小學二至六年級數學困難兒童數學認知能力的發展

黃大慶，陳英和（1．北京聯合大學 心理素質教育中心，北京 100101；2．北京師范大學 發展心理研究所，北京 100875）

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小學二至六年級數學困難兒童數學認知能力的發展

黃大慶，陳英和
（1．北京聯合大學 心理素質教育中心，北京 100101；2．北京師范大學 發展心理研究所，北京 100875）

摘要：以小學二～六年級的1231名兒童為被試，主要采用自編的數學認知能力問卷，探討了數學困難兒童數學認知能力的發展趨勢.結果發現：（1）數學困難兒童在二至六年級中的檢出率分別為 8.03%、2.26%、3.00%、2.75%、3.32%，平均檢驗率為3.41%.（2）女生的表現都要劣于男生，但兩者之間并不存在的顯著差異.（3）數學困難兒童的數學認知能力隨著年級的升高而出現不同程度的緩慢增長，在空間想象能力上，二、三年級與五、六年級有比較明顯的差異，其它年級并不存在明顯差異.

關鍵詞：兒童；數學困難；數學認知；發展

1 問題提出

數學學習困難也叫數學學習不良（mathematical learning disability，簡稱MD）是指在接受正常的教育和教學條件下，一般智力正常，且無明顯的感官缺陷和情緒障礙，但數學成績顯著低于同齡與同年級學生的數學成績[1].MD的研究屬于學習障礙（learning disabilities，LD）的分支，是從學科分類的角度進行劃分的，也有研究者稱其為數學障礙（mathematic disabilities）.“障礙（disabilities）”是被健康部門所采納的術語，“困難（difficulties）”則是被教育部門所采納，兩者的區別在于輕度（mild）和中度（moderate）的不同意義（Berney，2006）[2].因此，“困難”這一表述可以更緊貼學校教育，且不涉及病理因素.

數學認知能力作為人類最重要的高級認知功能之一，是個體正確認識客觀世界所必需的基本能力.數學認知結構在學生的數學學習過程中發揮著重要的作用[3].Brewer指出，早期數學認知能力包括數字以及計算、數學推理、概率與統計、測量、幾何與模式認知能力，其中數字以及計算是最為核心的能力[4].MD兒童在數學認知能力上具有多種困難表現.MD兒童中存在著數字理解、計算、算術事實提取困難（Geary，1999[5]；Geary，Hamson & Hoard，2000[6]）.這些缺陷展示了不同的發展模式，比如數字理解與產生缺陷在一年級中最為普遍，但是提取缺陷卻有著持續性.對二年級、三年級的MD兒童的追蹤研究（Hanich et al，2001[7]；Jordan & Hanich，2003[8]；）表明，在基本計算（basic calculation）、數字組合的精確計算（exact calculation of number combinations）、故事問題（story problems）、近似算術（approximate arithmetic）、數位（placevalue）、計算規律（calculation principle）、數字事實提取（forced retrieval of number facts）、十進制概念（base-ten concepts）、多位紙筆計算（written multidigit computation）等一些直接與數學教學相關的數學認知能力（與更為一般的認知能力相對而言）上，MD影響的不僅是算術事實的掌握、計算步驟，也影響那些需要操縱定量的數字意義的任務，比如估算算術題的結果.數學兒童在基本數字知識和概念性知識上存在困難，原因可能在于有計算障礙的兒童不能完全理解計算原理（counting principles）（Geary et al，2000）[6]，MD兒童有著差的或不完善的概念性知識（Perry，2000）[9].這一點也可以從另一個角度來加以證明，MD兒童在對數、數量的命名上速度較慢，但是對于字母或幾何圖形卻不存在此種表現（vander Sluis, de Jong & van der Leij，2004）[10].數學兒童除了在基本的數字常識方面有困難，他們對于基本的加法、減法、乘法、除法數學事實的提取要慢于正常發展的同伴（Swanson & Beebe-Frankenberger，2004）[11].在空間能力上，很多研究均表明他們的能力均差于正常兒童[12～13].

大多數研究者都關注基本算術技能，把數學的核心內涵縮小了，更適合的稱謂是算術困難（Dowker，2005）[14].而，應用題解和更高級數學思維是數學教育實踐中的一個重要問題.Bryant等人（2000）[15]對8歲到18歲MD兒童的調查結果表明，MD兒童最大的困難是數學應用題（word problems）（國內一般稱應用題）解決.隨著身心發展，年級的升高，數學學習任務的發生了變化，認知能力也在發生變化.數學的不同方面包含著不同的認知能力（Geary et al，2000）[6].而且認知發展具有領域特殊性，不能脫離認知活動所依賴的背景和任務本身來考察認知能力.需要以整體的視角考察MD所涉及的認知因素，也就是說要考察MD兒童在不同數學領域的認知加工特點[16].同時，也要發運用展的視角來考察MD兒童的數學認知能力的發展趨勢與特點.

對于MD的篩選，通常采用IQ和成就測驗之間的差距來判定.排除智力的因素下，MD兒童在成就測驗上應該具有低成就.這一做法雖然具有表面效度，卻將成就測驗低下等同于認知能力低下，這將導致錯誤的選中的一些非 MD兒童.因此，有必要設計一份專門的數學認知能力測驗作為測查工具.梳理眾多研究者（Zheng Zhou et al，2005[17]；Desoete et al，2004[18]；劉蘭英，2000[19]；王權，1993[20]）對解決數學問題所需要的認知能力的結果及 MD研究中所

因此，研究將以整體的視角考察 MD兒童在不同數學領域所涉及的認知因素，以發展的視角考察小學二～六年級MD兒童數學認知能力的發展趨勢與特點.

2 研究方法

2.1 被 試

預測的樣本為二～六年級學生264人，有效樣本246人，男生136人，女生110人，各年級兒童平均年齡為：7.9歲、8.5歲、9.1歲、10.2歲、11.2歲；正式測量樣本為二～六年級學生1 515人，有效樣本1 231人，男生643人，女生588人.各年級平均年齡為：7.8歲、8.7歲、9.7歲、10.8歲、11.7歲.

2.2 調查程序

首先，梳理 MD研究文獻中的測量手段與內容、結合教育部頒布的數學課程標準，參考PISA關于數學素養的解釋，構建數學認知能力的結構并編制紙筆測驗；其次，對測驗問卷進行預測與修訂，形成正式問卷；最后，正式施測，對數據進行相關分析.

2.3 數據分析

使用 IRT軟件 PARSCALE 4.1，采用部分計分模式（partial credit model，PCM）與二元計分模式對數據進行單參數 LOGISTIC模型進行項目信息函數的估計，用 SPSS 13.0軟件進行因素分析、相關分析等.

2.4 調查工具

“瑞文智力測驗”，用以測查智商正常與否；“數學認知能力問卷”，包括4個維度，數量估計能力、空間想象能力、推理能力、應用能力.數量估計是估計的主要類型之一，其本質是一種導致數字判斷的數學解決問題的形式，它反映的是一種高水平的認知加工過程.采用Sielger研究中的數字線估計任務.一條25厘米長的線，左端標為0，右端標為100，代表數字從0排列到100.在線段的中間畫一條豎線，讓被試估計這條數線所代表的數值.空間想象能力包括 3個方面，分別是圖形辨別、圖形旋轉、折疊展開.圖形辨別的題干是一幅多種圖形組合在一起的圖形，4個題支中有3個是圖形在題干中出現過，只有一幅圖沒有出現過.要求被試選出那幅未出現過的圖形.圖形旋轉的題干是一幅圖形，要求被試從題支的 4幅圖形中選出那幅經過旋轉之后與題干相同的圖形.折疊展開是題干是一幅三維立體的圖形，要求被試在4個題支中選出針對題干圖形的正確展開圖.推理能力主要包括數字推理、圖形推理.數字推理是給出一系列按某種規律排列的數字，要求被試在給定的4個選項中選出正確的答案填寫到數列的空白處.數列類型分為單系列與二重系列.圖形推理是要求被試根據已呈現的圖案間的關系，推出未知區域中所需要的圖案，以完成其中的推理概念.應用能力主要采用應用題的方式，將日常生活中一些需要運用數學知識或計算的場景通過文字表述出來，并列出相關結果，讓被試進行選擇.包括數量關系、實踐推理、空間能力3個方面.數量關系主要體現的是日常生活中需要進行數學計算的問題；實踐推理的題目是那些不需要精確答案，需要運用某些條件進行推斷問題結果的問題.空間能力在日常中的具體表現為對了空間方位的認知正確與否.因此，應用能力中的空間方位是利用給定的模擬日常生活中的不同物體方位，讓被試以某一物體為中心來辨別其它物體的方位.

對于數量估計部分，為了精確檢測兒童的估計能力，采用的指標為絕對錯誤的百分比（percentabsolute error，PAE），計算公式為PAE=估計值-被估計值/估計尺度.然后，按照PAE的大小進行等級計分，若PAE=0或0.1，記5分；PAE=0.2，記4分；PAE=0.3，記3分；PAE=0.4，記2分；PAE≥0.5，記1分.對于其它3個分測驗的題目，均采用0、1記分，答對記1分，答錯記0分.

總量表的信度系數為0.887.以瑞文智力測驗分數、數學成績為效標，計算相關.結果分別為0.690**，0.410**.可以看出，測驗與數學成績相關比較低，而與智力相關較高，說明這個測驗確實不是在考察數學學習成就的成就性測驗，而是數學學習背后的數學的認知能力的測驗.

3 結果與分析

3.1 MD兒童的檢出率

對于 MD的篩選標準，通過瑞文智力測驗、數學認知能力測驗、語文成績加以選出.選定標準如下：

（1）瑞文智力量表的智商得分在70分以上.

（2）數學認知能力診斷測驗的測驗總分——T分低于312分（也就是低于兩個標準差）.

（3）語文測驗達到該年級組的通過率.

（4）排除其它障礙及環境因素的影響：藉由觀察學生并訪談該班主任，以確定學生的學習問題不是受到生理、感官缺陷及文化環境、教學不當所影響.

各個年級MD兒童檢出率如表1.

表1 各年級MD兒童基本情況

3.2 不同性別MD兒童在數學認知能力測驗上的比較不同性別 MD學生在數學認知能力測驗上的比較結果如表2所示.

表2 不同性別MD學生在數學認知能力測驗上的比較

表2中顯示，雖然在數學認知能力測驗總分上或是在各種不同能力的得分上，女生的表現都要劣于男生，但兩者之間并不存在顯著差異，也就是題目在被試間不存在性別差異.

3.3 不同年級MD兒童在數學認知能力測驗上的比較

不同年級 MD兒童在數學認知能力上的方差分析結果如表3所示.

表3 不同年級MD兒童在數學認知能力上的方差分析

經由單因素方差分析（ANOVA）統計分析表明，各年級的被試在數學認知能力測驗上的表現有顯著性差異存在.不同年級的MD兒童的4種數學能力的發展趨勢如圖1.

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圖1 各年級MD兒童4種能力發展趨勢

由圖1可以看出，隨著年級的升高，MD兒童的4種能力都會隨之發展.無論哪種能力，整體都呈現出上升的趨勢，只是各自提高的幅度是不相一致的.在四年級之前，4種能力水平的發展從高到低分別為數量估計能力、空間想象能力、應用能力、推理能力；在四、五年級時，變為數量估計能力、應用能力、空間想象能力、推理能力；到了六年級，變為數量估計能力、應用能力、推理能力、空間想象能力.采用Turkey HSD方差多重比較方法，對各年級MD兒童進行兩兩比較的結果如表4.

結果發現，在空間標準分上，二年級與五年級（F(4, 40)=2.91，P<0.05）、六年級（F(4, 40)=3.25，P<0.05）之間存在顯著差異，二年級的均分顯著高于五年級和六年級的均分.在空間標準分上，三年級（F(4, 40)=3.45，P<0.01）與六年級（F(4, 40)=3.73，P<0.01）之間存在顯著差異，三年級的均分顯著高于五年級和六年級的均分.在其它數學認知能力的指標得分上，年級之間的均分都不存在顯著差異.

表4 各年級MD兒童的各種能力的多重比較結果

4 討 論

4.1 MD兒童的鑒定與檢出率

對于MD的判斷方法參照的是“智商—成就差異模式”，此模式要求被試智商正常、數學成績要低于均值兩個標準差.調查中將成就指向數學認知能力測驗的成績，而非數學科的學業成績，進一步明確了成就的具體意義.而且為了盡量保證不會出現“閱讀—數學混合型障礙”，對被試的語文成績也進行了限制，確保被試的閱讀能力正常，出現 MD不是因為語文理解上的原因.對于數學認知能力測驗的均值，并未采取統一的標準，而是在不同年級內部來進行標準化.由于被試年齡跨度較大，受時間、教育等因素的影響，二年級與六年級兒童之間的差異可能十分明顯.若采用單一標準，有可能導致標準對于低年級兒童來說過于嚴格.而按年級內部來進行標準化，就會減少時間等因素干擾，使處于同一年級的被試接近同質水平.

從各個年級MD兒童的檢出率來看，二年級MD兒童的檢出率為 8.03%，這一數值與以往文獻中提到 6%～11% （Ramaa & Gowramma，2002[21]；Mazzocco & Mayers，2003[22]）的檢出率是比較一致.然而三年級至六年級 MD兒童的檢出率卻在 2.26%～3.32%之間，這一數值明顯偏低.之所以出現這種狀況，有如下幾個原因，一是測量數學能力的工具各異，不同的研究者所采用的測驗不一樣.二是更重要的在于被試群體的變化.以往研究中所研究的群體多集中于小學前或剛上一、二年級的兒童，而很少有涉及到更高年級的被試群體.二年級 MD兒童的檢出率基本上與以往研究一致，這就說明了對于低年級或學前兒童來說，MD的發生率會保持在 6%～11%左右.對于更高年級的兒童來說，MD的發生率約為3%左右.三是在不同的發展階段，數學的作業要求以及相應的數學技能是不同的，對兒童的認知挑戰也是不同的[23].

通過對MD兒童數學認知能力的分析，可以看出4種能力在不同年級間的發展狀況并不一致.總體來說，MD兒童的推理能力最弱，最有優勢的能力是數量估計能力.

估計是一種非常重要的數學認知過程.估計存在于各種領域，似乎就實際需要解決的數學問題而言，估計在課堂和日常生活中的使用比其它數量加工更多、更普遍.Carpenter等人（1976[24]，1980[25]）指出兒童缺乏基本的、必要的估計技能很難適應實際生活的需要.數量估計是估計的一種主要類型.依托這一具有代表性的估計模式，研究發現，隨著年級的升高，MD兒童的估計能力是不斷發展的，對于數量估計的準確度越來越精確.而且更為重要的是，不論是在哪一個年級，MD兒童的估計能力都要強于其它3種能力.這也說明數量估計能力對于 MD兒童來說，是一種相對比較穩定的能力.

“數學是對現實世界的數量關系、空間形式和變化規律進行抽象，通過概念和符號進行邏輯推理的科學.”（史寧中等，2006）[26]以往有研究（Kulak，1993）[27]認為，MD兒童在解題上之所以出現困難，原因之一就在于缺乏抽象推理、類化的能力.研究發現 MD兒童確實在推理能力上存在困難，并且是數學認知能力中最薄弱的能力.隨著年級不斷升高，MD兒童的推理能力也呈現出不斷上升的趨勢，不過在每一個年級段上，推理能力卻依然排在4種數學認知能力的末尾.造成這種狀態的原因可能在于從二年級到六年級這一學習時段內，學習內容發生重要的變化.在低年級時，更多的推理內容是尋找數字序列之間的規律，而到了高年級的推理問題，不僅對于尋找數字序列規律的問題變得更為復雜，同時還出現一些針對幾何圖形的推理內容.對于幾何圖形推理題目而言，雖然考察的關鍵是兒童的推理能力，但是這種能力必然要依附于一定的空間認知方面的能力.這樣以來，就提高了對推理能力的要求，導致推理能力的發展顯得要落后于前一階段.

若兒童存在視覺——空間缺陷，那么就有可能出現某些方面的困難，比如，看時鐘的指針有困難；分辨運算符號有困難；對齊列式有困難，等等.Geary（1993）[28]發現具有空間計算失能（spatial acalculia）的兒童，在對數字信息的空間表征和一些概念性的問題上產生缺陷（如對位值的理解，列豎式等）.研究發現MD兒童的空間想象能力確實低于正常兒童.雖然隨著年級的升高，空間想象能力總體趨勢是不斷提高，但是在三年級到五年級這一階段，出現了四年級低于三年級，五年級略高于三年級的現象.不過總體而言，三年級至五年級這一階段，MD兒童的空間想象能力沒有太大的變化，這說明在這一段空間想象能力的發展非常緩慢，似乎步入了一個高原期.這可能與課程內容的設置有一定關聯.在三年級之前，教學的主要目的是為了讓學生建立初步的空間觀念.因此，所教授的內容主要是對于簡單幾何體與平面圖形的認知及感受一些空間運動的現象；而從四到六年級這段期間內，是對空間與圖形的基本特征、圖形變換等內容進行更為深入的學習.這樣以來，自然四年級前后就成為了一個過渡時期.對于研究結果來說，最明顯的特征就是在空間能力上四年級的得分要低于三年級與五年級.而這一階段可能對于 MD兒童來說會變得更為漫長，所以，三年級至五年級這一階段內，他們的能力沒有發生太大的變化.

將數學知識應用到實際生活中是相當重要的，也就是說如何將實際問題抽象成為數學模型并進行解釋與應用是一項相當重要的能力.MD兒童的應用能力要遠遠低于正常學生，雖然他們的發展趨勢與正常兒童一樣，都是隨著年級的升高而不斷發展的.值得注意的是，到了四年級之后，MD兒童的應用能力的發展僅次于估計能力，要高于推理能力與空間想象能力.MD兒童應用能力的發展狀況，也許傳輸了一種信號.那就是對于 MD兒童的教學要更注重與實際生活相聯系.若是能夠將數學知識的傳授更多的與現實生活聯系到一起，那么 MD兒童也許就更容易掌握相關知識，提高數學成績.

從研究的結果來看，MD兒童的數學認知能力的發展總體趨勢是隨著年級的升高而不斷增長的，這就間接地說明了MD兒童并不是天生就缺少某種能力，而導致在發展水平上要落后于正常兒童，可能更需要從外部環境尋找出現能力落后的原因.

范敘保等（1999）[29]認為數學能力與性別存在一定聯系，但男、女在不同的能力成分方面各有長短，此消彼長，總體差異不大.對不同性別 MD兒童的數學認知能力的 T檢驗表明，無論是在數學認知能力測驗總分上還是在各種不同能力的得分上，女生的表現都要劣于男生，但兩者之間并不存在的顯著差異.這就說明對于 MD兒童而言，數學認知能力的高低并不必然受到性別的影響.

5 結 論

（1）MD兒童在二至六年級中的檢出率分別為8.03%、2.26%、3.00%、2.75%、3.32%，平均檢驗率為3.41%.

（2）女生的表現都要劣于男生，但兩者之間并不存在顯著差異.

（3）MD兒童的數學認知能力隨著年級的升高而出現不同程度的緩慢增長，但只有空間想象能力在二、三年級與五、六年級有比較明顯的差異，其它年級并不存在明顯差異.

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[責任編校：周學智]

中圖分類號：G622

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0070–05

收稿日期：2015–12–07

基金項目：國家社科基金重大項目——中國兒童青少年思維發展數據庫建設及其發展模式（14ZDB160）；自然科學基金項目——幼兒及小學兒童數量表征的機制及作用（31271106）

作者簡介：黃大慶（1978—），男，河北保定人，講師，博士，主要從事數學困難與心理健康研究．陳英和為本文通訊作者．涉及的認知能力，考慮到中國小學數學教育的實際情況，經與專家、一線教師評定，統計分析驗證，最終提出數學認知能力包括4個方面：數量估計能力、空間想象能力、推理能力、應用能力，組成了“數學認知能力問卷”.

Study on the Development of Math Cognitive Abilities for Mathematic Difficulties in Grade 2～ 6 Primary Students

HUANG Da-qing1, CHEN Ying-he2
(1. Center of Psychological Quality Education, Beijing Union University, Beijing 100101, China; 2. Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract:The development of math cognitive abilities using of 1231 children with mathematic difficulties in primary 2-6 by using math cognitive abilities test was explored. The results were as follows: (1) The percentage of MD population for the Grade 2-6was 8.03%, 2.26%, 3.00%, 2.75%, 3.32%, respectively. (2) There weren’t significantly gender difference in the performance of mathematics cognitive among children with mathematic difficulties. (3) The mathematics cognitive abilities of mathematic difficulties student were development with the increasing growth year. There is no significant difference among different grades except the space imagination ability.

Key words:children; mathematic difficulties; math cognitive abilities; development