高中微積分課程國際比較研究
——基于十個國家和地區(qū)的十四個課標(biāo)研究

張玉環(huán)，王 沛（河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 開封 475004）

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高中微積分課程國際比較研究
——基于十個國家和地區(qū)的十四個課標(biāo)研究

張玉環(huán)，王 沛
（河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 開封 475004）

摘要：考察10個國家、地區(qū)的14個最新課標(biāo)中的微積分內(nèi)容，并做比較細致的定量和定性分析.定量分析包括廣度、深度、難度、內(nèi)容分布、聚類分析；定性分析包括分析核心概念、命題的引入和處理方式.得出的部分結(jié)論如下，每個國家、地區(qū)選基礎(chǔ)水平或理科作為代表，絕對難度從大到小排名：法國（理科）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、英國AQA、韓國、中國香港（應(yīng)用）、俄羅斯（基礎(chǔ)）、新加坡、中國臺灣（理科）、中國（理科）、加拿大；分別按課標(biāo)、知識點聚類分析，得出了微積分內(nèi)容設(shè)置比較相似的課標(biāo)分類和知識點受重視程度相似的一些分類.通過比較研究，對中國高中微積分課程發(fā)展與教學(xué)改革提供一些思考和建議.

關(guān)鍵詞：微積分課程；高中；聚類分析；定量分析；比較研究

1 引 言

中國《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）已實施十多年，其中微積分的內(nèi)容和要求存在較大爭議，并且中國高中微積分教與學(xué)現(xiàn)狀存在諸多問題[1].為此，以發(fā)達國家、地區(qū)課標(biāo)中的微積分內(nèi)容為研究對象，通過定量與定性相結(jié)合的方法進行分析、比較，得出微積分內(nèi)容設(shè)置的國際經(jīng)驗，為中國高中課標(biāo)修訂提供借鑒.

1.1 研究問題

微積分的國際比較研究主要關(guān)注某一個國家、地區(qū)的課標(biāo)[2～5]，并且大部分文獻僅考慮“微分”與“積分”，而忽視了學(xué)習(xí)微積分的一個重要前提“極限”.對高中微積分進行大范圍國際比較的文獻[6～7]較少，并缺乏量化分析.

因此，選擇多個發(fā)達國家或數(shù)學(xué)教育比較優(yōu)秀的國家、地區(qū)的高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中的微積分內(nèi)容，做比較細致的定量與定性分析.定量分析包括廣度、深度、難度、認知水平分布、核心模塊知識分布、聚類分析；定性分析即分析核心概念、命題的引入方式、處理方式.最后，對中國高中微積分課程的設(shè)置提供若干思考與建議.

研究內(nèi)容包括導(dǎo)數(shù)、定積分、不定積分這些核心概念，還包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)、數(shù)值積分、微分方程，力求做到全面、系統(tǒng)、客觀.

1.2 樣本選取

樣本范圍較廣，且有一定的代表性.選擇了法國、英國、澳大利亞等發(fā)達國家，以及在國際數(shù)學(xué)教育比較中排名較靠前的國家、地區(qū)，如新加坡、韓國、俄羅斯、中國香港、中國臺灣等.

為客觀、全面了解一個國家、地區(qū)的微積分內(nèi)容，選擇大部分高中生升學(xué)必須要求的課標(biāo)，特別關(guān)注理科、工程類（很多國家、地區(qū)的文科生并不學(xué)習(xí)微積分；預(yù)科課程也不在考察范圍，比如英國的進階課程主要針對要攻讀牛津、劍橋等非常優(yōu)秀學(xué)校的學(xué)生），一般會選擇1～2個有代表性的課標(biāo)，具體見表1.

表1 微積分國際比較樣本

為簡單起見，表1中的課標(biāo)表示如下：澳大利亞的兩個課標(biāo)，分別用澳大利亞（基礎(chǔ)）、澳大利亞（專業(yè)）來表示；中國香港偏理論的課標(biāo)用中國香港（理論）表示，偏應(yīng)用的課標(biāo)用中國香港（應(yīng)用）表示；俄羅斯的課標(biāo)分為基礎(chǔ)水平和專業(yè)水平，分別用俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）來表示；法國的兩個課標(biāo)分別用法國（理科）、法國（文科）表示.

1.3 研究方法

主要采用定量與定性分析相結(jié)合的方法，其中定量分析包括廣度、深度、難度、認知水平分布、核心模塊知識分布、聚類分析，具體如下.

1.3.1 廣 度

課程廣度指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度.在過去的研究中，對于課程廣度的量化一直通過統(tǒng)計知識點數(shù)量來進行比較[22～24].因此，按知識點個數(shù)來統(tǒng)計廣度.知識點主要包括概念、命題，而命題又包含定理、運算法則等.知識點又分為大知識點和小知識點.為了做到客觀，盡可能選擇最小的知識點，比如“高階導(dǎo)數(shù)”這個內(nèi)容，分成“二階導(dǎo)數(shù)”與“三階及以上導(dǎo)數(shù)”兩個知識點，并且綜合考察這10個國家、地區(qū)的14個課標(biāo)內(nèi)容，力爭不重不漏.

1.3.2 深 度

課程深度，一般來說它泛指課程目標(biāo)對課程內(nèi)容的要求程度以及課程內(nèi)容所需要的思維深度.在過去的研究中，通常將課程深度看作對課程的認知要求水平[22，24].借鑒研究經(jīng)驗，并根據(jù)李高峰對課程難度模型的修訂[23]，用課程目標(biāo)的不同要求程度或概念命題的呈現(xiàn)方式求和來刻畫深度.

課程標(biāo)準(zhǔn)對目標(biāo)要求的描述所用詞語分別指向認知性學(xué)習(xí)目標(biāo)、技能性學(xué)習(xí)目標(biāo)和體驗性學(xué)習(xí)目標(biāo).參考新修訂的布魯姆認知水平[25]，依據(jù)上海中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的水平層次，把14個課標(biāo)中學(xué)習(xí)要求分為3個層次：記憶性水平、解釋性理解水平、探究性水平，分別賦值1、2、3，見表2.

表2 微積分國際比較目標(biāo)賦值

1.3.3 難 度

課程的統(tǒng)計難度是指在確定的被試對象上表現(xiàn)出來的難度值，主要是通過考試，衡量學(xué)生是否達到課程目標(biāo)的要求，也叫相對難度.課程的內(nèi)容難度是由課程目標(biāo)確定的、在課程標(biāo)準(zhǔn)和教材上表現(xiàn)出來的難度，課程標(biāo)準(zhǔn)和教材一旦形成，課程的內(nèi)容難度便成為一種不附加任何條件、不受任何限制的客觀存在[24].研究中課程難度指課程的內(nèi)容難度.依據(jù)文獻[23～24]，課程難度與課程深度成正比，與課程時間成反比；課程難度與課程廣度成正比，與課程時間成反比，則難度的計算模型如下.

課程難度=λ×(廣度/T)+(1-λ)×(深度/T)

其中T指課程時間，λ為加權(quán)系數(shù).在確定λ值時，參考“在應(yīng)用中，常常取λ=0.5，即課程難度等于課程的可比深度和可比廣度的算術(shù)平均數(shù)”[23]，訪談、調(diào)查河南大學(xué)、首都師范大學(xué)等資深大學(xué)數(shù)學(xué)教師、開封高級中學(xué)與河南大學(xué)附屬中學(xué)的數(shù)學(xué)教師及學(xué)生，并咨詢林群院士等知名數(shù)學(xué)家的意見，得出結(jié)論“對于高中的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)新的概念、命題相對來說比舊內(nèi)容的加深更有難度”，因此，選定λ=0.6鑒于課標(biāo)的實際情況，且資料有限，不能得知確切的關(guān)于微積分的授課時間，故模型中暫不考慮所用課時，即令T值取1.

1.3.4 內(nèi)容分布

內(nèi)容分布具體包括認知水平分布與核心模塊知識的分布，也即研究各課標(biāo)知識點關(guān)于表2中的3個認知水平如何分布？各占多大比例？微積分內(nèi)容的主要模塊：數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程所占比例如何？各國家、地區(qū)有何側(cè)重？具體操作要依據(jù)知識點的廣度、深度和難度.

1.3.5 聚類分析

聚類分析又稱群分析，它是研究（樣品或指標(biāo)）分類問題的一種多元統(tǒng)計方法，所謂類，通俗地說，就是指相似元素的集合[26].采用最常用的類平均法和離差平方和法，分別對課標(biāo)和知識點進行聚類分析，期望得到微積分設(shè)置相似的課標(biāo)分類和知識點受重視程度相似的知識點分類.

比較的信度和效度.實施比較教育最應(yīng)當(dāng)講究比較的信度和效度.研究從比較的對等性、文本的代表性、量化工具的客觀性、統(tǒng)計數(shù)據(jù)的正確性做到比較的信度和效度.首先，比較的對等性和文本的代表性，微積分國際比較采用的是10個國家、地區(qū)的比較權(quán)威、有代表性的14個課標(biāo).其次，量化工具的客觀性，研究參考了大量文獻，并訪談許多相關(guān)人員，制定出比較合理、客觀的統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)和量化模型.最后，統(tǒng)計數(shù)據(jù)的正確性，讓多人進行多次重復(fù)的統(tǒng)計，以保證結(jié)果的一致性和正確性.

2 量化分析

2.1 “廣度”“深度”“難度”“內(nèi)容分布”分析

2.1.1 廣 度

對韓國、法國（理科）、法國（文科）、中國臺灣（理科）、中國香港（應(yīng)用）、中國香港（理論）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、澳大利亞（專業(yè)）、加拿大、新加坡、英國AQA、中國、俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）進行知識點的廣度分析，并按廣度從大到小進行排序，見圖1.

如果每個國家、地區(qū)選基礎(chǔ)水平或理科的課標(biāo)（并非數(shù)學(xué)、物理類的專業(yè)課標(biāo)）作為代表，按廣度排名，依次是法國（理科）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、英國AQA、韓國、中國香港（應(yīng)用）、新加坡、俄羅斯（基礎(chǔ)）、中國臺灣（理科）、中國（理科）、加拿大.

2.1.2 深 度

各課標(biāo)中微積分的深度從大到小排名見圖2.統(tǒng)計數(shù)據(jù)說明，課標(biāo)的廣度和深度有一定的相關(guān)性，也有一定的差異性.如，法國（文科）在廣度中排名第6，在深度中則排名第10.中國香港（理科）在廣度中排名第9，在深度中排名第6.

如果每個國家、地區(qū)選基礎(chǔ)水平或理科的課標(biāo)（并非數(shù)學(xué)、物理類的專業(yè)課標(biāo)）作為代表，按深度排名，依次是法國（理科）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、英國AQA、韓國、中國香港（應(yīng)用）、俄羅斯（基礎(chǔ)）、新加坡、中國臺灣（理科）、中國（理科）、加拿大.法國（理科）的微積分內(nèi)容的深度值最大，中國（理科）微積分內(nèi)容的深度倒數(shù)第2.相比于廣度排名，俄羅斯（基礎(chǔ)）與新加坡順序有調(diào)整.

圖2 微積分內(nèi)容的深度統(tǒng)計

2.1.3 難 度

由圖3知，法國（理科）微積分內(nèi)容的難度排名第2，中國（理科）微積分內(nèi)容排名倒數(shù)第2.因難度是廣度和深度的綜合，因此難度排名與前兩者的排名有些變化.

如果每個國家、地區(qū)選基礎(chǔ)水平或理科的課標(biāo)（并非數(shù)學(xué)、物理類的專業(yè)課標(biāo)）作為代表，按難度排名，依次是法國（理科）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、英國AQA、韓國、中國香港（應(yīng)用）、俄羅斯（基礎(chǔ)）、新加坡、中國臺灣（理科）、中國（理科）、加拿大.法國（理科）的微積分內(nèi)容絕對難度最大，加拿大微積分內(nèi)容難度最小，中國（理科）微積分難度倒數(shù)第2.相比于廣度排名，俄羅斯（基礎(chǔ)）與新加坡順序有調(diào)整.跟深度排名順序是一致的.

圖3 微積分內(nèi)容的難度統(tǒng)計

2.1.4 認知水平的分布

由圖4可以看出，14個課標(biāo)中A、B、C三層次（分別指了解、理解、掌握）的認知水平的分布有差異，比如俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）課標(biāo)中的B層次要求較多，A層次水平的知識點最少.中國香港（理科）、澳大利亞（基礎(chǔ)）課標(biāo)中A層次要求的知識點少于10%，法國（文科）、新加坡課標(biāo)的A層次水平知識占40%左右，中國課標(biāo)A層次知識水平知識占35%，中國香港（應(yīng)用）課標(biāo)中A水平知識近28%.法國（文科）課標(biāo)C層次水平知識占3%，新加坡、中國臺灣（理科）課標(biāo)C水平知識點近15%，澳大利亞（基礎(chǔ)）、澳大利亞（專業(yè)）兩課標(biāo)中 C層次水平知識近50%，因此這兩個課標(biāo)的絕對難度比較大.

圖4 3個認知水平（知識點個數(shù)）所占比重統(tǒng)計

2.1.5 核心模塊知識的分布

為了全面、系統(tǒng)、客觀地研究，綜合考慮14個課標(biāo)涉及的微積分內(nèi)容，探討的內(nèi)容模塊包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、不定積分、數(shù)值積分、微分方程，以下簡稱“核心模塊知識”.14個課標(biāo)各有特色，各核心模塊知識所占比例如何？各國家、地區(qū)有何側(cè)重？值得探究.

圖 5顯示了各核心模塊知識的深度在本課標(biāo)微積分內(nèi)容中所占的比重.由圖5可以看出，所有課標(biāo)都包括導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，并且占了很大比重.積分部分只有加拿大課標(biāo)沒有涉及.數(shù)列極限部分，中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用）、新加坡這3個課標(biāo)沒有涉及.圖6顯示了各課標(biāo)的核心模塊知識深度值及其在本課標(biāo)中所占比重.加拿大課標(biāo)的微積分深度值最小，其導(dǎo)數(shù)部分占了非常大的比例.相比較來說，法國（理科）課標(biāo)中導(dǎo)數(shù)的深度所占比例最少，33%左右.圖7表示各核心模塊知識的難度在各課標(biāo)中所占的比例.

圖5 核心模塊知識的廣度在本課標(biāo)微積分中所占比重

圖6 核心模塊知識的深度在本課標(biāo)微積分中所占比重

圖7 核心模塊知識的難度在本課標(biāo)微積分中所占比重

各課標(biāo)中數(shù)列極限、連續(xù)、函數(shù)極限的難度值見圖8.可知，法國（理科）課標(biāo)對極限要求最高，其次是俄羅斯（專業(yè)）課標(biāo)，中國課標(biāo)要求最低.

圖8 極限模塊知識的難度值統(tǒng)計

各課標(biāo)中微分、積分、微分方程的難度值見圖9.可以看出，每個課標(biāo)中的導(dǎo)數(shù)部分都比積分部分難度值大.只有澳大利亞（專業(yè)）、法國（理科）、英國AQA課標(biāo)有微分方程的內(nèi)容，其中法國（理科）課標(biāo)中的微分方程并沒有單獨列出，而是放在了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)部分.

圖9 “微分”“積分”“微分方程”模塊的難度值

由于積分這一模塊包括不定積分、定積分、數(shù)值積分，為了解各國家、地區(qū)對這3塊的重視程度，特把積分內(nèi)容分小模塊來比較分析.積分部分各模塊難度值見圖 10.積分部分絕對難度從大到小依次澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用）、英國AQA、法國（理科）、俄羅斯（專業(yè)）、韓國、法國（文科）、新加坡、俄羅斯（基礎(chǔ)）、中國臺灣（理科）、中國、加拿大.

圖10 積分部分各模塊的難度值

每個課標(biāo)中的不定積分、定積分、數(shù)值積分占積分部分的比重見圖 11.可以看出，澳大利亞（專業(yè)）、新加坡課標(biāo)中定積分內(nèi)容與不定積分內(nèi)容比例差別不大，俄羅斯（專業(yè)）、英國AQA課標(biāo)中定積分內(nèi)容稍微比不定積分內(nèi)容少一些，其他課標(biāo)定積分內(nèi)容比不定積分多，其中中國臺灣（理科）、法國（理科）、法國（文科）這幾個課標(biāo)差別較大.中國沒有涉及不定積分內(nèi)容.

(3) 積分時間(分別對每個零部件進行模態(tài)分析，取加權(quán)平均模態(tài)確定各自積分時間，分別取最大和最小時間為積分時間，并結(jié)合接觸剛度確定ITS)；

圖11 積分3個模塊占積分內(nèi)容的比重

2.2 用聚類分析方法進行分類

用類平均法與離差平方和方法分別對課標(biāo)和知識點進行聚類分析，期望得到微積分設(shè)置相似的課標(biāo)分類和知識點受重視程度相似的知識點分類.

2.2.1 按課標(biāo)進行聚類分析

（1）類平均法聚類分析.

圖12和圖13分別為用類平均法對不同課標(biāo)進行聚類分析的譜系圖及聚類過程，半偏R2統(tǒng)計量SPRSQ表明分為4類、2類、3類比較好；R2統(tǒng)計量RSQ表明分為 2類、3類、4類較好；偽F統(tǒng)計量PSF表明分為2類、4類比較合理；偽t2統(tǒng)計量PST2表明分為4類、2類都較好.綜合可知，分為2類、4類都是比較好的.具體而言，分為2類的結(jié)果為：G1={法國（文科），法國（理科）}，G2={其他國家、地區(qū)}；分為4類的結(jié)果為：G1={韓國}，G2={法國（文科），法國（理科）}，G3={澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）}，G4={其他}.

圖12 用類平均法對不同課標(biāo)進行聚類分析的譜系圖

圖13 用類平均法對不同課標(biāo)的聚類過程

（2）離差平方和法聚類分析.

圖14和圖15分別為用離差平方和法對不同課標(biāo)進行聚類分析的譜系圖及聚類過程，半偏R2統(tǒng)計量SPRSQ表明分為2類或者3類比較好；R2統(tǒng)計量RSQ表明分為2類、3類、4類較好；偽F統(tǒng)計量PSF表明分為2類最好，其次是3類、4類、5類比較合理；偽 t2統(tǒng)計量PST2表明分為2類、3類、4類都較好.綜合可知，分為2類、3類、4類都是比較好的.具體而言，分為兩類的結(jié)果為：G1={澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）}，G2={其他國家、地區(qū)}；分為3類的結(jié)果為：G1={澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）}，G2={法國（理科）}，G3={其他國家、地區(qū)}；分為4類的結(jié)果為：G1={澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）}，G2={法國（理科）}，G3={新加坡、加拿大、英國、中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用）}，G4={其他}.

（3）結(jié)果分析.

圖14 用離差平方和法按課標(biāo)進行聚類分析的譜系圖

圖15 用離差平方和法對不同課標(biāo)的聚類過程

中國（理科）與中國臺灣（理科）相似原因分析.一方面這兩個課標(biāo)的絕對難度都不大；另一方面這兩個課標(biāo)各模塊的受重視程度類似.中國臺灣課標(biāo)對極限要求較低，基本上是直觀了解，而中國課標(biāo)沒有涉及極限內(nèi)容；導(dǎo)數(shù)部分，都比較重視，但整體要求都不太高；對不定積分的要求都較低，中國臺灣課標(biāo)在不定積分中只涉及多項式函數(shù)的不定積分計算，并沒有分部積分等，中國課標(biāo)中則沒有不定積分；定積分部分，中國臺灣課標(biāo)只涉及多項式的積分，這跟中國課標(biāo)了解定積分定義、微積分基本定理的思想理念差不多，并且兩個課標(biāo)中定積分的知識點個數(shù)基本沒差別.這兩個課標(biāo)都不包含數(shù)值積分、微分方程.

加拿大與新加坡課標(biāo)相似原因分析.極限部分，加拿大課標(biāo)講數(shù)列極限，新加坡課標(biāo)涉及函數(shù)極限.導(dǎo)數(shù)部分，新加坡課標(biāo)有19個知識點，加拿大課標(biāo)有13個知識點，且兩國強調(diào)的內(nèi)容類似，都關(guān)注一階導(dǎo)、二階導(dǎo)，并利用它們研究函數(shù)的特性、描繪圖形.加拿大課標(biāo)沒有積分內(nèi)容，新加坡課標(biāo)對定積分、不定積分的要求也不高.

澳大利亞（基礎(chǔ)）與澳大利亞（專業(yè)）課標(biāo)相似原因分析.兩種聚類分析都把這兩個課標(biāo)分為一類.兩課標(biāo)中的微積分內(nèi)容大致相同，只是澳大利亞（專業(yè)）對部分知識點要求稍高，以及多要求了不定積分技術(shù)、數(shù)值積分、定積分的應(yīng)用以及微分方程.相比于其他課標(biāo)，這兩個課標(biāo)內(nèi)容分布比較全面，且整個難度水平較高.

俄羅斯（基礎(chǔ)）與俄羅斯（專業(yè)）課標(biāo)相似原因分析.兩課標(biāo)在6個模塊中的知識點個數(shù)分別為：數(shù)列極限：4，5；函數(shù)極限：0，2；連續(xù)：1，2；導(dǎo)數(shù)：16，17；積分：6，10，并且俄羅斯（專業(yè)）課標(biāo)對部分知識點的要求稍高.

中國香港（應(yīng)用）與中國香港（理論）課標(biāo)相似原因分析.這兩個課標(biāo)中的知識點個數(shù)分別為，函數(shù)極限：3，3；連續(xù)：1，0；導(dǎo)數(shù)：13，15；積分：12，12，兩課標(biāo)的知識點總數(shù)都是29，可見其相似程度.

接下來探討使用離差平方和方法分成4類的情況.據(jù)經(jīng)驗判斷該方法分的比較合理，其分類結(jié)果受一個國家、地區(qū)有兩個課標(biāo)的影響不大.G1={澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）}，G2={法國（理科）}，G3={新加坡、加拿大、英國、中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用）}，G4={俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）、中國、中國臺灣、法國（文科）、韓國}.下面進行原因分析.

已經(jīng)分析過G1類的聚類成因.G2類只有法國（理科），該課標(biāo)的微積分知識點分布比較全面，且基本沒有過于偏重某個較小模塊，各模塊所占比重為16%，12%，12%，33%，26%，2%，并且該課標(biāo)的難度較大.G3類包括新加坡、加拿大、英國、中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用），這些課標(biāo)中的微積分內(nèi)容基本集中在導(dǎo)數(shù)與積分部分，且各知識點的認知水平分布也比較類似，數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)、微分方程部分要求都較低.G4類包括俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）、中國（理科）、中國臺灣（理科）、法國（文科）、韓國，這些課標(biāo)中的微積分內(nèi)容分布相對比較均勻，并非只偏重某一兩個知識點，并且導(dǎo)數(shù)部分知識點明顯比積分知識點多.

2.2.2 對知識點進行聚類

用離差平方和方法與類平均法分別對知識點進行聚類，具體聚類過程略.對分類情況進行分析時，需計算每一類知識點的難度平均值，并按數(shù)值從大到小排列，其平均難度越大表示該類知識點越受重視，于是得到知識點受重視程度相似的分類.

（1）結(jié)果分析.

兩種聚類方法建議分成2類、4類，若分成兩類，結(jié)果基本一致，即把各個課標(biāo)都重視的一些知識點、不重視的一些知識點分了出來.比如用類平均法得出比較重視的知識點有：數(shù)列極限的概念、某點處導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求導(dǎo)的四則運算、鏈?zhǔn)椒▌t、冪函數(shù)求導(dǎo)、指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)、對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的計算、二階導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、繪圖、導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用、變量代換、不定積分的計算、定積分的定義、定積分幾何意義、定積分的計算、微積分基本定理、定積分的應(yīng)用.

根據(jù)經(jīng)驗判斷，離差平方和方法分的4類比較合理.對這4類知識點進行分析，可得最受重視、次受重視、次不受重視、最不受重視的知識點，具體見表3.

總之，在最受重視的知識點中，中國（理科）新課標(biāo)沒有數(shù)列極限概念、導(dǎo)函數(shù)概念（在中國1996，2000年大綱中有）、二階導(dǎo)數(shù)，其中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，只要求會用，即會查導(dǎo)數(shù)表.最不受重視的知識點中，中國課標(biāo)（理科）有“最值”.

3 定性分析

依據(jù)課標(biāo)可以得出一些核心概念、命題的引入或處理方式.如中國課標(biāo)能體現(xiàn)出：不引入極限具體概念，通過變化率引入導(dǎo)數(shù)，通過具體例子介紹微積分基本定理的思想等.

3.1 導(dǎo)數(shù)的定義方式

法國2010年理科大綱，高二年級介紹某點處的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)，但未給出極限的正式定義.當(dāng)h趨于0時，增長率的極限定義為函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù).解釋如下：直線運動中從平均速度過渡到瞬時速度；計算機屏幕上圖形表示的連續(xù)地帶等.注解：涉及到極限詞匯或概念時，以理解導(dǎo)數(shù)為最終目的，通過例子對它們進行圖形上、直觀上的理解.

表3 離差平方和方法分成4類的結(jié)果

英國課標(biāo)，f(x )在一點處切線的梯度是f(x)的導(dǎo)數(shù)，切線梯度是個極限，此時未正式講極限，導(dǎo)數(shù)解釋為變化率.

澳大利亞課標(biāo)，從平均變化率來引入導(dǎo)數(shù)，同時非正式引入極限的計算，平均變化率取極限即是導(dǎo)數(shù)，解釋其為瞬時速度、斜率、切線、梯度.

加拿大課標(biāo)，先講數(shù)列極限（求數(shù)列的極限值），然后介紹平均變化率、瞬時變化率，研究變化率與極值、斜率與單調(diào)性的關(guān)系，接著稱瞬時變化率為導(dǎo)數(shù).

俄羅斯課標(biāo)，通過實例直觀地給出導(dǎo)數(shù)的描述性定義：當(dāng)增量△x趨于零時，函數(shù) f在x0點的導(dǎo)數(shù)是這個函數(shù)增量對自變量的增量的比趨于的數(shù)值.

中國（理科）課標(biāo)，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù).

其他國家、地區(qū)的課標(biāo)沒有明確說明導(dǎo)數(shù)的定義方式.

3.2 導(dǎo)數(shù)與極限的順序

法國2010年大綱，在高中二年級先介紹導(dǎo)數(shù)，然后直觀感受數(shù)列的極限，在高中三年級深入學(xué)習(xí)數(shù)列極限及收斂，介紹函數(shù)的極限及漸近線、連續(xù)函數(shù)，然后再深入介紹導(dǎo)數(shù)運算.新加坡課標(biāo)，提出對極限符號的使用，然后講導(dǎo)數(shù).中國課標(biāo)則沒有提極限，通過平均變化率來講導(dǎo)數(shù).英國課標(biāo)未正式定義極限前，給出導(dǎo)數(shù)定義，在進階課程再學(xué)習(xí)極限.其它國家、地區(qū)先大致了解極限后學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、積分.

3.3 “正弦”“余弦”“指數(shù)”“對數(shù)”函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

新加坡、俄羅斯和中國這3國的課標(biāo)都要求會使用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并不要求會計算、證明.其他國家、地區(qū)的課標(biāo)要么不涉及該部分知識，要么會講得明白一些，而不是直接給出公式.其中，2010年法國（理科）大綱，介紹定理：在R上存在唯一一個可導(dǎo)函數(shù)f(x)，滿足f'(x)=f(x)且f(0)=1.通過該定理引入ex，然后再推廣到方程)f(x)=kf(x)介紹指數(shù)函數(shù).涉及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，把指數(shù)函數(shù)在 1處的導(dǎo)數(shù)與在0點的極限聯(lián)系起來.對數(shù)函數(shù)方面，從指數(shù)函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)方程出發(fā)，介紹)ln(x及其導(dǎo)數(shù).加拿大課標(biāo)，證明余弦函數(shù)、正弦函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

3.4 定積分定義及微積分基本定理引入方式不同

法國的情況.法國2010年文科大綱，先介紹區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)：f和F是區(qū)間I上的函數(shù)，如果函數(shù)F在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)為f，那么F是f在區(qū)間I上的原函數(shù).然后是定積分定義：設(shè)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F是f的一個原函數(shù)，則數(shù)值F(b)-F(a)對于f的任何原函數(shù)F都相同，這數(shù)值稱為 f的由a到b的積分，記為.然后，對函數(shù)的符號不變時，用面積對積分做幾何解釋.其實，該引入方式同時也承認了微積分基本定理.2010年理科大綱，對于區(qū)間[a,b]上的正連續(xù)函數(shù)，作為曲線與x軸之間的面積引入符號.再推廣為任意符號函數(shù)的定積分.然后，介紹原函數(shù)的概念，引入變上限積分的定理：如果f是[a,b]連續(xù)且正的函數(shù)，F(xiàn)在[a,b]上可微，它的導(dǎo)數(shù)是f，則F是在區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù) f的原函數(shù)，該定理不要求證明.然后，通過變上限積分來引入微積分基本定理，并未給出正規(guī)的證明.

澳大利亞課標(biāo)，定積分為和式的極限.新加坡課標(biāo)，用面積引入定積分，未講微積分中值定理.英國課標(biāo)，先講面積估計，用梯形公式逼近計算來引入定積分.俄羅斯課標(biāo)，通過研究曲邊梯形的面積，大和、小和及其極限來引入定積分，還學(xué)習(xí)微積分基本定理，但不要求證明，重點放在積分的應(yīng)用上.中國臺灣（理科）課標(biāo)，介紹上、下和及其極限來引入定積分.從高度與面積、速度與距離來理解微積分基本公式.中國香港（應(yīng)用）課標(biāo)，定積分是面積和的極限.微積分基本定理的引入方法如同法國2010理科大綱，通過變上限積分引入，只不過中國香港課標(biāo)給出了微積分基本定理的證明.中國（理科）課標(biāo)，通過變速運動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系，直觀了解微積分基本定理的含義.

4 小結(jié)與思考

4.1 小 結(jié)

4.1.1 “廣度”“深度”“難度”比較

對10個國家、地區(qū)的14個課標(biāo)進行全面的量化分析.如果每個國家、地區(qū)挑選基礎(chǔ)水平或理科課標(biāo)（并非數(shù)學(xué)、物理類的專業(yè)課標(biāo)）中的微積分作為代表，按難度排名，依次是法國（理科）、澳大利亞（基礎(chǔ)）、英國AQA、韓國、中國香港（應(yīng)用）、俄羅斯（基礎(chǔ)）、新加坡、中國臺灣（理科）、中國（理科）、加拿大.相比于廣度排名，俄羅斯（基礎(chǔ)）與新加坡順序有調(diào)整.跟深度排名順序是一致的.此時，法國（理科）課標(biāo)的微積分內(nèi)容絕對難度最大，中國（理科）課標(biāo)的微積分內(nèi)容難度倒數(shù)第2.

4.1.2 認知要求分布比較

首先，比較認知水平分布.各國家、地區(qū)課標(biāo)中A、B、C三層次的認知要求分布情況有差異.比如俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）課標(biāo)中的B層次要求較多，A層次水平的知識點最少.中國香港（理論）、澳大利亞（基礎(chǔ)）課標(biāo)中A層次要求的知識點少于10%，法國（文科）、新加坡課標(biāo)的A層次水平知識占40%左右，中國課標(biāo)A層次知識水平知識占35%，中國香港（應(yīng)用）中A水平知識近28%.法國（文科）課標(biāo)C層次水平知識點3%，新加坡、中國臺灣（理科）課標(biāo)C水平知識點近15%，澳大利亞（基礎(chǔ)）、澳大利亞（專業(yè)）兩課標(biāo)中C層次水平知識占了近50%，因此這兩個課標(biāo)的絕對難度比較大.其次，比較核心模塊知識的分布，即函數(shù)極限、數(shù)列極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、微分方程的分布情況.所有課標(biāo)都包括導(dǎo)數(shù)部分，并且還占了很大的分量.積分部分只有加拿大課標(biāo)沒有涉及.中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用）、新加坡、中國這4個課標(biāo)沒有涉及數(shù)列極限.

4.1.3 聚類分析

用離差平方和法與類平均法兩種最常用的聚類分析法，分別對課標(biāo)、知識點進行聚類分析.首先對課標(biāo)聚類分析，主要考察哪些課標(biāo)的微積分設(shè)置比較類似.用離差平方和法進行聚類，建議分成2類或4類.分成4類的結(jié)果：G1={澳大利亞（專業(yè)）、澳大利亞（基礎(chǔ)）}，G2={法國（理科）}，G3={新加坡、加拿大、英國、中國香港（理論）、中國香港（應(yīng)用）}，G4={俄羅斯（基礎(chǔ)）、俄羅斯（專業(yè)）、中國、中國臺灣、法國（文科）、韓國}，其中中國（理科）與中國臺灣（理科）微積分內(nèi)容設(shè)置最為類似.其次，按知識點進行聚類分析，即對受重視程度類似的知識點歸類.在最受重視的知識點里，中國新課標(biāo)沒有數(shù)列極限概念、導(dǎo)函數(shù)概念、二階導(dǎo)數(shù)，其中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式只要求會用，即會查導(dǎo)數(shù)表.最不受重視的知識點中，中國課標(biāo)有“最值”.

4.1.4 部分概念和命題的引入方式及處理方式

首先，導(dǎo)數(shù)的定義方式有差異.比如，法國課標(biāo)把增長率的極限定義為導(dǎo)數(shù)；英國課標(biāo)把切線的梯度定義為導(dǎo)數(shù)；中國課標(biāo)通過平均變化率引入導(dǎo)數(shù)等.其次，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處理方式不同，比如，新加坡、俄羅斯、中國課標(biāo)只要求會用導(dǎo)數(shù)公式，而其他國家、地區(qū)則要么不包含這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要么講得更加詳細些.并且，微積分基本定理的引入方式不同，比如法國、中國香港課標(biāo)通過變上限積分引入微積分基本定理.還有導(dǎo)數(shù)與極限的順序不同，定積分引入方式不同等.

4.2 思 考

很多文獻，比如文[27]，對高中開設(shè)微積分予以了肯定.那么高中開設(shè)微積分應(yīng)當(dāng)注意什么？根據(jù)研究結(jié)論，給出如下建議.

（1）微積分內(nèi)容設(shè)置方面，要注意各知識點之間的銜接性、邏輯推理性.

導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系方面，各國家、地區(qū)的處理不盡相同.有的詳細講解極限后，講導(dǎo)數(shù)；有的讓學(xué)生大致了解極限后，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)；有的先大致了解極限，然后引入導(dǎo)數(shù)的直觀概念，接著深化極限內(nèi)容，最后講嚴(yán)格定義的導(dǎo)數(shù)；中國逾越極限來講導(dǎo)數(shù).定積分的定義與微積分基本定理的引入方式，各國家、地區(qū)也各有特點.但微積分設(shè)置方面，一定得注意各知識點之間的銜接性、邏輯推理性，否則非常不利于學(xué)生的理解性學(xué)習(xí).比如，中國和法國的高中生在學(xué)習(xí)微積分時，死記硬背占了很大的比重.在法國馬賽大學(xué)任教很多年的Elaine Pratt教授（私下交流）說：“在學(xué)習(xí)了有很少證明的高中數(shù)學(xué)教材后，很多大學(xué)生甚至不知道什么是證明.”她強調(diào)：數(shù)學(xué)課程要特別注意知識點之間的銜接，跨度不能太大[28].

（2）要注意一些概念、命題的處理方式.

新加坡、俄羅斯、中國課標(biāo)都要求會使用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并不要求會計算、證明，這樣的做法也許會滋生學(xué)生“死記硬背”的潛意識.其他國家、地區(qū)的課標(biāo)要么不涉及該部分知識，要么會講得明白一些，而不是直接給出公式.

馬峰認為“高中階段如能較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分知識，可為大學(xué)的專業(yè)打下良好基礎(chǔ).再考慮到理科學(xué)生邏輯思維能力相對來說較強，并且以后學(xué)習(xí)上的需要，可把理科高中微積分設(shè)置得稍微嚴(yán)密些”[29].因此，認為中國課程直接給出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式不夠合理，微積分內(nèi)容的選擇不能只講究大、全，應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生認知的要求.鑒于此，該部分知識的處理有待于進一步的探討.

其實中國臺灣課標(biāo)的做法就很不錯，主要涉及多項式的微積分，該內(nèi)容對學(xué)生的基礎(chǔ)知識要求不多，且難度也不太大.張奠宙（2012）也認為，“……一般中學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的目的在于體驗和欣賞一種變量數(shù)學(xué)的文化，重點放在常量與變量、曲與直、平均速度與瞬時速度、整體與局部等數(shù)學(xué)思想方法上，展現(xiàn)牛頓那個時代的數(shù)學(xué)創(chuàng)新風(fēng)貌，學(xué)生所獲得的是微積分所帶來的一種心靈震撼，體會到初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的一種思想觀念上的升華.這里不追求完整的系統(tǒng)闡述，只用常識來理解極限求導(dǎo)、求積分的論證可以只限于多項式函數(shù)……教學(xué)時數(shù)不會太多，20～30學(xué)時也許就夠了……”[30]林群用等式、數(shù)據(jù)來講解多項式的微積分[31]，降低了微積分的門檻，這對高中微積分的設(shè)置來說值得借鑒.

總之，各個國家、地區(qū)對高中微積分的設(shè)置孰優(yōu)孰劣？中國微積分到底該如何定位？有待于各方面的考證，進一步的深入探討.

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[責(zé)任編校：張楠]

中圖分類號：G40-059.3

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0036–08

收稿日期：2015–12–20

基金項目：2013年教育部人文社會科學(xué)研究基金——高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的國際比較研究（13YJA880003）；河南省教師教育課程改革研究項目——高中微積分教學(xué)改革的探索與實踐（2014-JSJYLX-005）；河南省教師教育課程改革研究項目——多元化學(xué)習(xí)評價在高校數(shù)學(xué)類教師教育理論課程的實踐與探索（2016-JSJYYB-012）；河南大學(xué)科研基金項目——高中微積分課程的國際比較研究（2013YBRW005）；河南大學(xué)第十四批校級教學(xué)改革項目——《應(yīng)用多元統(tǒng)計分析》及配套軟件課程教學(xué)內(nèi)容改革和課程體系建設(shè)（HDXJJG2014-119）

作者簡介：張玉環(huán)（1983—），女，河南商丘人，河南大學(xué)內(nèi)聘副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．王沛為本文通訊作者．

International Comparisons on Calculus of Mathematics Curriculum in Senior High School——Involving 14 Mathematics Standard in 10 Countries or Regions

ZHANG Yu-huan, WANG Pei
(School of Mathematics and Statistics, Henan University, Henan Kaifeng 475004, China)

Abstract:Through quantitative and qualitative analysis methods, we investigate the international comparisons of calculus for Senior high school, which involves 14 mathematics standard in 10 countries or regions. The quantitative analysis methods include analysis of the breadth, depth, difficulty, cognitive level distribution, module knowledge distribution, and the cluster analysis on curriculum standard and knowledge points. The qualitative analysis methods contain the analysis of how core concepts and propositions are introduced and arranged. Based on the local basic level or science requirements, the difficulty ranks from the most to the least as follows: France (science), Australia (basic), England AQA, South Korea, Hong Kong (application), Russian (basic), Singapore, Taiwan (Science), China (Science), Canada (Japan only has breadth analysis). Clustering analysis is applied on contents to obtain the calculus standard with similar setting and applied to knowledge points to obtain the knowledge points with similar levels of importance. Through comparison, we give some constructive suggestions for curriculum development and teaching reform for calculus for our senior high school.

Key words:calculus curriculum; senior high school; cluster analysis; quantitative analysis; comparison