繳費率風險（即保持繳費的穩定性）和最小化償債風險（即保持養老基金的安全性）。他以繳費率與正常成本的偏差值作為衡量繳費率風險的指標，以無資金預留的債務償還值作為衡量償債風險的指標，將兩種風險的最小化問題轉化為線性二次最優問題，通過最小化繳費率風險與償債風險的凸組合來優化繳費的穩定性和養老基金的安全性。與Habermann相似的是，Chang也將最小化繳費率風險和償債風險作為養老金管理的目標，不過他用繳費率與正常成本的比值作為衡量繳費率風險的指標，以隨機積累的養老金資產與無資金預留的債務償還值的比值作為衡量償債風險的指標，對目標函數進行了修正。后續學術界的很多關于DB計劃繳費管理的研究都是基于以上最小化繳費率風險和償債風險的雙目標（Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero）。此外，也有部分研究以其他目標函數為基礎展開。Randall 和Satchell將養老金資產組合回報的均值和方差優化控制作為養老金繳費管理的目標。Sundaresan 和Zapatero建立了使養老基金盈余最大化的目標函數；Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero假定養老金繳費者預先設定了養老金資產的目標規模和其所繳費的折現收益，他們以增加滿足養老金繳費者期望的概率為目標展開研究。

在精算模型的文獻中，學術界主要從精算負債與養老基金現值的差額（即“未納精算負債”）的角度來探討養老金的風險，主要有三種精算模型：確定模型、隨機模型和動態隨機控制模型。確定模型假設所有精算假設基礎都是確定的，包括人口變動（死亡率、新加入者、新退出者）、利率、投資收益率等，即將這些因素視作常量，進而計算出未納精算負債及其分攤額，早前的研究多運用確定模型。然而，對于養老金計劃通常存在的參與者數量的隨機變動和利率隨機變化的現象，確定模型中的人口穩定性和利率平穩性假設顯然不符合實際。在此情況下隨機模型應運而生，隨機模型假設利率、投資收益率、人口變動等因素是隨機變動的，并以此為基礎對未納精算負債進行了測算。Boyle在壽險和年金的精算中用隨機模型對人口生死的偶然性和利率的變化（即“雙隨機”）進行了模擬。Giaccotto運用了遞歸算法和Vasicek模型分析了利率隨機變動的保險制度。Mandl和Mazurova假設養老金計劃的新加入者是隨機波動的，他們用隨機序列來模擬這種波動性。Hainaut和Devolder在養老金精算模型中添加了隨機死亡模型，假定人口的死亡概率服從松柏分布。還有部分學者認為BD計劃的繳費過程服從布朗隨機運動，這是基于利率和參與養老金計劃的人口數量服從布朗隨機運動得來的（Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero）。在隨機模型的基礎上，后續學術界又延伸發展了動態隨機控制模型，這種模型除了與隨機模型一樣考慮人口變動、利率變化等因素的隨機性外，還引進控制變量以達到平滑養老金風險和確定最優繳費率的目的。Cairns將資產組合視為一個控制變量，在最小化繳費率風險和償債風險的目標函數下，尋求動態隨機控制模型下的最優繳費策略。Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero將繳費人口和利率作為控制變量，同樣以最小化繳費率風險和償債風險為目標，分別得出了在未納精算負債大于零或小于零兩種狀態下DB計劃的最優融資行為。

2.DB計劃的投資管理

學術界對于DB計劃投資管理的研究相對較少，部分學者主要將養老金的投資視為整體來研究，假設養老金的投資回報率是隨機變化的。例如，有假設養老金的投資回報率服從AR和ARMA過程的（Bellhouse和Panjer；Wilkie）；有將養老金的投資收益率假設為獨立同分布的隨機變量的（Dufresne；Haberman；Owadally）；有將養老金的投資收益率假設服從一階自回歸過程的（Gerrard 和Haberman）；還有以移動平均收益率為基礎研究養老金投資管理的（Bedard和Dufresne）。顯然，養老金投資組合千變萬化，各組合間的投資回報率也大相徑庭，故將養老金的投資視為整體來研究，假設其投資回報率隨機變化是不符合實際的。因此后續有許多學者側重對養老金投資組合的研究，假設養老金分別投資于不同風險級別的資產。Harrison和Sharpe選擇了單周期、雙資產（債券和股票）的模型對養老金的資產配置進行了研究，他們基于不同資產間稅收待遇和風險程度不同的假設，得出了養老金的最優投資組合。Sundaresan和Zapatero針對資本市場中的兩種資產：風險資產和無風險資產進行了養老金投資的研究。Cairns假設養老金投資于n種風險資產和一種無風險資產，在目標函數為最小化繳費率風險和償債風險的條件下求得養老金的最優投資組合。Josa-Fombellida和Rincon-Zzapatero假設DB計劃參與者可以選擇將養老金投資于規定數量的幾種風險資產和一種持續穩定收益的無風險資產，以盡量使養老基金資產接近于精算負債為目標，最終得出養老金投資的最優組合。Xu和Zhang等人根據目標函數的不同分別探討了養老金的最優投資問題。他們研究了最小化繳費率風險和最小化償債風險兩種情況下的養老金最優投資問題，在第一種情況下，他們假設養老金只投資于一種持續穩定收益的無風險資產；在第二種情況下，他們假設養老金同時投資于一種風險資產和一種無風險債券。最終他們得出兩種情況下養老金的最優投資策略。

通過以上整理發現，在DB計劃優化管理的文獻中，學術界主要在最優繳費問題和最優投資問題兩個領域進行了研究。在對DB計劃最優繳費的研究中，最優目標函數的構建以最小化繳費風險和償債風險為主；精算模型大致經歷了從確定模型到隨機模型再到動態隨機控制模型的演進。在對DB計劃最優投資的研究中，學術界起初將養老金的投資視為整體來研究，假設投資回報率是隨機變化的；后續部分學者逐漸改變了這種看法，假設養老金投資于多種風險資產和無風險資產的投資組合。在所有的DB計劃優化管理的研究中，有關最優繳費問題的研究較多，有關最優投資問題的研究較少。

（二）DC計劃的資產配置

對于DC計劃，參與者每年繳費的款項是固定的，退休后的年金領取由養老金資產的累積及其投資收益決定。因此相對于DB計劃而言，DC計劃的參與者承擔著更大投資風險，因此研究DC計劃的最優投資問題至關重要。從目前的文獻來看，學術界針對DC計劃最優投資問題的研究主要包括終端財富的效應函數和風險資產的價格過程兩個方面。

1.DC計劃終端財富的效應函數

在對DC計劃最優投資的研究中，學術界一般以養老金終端財富的期望效用最大化為最優投資目標，并在此基礎上得到最優投資策略。就目前的文獻來看，通常的效應函數包括兩大類：一類是常相對風險厭惡效用函數（CRRA），這類效用函數主要包括冪效用函數和對數效用函數；另一類是常絕對風險厭惡函數（CARA），即指數效用函數。選取冪效用函數為目標函數對DC計劃最優投資問題進行研究的文獻不在少數。也有部分學者選取對數效用函數和指數效用函數為目標函數。然而在現實的養老金投資中，由于參與者的風險偏好有較大個體差異，同時養老金管理者無法準確得知參與者在風險與收益之間的權衡，因此很難挑選完全適用的效用函數用以求得最優投資策略。而“均值-方差”模型可以在較大程度上彌補效用函數的不足，因此被學者廣泛用于研究DC計劃的最優投資問題。Markowitz首次提出“均值-方差”模型，最早將方差用以量化風險，開創了以風險與期望組合衡量最優投資問題的先河。但由于“均值-方差”模型的雙目標難以分離，及其在連續時間和多周期的條件下難以求解，故很難將此模型運用至連續時間和多周期的框架。后續有學者針對這種缺陷進行探究，Zhou和Li較早地利用嵌入技術將“均值-方差”模型的雙目標分離，將該模型轉化為一個輔助隨機線性二次控制（LQ）模型，結果證明隨機線性二次控制（LQ）模型是研究多周期情況下“均值-方差”雙目標的有效框架。Xie也利用隨機線性二次控制（LQ）技術研究了“均值-方差”模型下的多周期DC計劃的最優投資問題。

2.DC計劃風險資產的價格形成過程

縱觀以上所列示的文獻，大多以幾何布朗（GBM）運動來描述風險資產的價格形成過程。然而幾何布朗運動中風險資產的波動率和收益率通常為常數或確定的函數，這顯然不符合市場的運動狀態。Cox和Ross首次提出CEV模型，該模型可視為GBM模型的自然推廣，其假設波動彈性為常數，描述了隱含波動率的斜度，與實際的波動曲線更為接近，因此更加貼近現實的市場運動。隨后CEV模型被學者們廣泛運用于描述風險資產的價格形成過程。Xiao等人運用CEV模型研究了年金支付型DC計劃的最優投資問題，同時他提出利用Legendre變換技術和對偶理論探求DC計劃參與者一生最優的投資策略。Gao專注于用CEV模型來描述股票的價格動態，通過應用隨機最優控制、變量控制等技術推導出一個針對于CRRA效用函數的明確投資方案。Gu利用CEV模型對再保險情況下風險資產的價格形成過程進行模擬，同時運用HJB方程推出在目標函數分別為CRRA與CARA兩種情況下的最優再保險投資策略。與GBM模型一樣，CEV模型也存在一定弊端。在CEV模型中，隨著風險資產的價格不斷提升，價格波動率會趨向于0，這顯然不符合實際。對此Gao發展了一個擴展的E-CEV模型用以克服一般CEV模型的缺點，他運用Legendre變換技術、對偶理論和一種漸進展開的方法求得了分別基于CRRA和CARA兩個目標函數的漸進策略。

根據以上梳理發現，在DC計劃最優投資策略的文獻中，多數以養老金終端財富的期望效用最大化為最優投資目標，由此出現常相對風險厭惡效用函數（CRRA）和常絕對風險厭惡函數（CARA）兩類目標函數；此外“均值—方差”模型作為另一種目標函數，彌補了終端財富效應函數的缺陷，具有較強現實價值。在風險資產價格形成過程的研究中，多數文獻以幾何布朗運動模型（GBM）描述風險資產的價格形成過程。但基于GBM模型改進的CEV模型顯然更貼近實際的市場波動，因此后續不斷有學者選用CEV模型來描述風險資產的價格形成過程。

三、國內養老金優化管理模式的拓展

在DB計劃優化管理的研究方面：張波和代金假設養老金同時投資于一種無風險市場和一種風險市場的情形，以最小化繳費率風險和償債風險為目的構建目標函數，并利用HJB方程求得最優投資策略。王奕渲和陳迪紅系統分析與評價了確定模型、隨機模型和動態隨機控制模型三大精算模型在估算與控制DB計劃養老金風險中的效用。溫利民和韓天雄利用期權對DB計劃進行定價，并在一個給定的繳費與給付標準下求得最優繳費率。房東東等人引用期權理論分析了DB計劃的期權構成，并且運用期權公式推出DB計劃中看漲期權和看跌期權的價值，最后求得最優繳費率。

在DC計劃優化管理的研究方面：葉燕程和高隨詳以養老基金損失最小化為投資目標構建目標函數，通過HJB方程求得了在固定繳費和隨機繳費兩種情形下的最優投資策略，并對固定繳費情形下的最優投資策略進行了蒙特卡洛仿真模擬。張初兵等人選取了最大化期望冪效用目標函數，假設養老金可同時投資于債券和股票，并假設股票的收益率和波動率均服從隨機的Heston模型，通過冪變換和變量替換在HJB方程下求得了最優投資策略。張初兵等人假設養老基金投資于一種風險資產和一種無風險資產，用CEV模型模擬風險資產的價格形成過程，在對數效用函數為目標函數的情況下，利用Legendre轉換和對偶理論對DC計劃的最優投資問題進行了研究。殷俊和李媛媛以CRRA效用函數為目標函數，用Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型來描述名義利率的動態變化，用通貨膨脹指數化債券來對沖通貨膨脹風險，研究了在隨機利率和通貨膨脹條件下的最優資產配置問題。谷愛玲等人以CRRA效用函數為目標函數，假設投資者可投資于無風險資產和一種風險資產，且假設風險資產的瞬時收益率服從Ornstein-Uhlenbeck模型，運用隨機控制理論，給出了HJB方程下的最優投資策略。楊鵬以“均值—方差”模型為目標函數，并將原先的“均值—方差”問題轉化為輔助問題，利用線性二次控制理論解決該輔助問題，得出了最優的再保險投資策略和有效邊界的顯式解。王力平和張元萍在前人的基礎上，假設風險資產的收益率可通過擴散過程和死亡率函數擬合，并運用隨機最優控制理論，求得了滿足HJB方程的最優資產配置比例。

通過以上梳理發現，國內學者在養老金優化管理領域的研究主要借鑒了國外的研究方法，并進行了有限擴展，如提出用Vasicek模型、Heston模型和Ornstein-Uhlenbeck模型等其他模型來描述風險資產的價格形成過程。

四、結論與展望

本文從國外和國內兩方面對養老金優化管理的研究進行了文獻綜述，分別從DB計劃和DC計劃的優化管理兩個角度進行梳理。國外在養老金優化管理領域的研究已經相當成熟系統，取得了較多研究成果。

第一，在DB計劃優化管理方面的研究：（1）通常以最小化繳費率風險和償債風險的雙目標為目標函數，也有其他目標函數：以養老金資產組合回報的均值和方差優化控制為目標；假定養老金繳費者預先設定了養老基金資產的目標規模和其所繳費的折現收益，以增加滿足養老金繳費者期望的概率為目標等；（2）以確定模型、隨機模型和動態隨機控制模型為精算模型。早前研究多用確定模型，而后假定利率、投資收益率、人口變動等因素隨機變動，用遞歸算法和Casicek模型模擬利率變動，用隨機序列或布朗運動模型模擬養老計劃參與人口的數量變動，用松柏分布模擬死亡概率等，發展了隨機模型。此后在隨機模型基礎上，引進控制變量，在隨機控制模型下求得最優繳費策略。（3）起初從整體的角度假定養老金投資回報率隨機變動：假設投資回報率服從AR和ARMA過程，一階自回歸過程；假定投資回報率為獨立同分布的隨機變量；以移動平均收益率描述養老金投資回報等。此后擴展研究了養老金投資于多資產的最優資產配置問題。

第二，在DC計劃優化管理方面的研究：（1）一般以養老金終端財富的期望效用最大化為目標構建效用函數，在此基礎上發展了常相對風險厭惡效用函數（CRRA）和常絕對風險厭惡效用函數（CARA）。（2）后引用“均值—方差”模型作為目標函數，彌補了效用函數的不足。并完善了“均值—方差”模型，利用隨機線性二次控制（LQ）技術將其擴展至可滿足在連續時間和多周期條件下求解最優投資問題的模型。（3）大多以幾何布朗（GBM）運動描述風險資產的價格形成過程，后提出了更貼近市場運動的CEV模型描述風險資產的價格形成過程，并在此基礎上進行改進，發展了擴展的E-CEV模型。

國內在養老金優化管理領域的研究相對滯后，更多的是對國外研究成果的總結和有限擴展。就國內研究現狀來說，針對DC計劃優化管理的研究相對豐富，而對DB計劃優化管理的研究相對欠缺。因此，國內在DC計劃優化管理方面的研究相對成熟系統，尤其在風險資產價格形成過程方面的研究，國內學者在國外研究成果上添加了新的內容：提出用Vasicek模型、Heston模型和Ornstein-Uhlenbeck模型等其他模型來描述風險資產的價格形成過程。綜合而言，國內在養老金優化管理方面的研究與國外尚有一定差距，但隨著國內養老問題日趨嚴峻，學術界已足夠重視，相應的研究成果也將日益豐富。

基于前文對養老金優化管理的研究綜述，結合城市化進程中養老金體系衍生出的新問題，提出未來可能需要拓展研究的方向：第一，城市化導致農業轉移人口市民化，對參與養老金計劃的人口變動影響較為顯著，同時城市化過程中人口的隨機死亡模型將發生較大變化，因此應基于新的人口隨機變動理論，研究人口演化模型的構建。第二，城市化勢必導致養老保險的覆蓋面增加，參與養老金計劃的人口基數隨之變大，這就造成養老金的支付壓力將不斷加重。因此可嘗試對養老金計劃的抗壓性進行研究，如以破產概率為目標函數研究DB計劃和DC計劃的優化管理問題。第三，城市化過程中新加入養老金計劃的群體的年齡結構存在較大差異，可能導致不同參保人的繳費義務與支取養老金的權利不對等（如可能存在50歲的新參保人的支取權利大于繳費義務，而30歲的新參保人的支取權利小于繳費義務的狀況），從而引發養老金的公平性問題，因此可納入新參保人年齡結構差異這一沖擊因素深入研究養老金精算模型的構建。第四，我國普遍存在以DC計劃為基礎，同時結合DB計劃的混合養老金運作模式，該種養老金運作模式通常含有最低支付保障條款，因此可拓展研究最優化最低保障的問題。

（作者單位：浙江大學）