在知識遷移和數形結合中主動建構

徐永軍

教學內容：蘇教版教科書五年級下冊第80頁例1“試一試”和“練一練”，練習十二第1～4題。

教學目標：

1. 使學生經歷探索異分母分數加、減法計算方法的過程，感受“相同計數單位直接相加減”，在理解算理的基礎上正確計算異分母分數的加、減法。

2. 使學生在學習過程中，進一步體驗“轉化”思想在解決問題中的重要作用，發展數學思考。

3. 使學生在數學學習活動中，獲得一些成功的體驗，進一步增強探索數學知識的興趣和信心。

教學重點：探索異分母分數加、減法的算法，體會轉化在異分母分數加、減法中的重要性。

教學難點：理解異分母分數加、減法的算理。

教學準備：課件、學習單

教學過程：

一、 復習舊知，引入課題

談話：同學們，這是加、減法，大家肯定想到了整數加、減法，還想到了什么？

提問：我們在計算整數加、減法時，應注意什么？小數加、減法呢？

明確：計算整數加、減法和小數加、減法時需要相同數位對齊，也就是只有相同的計數單位才能直接相加減。

談話：同分母分數加、減法我們是怎樣計算的？

學生結合37+27=57匯報同分母分數加法的計算方法。

明確：分數單位相同時分母不變分子直接相加減，即相同計數單位才能直接相加減。

談話：由同分母分數加、減法我們還能想到了什么加減法？（異分母分數加減法）異分母分數的加、減法如何計算呢？今天我們就一起來研究（板書課題）。

評析：引導對整數、小數加、減法及同分母分數加、減法的算理和計算注意點的回憶，不僅了解學生舊知的掌握情況，同時也幫助學生提取學習新知的相關知識基礎，更重要的是為了引導他們體會計算方法背后的基本原理，既為學生探究新知提供有力支撐，又有助于學生建構計算知識版塊更具整體性的認知結構。

二、 自主探究，理解算理

1. 探究

（1） 理解題意

出示例題：明橋小學有一塊長方形試驗田，其中12種黃瓜，14種番茄，18種土豆，116種辣椒。

大家默讀題目，結合示意圖，說說題意。

提問：請任意選擇兩個條件，提一個用分數加法或減法解決的數學問題并列式？

學生1：種黃瓜和番茄的面積一共占這塊地的幾分之幾？算式是12+14。

學生2：種黃瓜和辣椒的面積一共占這塊地的幾分之幾？算式是12+116。

學生3：種黃瓜比番茄多的面積占這塊地的幾分之幾？算式是12-14。

學生4：種番茄比土豆多的面積占這塊地的幾分之幾？算式是14-18。

……

談話：仔細解讀示意圖，可以發現其中蘊含著豐富的數學信息。

（2） 探究算理

談話：我們知道12+14是一道異分母分數加法，結果會是多少，我們又是怎樣驗證的呢？課前，大家獨立思考，認真研究，想出了很多方法。請選擇一種方法和大家交流。

學生1：12+14=05+025=075=34

追問：這兒的05和02為什么可以直接相加？

明確：它們的計數單位都是01，所以直接相加。把異分母分數加法轉化為我們熟悉的小數加法也能得到答案。

學生2：我用折紙的方法，把長方形紙對折，其中一份表示12，再對折，這份表示14，這時就可以看出12變成了24，結果就是34。

追問：第二次對折后，那條折痕就把12變成了幾分之幾，分數的大小變化了嗎？

學生3：我用畫圖，……

談話：其實他們的想法是一樣的，都是把1個12轉化為2個14，就和這一個14合成3個14就是34。

學生4：我采用的是通分的方法，把12通分為24，24+14得到34。

追問：為什么要通分？怎樣通分？通分后，分數單位是多少？

交流完成板書：12+14=24+14=34

回顧：我們通過畫圖、計算等方法驗證了結果等于34，其實這些方法都有共同之處，都是為了達到什么目的？也就是把不同的分數單位轉化為相同的分數單位，即相同的計數單位，這樣就可以直接相加了。像這樣把新知識轉化為舊知識，是學習數學的重要方法。

（3） 談話：要求“黃瓜和辣椒的面積一共占這塊地的幾分之幾？”怎樣列式？你會解答嗎？

提問：你是怎樣解答的？通分后分數單位都是多少？

談話：像他這樣采用通分的方法計算出結果的人請舉手。選擇其他方法的同學請舉手，你是怎么想的？

交流后小結：我們一般采用通分的方法將異分母分數轉化成同分母分數再計算（板書）。

評析：算理的探索和理解，充分利用學生已有的知識和經驗，大膽放手，互動交流，在思維碰撞中逐步加深對“相同分數單位才能直接相加”算理的理解。課前，學生采用折一折、畫一畫、算一算等方法自主探究12+14的結果。課上，學生充分表達自己的見解，講述自己如何找到答案的，所有的方法都有相同目的——異分母分數轉化為同分母分數。05和02為什么可以直接相加，二次對折的折痕把12轉化成什么，計算中為什么要把12轉化成24，一次次的追問，加深了對算理的理解。12+116，為什么用通分而不用其他方法，優化了算法。

2. 遷移

引導：異分母分數加法會做了，異分母分數減法會做嗎？請你選擇其中一道（之前選擇兩個條件提問題列的式子）減法算式自己試一試。

學生匯報交流異分母分數減法計算方法及過程。（根據學生回答板書）

提問：你認為異分母分數減法怎樣計算？

說明：我們一般采用通分的方法將異分母分數轉化成同分母分數再計算（板書：通分）。

3. 練習

35+13710-16712+141-49

提問：你是怎樣計算的？計算的結果需要注意什么？

觀察每道算式的分母特點，你發現什么？

交流小結：可以根據兩數關系快速地找到公分母。

談話：要知道計算結果是否正確我們還可以進行驗算。誰來說說加法怎樣驗算？減法呢？

交流明確：分數加、減法的驗算方法和整數、小數加、減法驗算的方法一樣。

評析：學生已經初步掌握異分母分數加法的計算方法，讓學生嘗試計算異分母分數減法，把異分母分數加法的計算方法遷移到異分母分數減法中，有助于提高學生的學習能力。精選的四道習題，讓學生在異分母分數加、減法計算的進一步練習中強調計算結果能約分的要約成最簡分數，并感受到“根據兩數關系可以快速找到公分母”，幫助學生逐步熟練相關計算方法與技能，同時明確分數加、減法和整數、小數加、減法驗算方法的一致性。

4. 概括

提問：計算異分母分數加、減法要注意什么？

交流明確：計算異分母分數加、減法時，要先通分，再按同分母分數加、減法進行計算；計算結果能約分的要約成最簡分數；計算后要自覺驗算。

5. 明史

談話：其實兩千多年前，我們祖先就已經掌握了異分母分數加、減法計算的方法。（PPT介紹“合分術”“減分術”）

評析：算理是對算法的解釋，是掌握算法的前提，算法是對算理的理解與提煉，它們是相互聯系、有機統一的整體。在學生初步理解算理的基礎上，引導“計算異分母分數加、減法要注意什么？”的討論交流，總結計算方法。這樣，算理為算法提供了能夠這樣計算的依據，而算法則使算理更為具體化，成為可操作的程序性知識。“合分術”和“減分術”的介紹，滲透了數學的文化性，豐富學生的數學素養。

三、 運用知識，解決問題

1. 完成練習十二的第4題

（1） 讓學生看圖，說說圖的意思？

（2） 完成前2個問題

交流明確：這兒的結果表示具體數量，應標注合適的單位。

（3） 提問：第3個問題中的“1千米”是指的哪段路程？

2. 數形結合

談話：（再次出示例題圖）要求黃瓜、番茄、土豆、辣椒的種植面積一共占這塊地的幾分之幾？該怎樣列式？

引導：借助圖形來思考，想一想，這個問題還可以怎樣解決？

交流小結：我們通過數形結合還能將問題化繁為簡。

評析：習題的安排注重知識的運用，問題的解決，能力的培養。尤其是解決“黃瓜、番茄、土豆、辣椒的種植面積一共占這塊地的幾分之幾”的過程中，鞏固了異分母分數加法的計算方法，也滲透了數形結合的思想，培養學生思維的靈活性、創造性。

四、 回顧梳理，形成網絡

談話：今天這節課你有什么收獲和大家分享呢？這兒的“計數單位”分別指的什么？

交流明確：無論計數單位是指的個、十、百……及01、001、0001……還是具體的分數單位，只要計數單位相同，就可以直接相加減。

評析：課堂的回顧、整理，不僅分享了課堂的精彩，也再次回顧了異分母分數加、減法的算理，同時溝通了整數、小數、分數加、減法之間的聯系，整體上感知了“相同計數單位直接相加減”這一核心知識點，促進認知結構的建構與完善。

總評：

異分母分數加、減法是小學階段加減法學習的最后階段，