基于建模的“雞兔同籠”教學

杭勇

[摘 要]“雞兔同籠”是一道非常有名且具有代表性的題目，根據基本的“雞兔同籠”模型又拓展出了很多同類型的題目。從建模角度出發，通過基本列表分析、嘗試建模、拓展應用三個角度，為幫助學生理解雞兔同籠提供思路。

[關鍵詞]建模 列表 拓展 雞兔同籠

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）20-091

在傳統雞兔同籠教學中，教師大多使用的是使用基本的“砍腳法”“假設法”進行教學，但是學生如果碰到了“分數”“錢幣”“人馬”等稍稍變換了的題目，就沒辦法用雞兔同籠的解題方法來分析。模型則是從本質出發，以不變應萬變，幫助學生建立起較為完整的思考模式，讓學生不但知其然，更知其所以然。

一、列表分析，打下基礎

在初識雞兔同籠的時候，教師可以用“笨”方法來讓學生有最為直觀的感觸，也就是利用列表的方式讓學生觀察雞和兔發生了怎樣的變化。

師：現在一共有7只雞和兔子，如果按照這個表（用PPT播放）來列，不同只數的雞和兔子分別有多少只腳呢？（生列表，師觀察，并帶動學生在板書中將列表補充完整）

師：你們在計算和列表的時候，發現了什么？

生1：總只數是不變的，一直是7只，每減少1只雞增加1只兔子，就會多2只腳。

師：沒錯，那反過來呢？我想少4只腳，需要怎么做呢？

生2：那就得把2只兔子換成2只雞。

師：我想多8只腳呢？

生3：那就把4只雞換成4只兔子。

師：如果雞兔總數不變，我現在要24只腳，那么有幾只兔子幾只雞？

生4：5只兔子2只雞。加入都是兔子，那么7只兔子有28只腳，現在要去掉4只，就用2只雞來換2只兔子，所以是5只兔子2只雞！

在這個階段，學生更多的是用比較傳統有效的方法理清兔子和雞之間到底有什么關系，這個思考的過程需要教師巧妙、持續的引導。

二、嘗試建模，歸類分析

在第二個階段，就是要把之前所列的表格、總結的規律轉化為用數學符號構成的模型，在將來遇到同類的問題時，只需將數據套入這個模型就能得到正確答案。

師：現在仔細觀察表格，頭數等于什么？

生5：頭數=雞頭數+兔頭數。

師：那兔頭數又等于什么？

生6：兔頭數=腳數÷2-頭數。

師：我們來驗證一下生6說的對不對。選20只腳，20÷2-7=3（對比表格），沒錯，就是3只兔子。我們再驗證一下這個表格之外的雞兔同籠用這個公式對不對。假設一共有20只，有44只腳，那么有幾只兔子幾只雞？

生7：44÷2-20=2，所以是一共有2只兔子，18只雞，2只兔子是8只腳，18只雞有36只腳，加起來一共是44只，也是對的。

師：看來我們總結的這個模型是正確的。

在第二個階段，是將現象劃為規律，并用數學符號表示出來，整個過程是由實（數據）轉虛（思考結果），再由虛（思考結果）轉實（數學模型）的過程，有些學生可能會適應不了轉換的過程，需要教師注意引導和指導。

三、拓展應用，開放思維

拓展部分需要教師將由雞兔同籠拓展出的問題列出來，在學生思路比較清晰的時候，及時穩固。

師：除了雞兔同籠，實際上還有另外一種，那就是鶴龜問題。假設現在鶴龜一共有30只，有76只腳，誰知道有幾只鶴幾只龜？

生8：這個可以用雞兔同籠的模型，76÷2-30=8，有8只烏龜和22只鶴。

師：沒錯，實際上我們平時也經常接觸“雞兔同籠”的問題。給你們舉個例子，警察查案子，需要知道車棚里有多少三輪車和自行車，看門的大爺說一共有10輛車，而照片只顯示一共有26個輪子，那么你們知道自行車和三輪車各有幾輛么？

生9：三輪車比自行車多1個輪子，假設全是自行車，那么就20個輪子，要換下來6輛三輪車才能多6個輪子，所以一共有6輛三輪車和4輛自行車。

師：很好，其實這個和雞兔同籠問題很像，如果讓你來總結這個模型的話，你覺得是什么呢？

生10：應該是三輪車數=（輪子數÷2-車數）×2。

師：很好。給你們留兩個思考題（略），你們不但要計算出結果，還要把模型列出來，下節課我們再一起討論。

在拓展部分，教師要循序漸進，讓學生以雞兔同籠的思考模式進行思考，但又不能被局限在雞兔同籠的模型上，形成一個最終的模型。

模型強調的是一種思考模式，而不是死記硬背。雞兔同籠問題涉及范圍非常廣泛，也非常適合利用模型的思想來思考，教師要利用好這個特點，為學生構架起系統的思考模式。

（責編 童 夏）