中國和美國小學“直線”概念系統的課程與教學研究

沈 威，曹廣福（1．惠州學院 數學系，廣東 惠州 516007；．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

?

中國和美國小學“直線”概念系統的課程與教學研究

沈 威1，2，曹廣福2
（1．惠州學院 數學系，廣東 惠州 516007；2．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

摘要：“直線”概念系統以獨立的概念形式而存在，又是幾何公理形成的重要來源，同時包含著直觀與抽象的關系、部分與整體的關系、有限與無限的關系，從而表現出其重要的基礎性地位.中美在課程標準、教材編寫和課堂教學對“直線”概念系統關注的側重點不同，但美國的課程標準、教材編寫和課堂教學實踐對“直線”概念系統的理解和詮釋卻值得中國教育工作者借鑒與深思.

關鍵詞：直線；概念系統；課堂教學

“直線”概念系統既以獨立的概念形式而存在，又是幾何公理形成的重要來源，同時包含著直觀與抽象的關系、部分與整體的關系、有限與無限的關系，從而表現出其重要的基礎性地位，學生掌握“直線”概念系統的本質屬性顯示其應有之義［1～6］.如何使得學生建構與把握“直線”概念系統的本質屬性，從而實現學生數學智慧生長與發展，下面將從中美的課程標準、教材編寫和課堂教學3個視角觀之，探索課程標準、教材編寫和課堂教學3者之間的一致性，從中挖掘“直線”概念系統的教育價值.

1 中美“直線”概念系統的課標要求

中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》［7］對“直線”概念系統要求是“結合實例了解線段、射線和直線”；2013年美國《加州公立學校數學框架》［8］對“直線”概念系統要求是“畫和識別線，并根據線的屬性進行圖形分類”.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對“了解”這一行為動詞界定為“從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象”.因此，中國課程標準對“直線”概念系統要求就可以表述為“從具體實例中知道或舉例說明線段、射線和直線的有關特征；根據它們的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明線段、射線和直線”.可以看出，中國課標與美國課標要求的根本差異在于對直線、射線與線段特征的掌握方式，中國的要求是“知道”，美國的要求是“畫和識別”，“畫”的要義在于動手，通過動手“畫”認識線的特征，促進主體掌握線的特征與屬性.“知道”的方式可以有多種，可以是被動告訴而“知道”，可以是主動探究而“知道”，至于中國的課堂教學是讓學生被動告訴還是主動探究而“知道”，這需要考察真實的課堂教學.

2 中美“直線”概念系統的教材編寫

研究選用美國 McGraw-Hill公司出版的加州小學數學教材（簡稱：加州教材）和中國的人民教育出版社出版的小學數學教材（簡稱：人教版教材）作為研究對象，“直線”概念系統在加州教材中位于四年級第十章第四節，而在人教版教材中處于四年級第二章第一節.

表1 “直線”在兩種教材的編排順序及知識點比較

從表1可以看出，加州教材對“直線”概念系統的編寫順序為：線段的現實實例→直線的定義及其幾何表征→射線的定義及其幾何表征→線段的定義及其幾何表征→根據定義辨認直線、射線與線段的圖形→拓展.從直線、射線與線段的定義看，直線、射線與線段定義的呈現形式遵循了強抽象的形式，以“直線”的定義作為基礎，抽象出射線和線段的概念，并且射線與線段的定義均是以直線為基礎，所以射線與線段的定義是并列關系.從學生學習心理看，直線、射線和線段的定義順序遵循了概念同化過程，“直線”的定義作為包攝性更大的上位概念，先學上位概念——直線的定義，后學下位概念——射線和線段的定義，經過學生的認知活動，最終把射線和線段的本質屬性納入到直線的概念系統中.雖然直線、射線和線段的定義之間的邏輯順序及其編寫的順序非常明了，但在剛開始的情境導入處理上含糊不清，情境導入介紹的線段的現實實例，在該實例后呈現的卻是直線的定義，線段和實例和直線的定義之間既不存在歸納關系更不存在演繹關系，在現有的數學研究方法下，均無法從線段的實例直接獲得直線的定義，所以，加州教材在該部分內容的處理上思路不清、目標不明.若加州教材把線段的現實實例改為直線的現實實例，就符合由具體到抽象的數學邏輯了.

人教版教材對“直線”概念系統的編寫順序為：射線的現實實例→射線的定義及其幾何表征→直線的定義及其幾何表征→直線、射線與線段之間的區別與聯系.從人教版編寫的順序看，情境導入是射線的現實實例，而后就是獲得射線的定義，這符合學生從具體到抽象的認知規律，這也是概念形成的重要過程.在射線定義之后就是直線的定義，從射線定義與直線定義的內容看，射線定義為“射線只有一個端點，可以向一端無限延伸”，直線的定義為“直線沒有端點，可以向兩端無限延伸”，這兩個概念之間沒有上下位的關系，而是一種并列關系.射線與直線概念在學生認知結構中的并列關系不利于形成一個概念系統，還需要一個包攝性更大的上位概念把射線與直線的概念都納入其下，形成一個穩定的概念系統，但事實上，卻沒有這個包攝性更大的上位概念，因此，射線與直線概念只能并列在學生的認知結構中.在直線概念后，是一個問題“直線、射線與線段有什么聯系和區別？”在這節內容中，沒有介紹線段的有關知識，線段的有關知識在小學二年級第一章中介紹，但沒有定義.而對問題“直線、射線與線段有什么聯系和區別”的回答由教材給出.

比較加州教材和人教版教材之間的區別與聯系，可以發現，加州教材對“直線”概念系統的定義是以集合為基礎，并以“連續點”作為抽象的核心.而射線和線段的定義均由“直線”的強抽象獲得，使得射線與線段之間是并列關系.人教版教材對“直線”概念系統的定義關注于“端點”的個數，“端點”成為人教版教材定義直線的本質特征之一，這也是為了區別與射線的定義而提出的.“端點”的個數是區別直線、射線和線段的特征，但“沒有端點”是不是直線的本質屬性呢？“向兩端無限延伸”這個本質屬性已經包含了“沒有端點”，所以定義直線不需要從端點的角度考慮.正因為從端點個數的角度定義直線，不自覺地就把直線的定義與射線的定義并列，這兩種概念系統如圖1所示，從圖1可以看出，加州教材的“直線”概念系統在學生認知結構中的穩定性要優于人教版教材中的概念系統.

圖1 加州教材與人教版教材的“直線”概念系統

此外，直線、射線與線段的表示在加州教材介紹直線、射線與線段過程中一并介紹，而人教版教材則是安排到初一上冊的第四章.在人教版教材中，直線、射線和線段的表示建立于直線的公理（經過兩點有一條直線，并且只有一條直線）之上.在直線公理的基礎上，抽象出用一條直線上的兩點來表示這條直線.以此類推，射線與線段都是直線的一部分，類似于直線的表示，射線和線段也用兩點表示.其中表示射線的兩點中，一點是端點，另一點則是射線上異于端點的點，而表示選段的兩點則是其兩個端點.基于直線公理的直線、射線與線段的表示方法易于把握.對于加州教材，在沒有介紹直線公理的情況下，直接“告訴”直線段的表示方法，這種編寫方式是否能讓學生掌握直線的表示方法呢？通過美國的一個課堂實錄可見一斑.

3 中美“直線”概念系統的課堂教學

所選擇的中國課堂課實錄來自于第五屆全國中小學交互式電子白板科科通的一節課例［9］（簡稱“中國課例”），美國課堂實錄來自于基于美國《州共同核心數學標準》（Common Core State Standards for Mathematics，簡稱CCSSM）理念的教學課例［10］（簡稱“美國課例”），如表2.雖然這里用“中國課例”和“美國課例”作為簡稱，由于這兩節課例并不能代表中美兩國教學整體情況，以下所探討的內容均是指這兩節課例，不指其它.

3.1 中美“直線”概念系統的課堂教學方式

學生概念學習心理過程決定著概念教學方式，只有遵循學生的概念學習心理，概念教學的目的才能有效實現.學生數學概念建構，有概念形成和概念同化兩種基本形式.概念形成是從大量的實例中辨別、發現、抽取、概括同類事物的關鍵屬性與本質特征，并用恰當的數學語言進行表征，形成數學概念；概念同化是利用學生的已有數學認知結構和數學經驗，直接向學生揭示數學概念的定義，以邏輯演繹的形式介紹概念生成的因由.研究者根據中美教學實錄，建構了中美“直線”概念系統的教學路線圖（圖2、圖3），通過教學路線圖來分析中美課堂教學方式.

從教學路線圖看，美國的課堂教學體現了概念形成的教學過程，中國的課堂教學既沒有體現概念形成的教學方式，也沒有體現概念同化的教學方式.

美國課堂教學體現概念形成的教學過程為“畫點—畫線段—畫直線—畫射線—應用概念—總結”，這是一個由簡單到復雜、由具體到抽象、由有限到無限的概念形成過程.在“畫點”階段，教師引導學生認識在平面上，點表示一個確定的位置，并且平面上有無數多個點；在“畫線段”過程，教師引導學生通過“畫線段”認識到用直尺連接兩點能得到一條線段的本質，并確定線段的表示方法；在“畫直線”過程，教師引導學生把線段沿著直尺向兩端無限延伸，學生在“畫”的過程中體驗直線的特征、認識直線本質屬性；由于能把線段沿著直尺向兩端無限延伸，就能把線段沿著直尺向一端無限延伸，因此，“畫射線”的過程則是邏輯上的必然，也是必須完成的過程，所以“畫射線”的過程既是“畫直線”之后的邏輯深入；在“畫射線”后，通過一個風箏圖案促進學生對點、線段、直線和射線的認識.雖然整節課最終沒有形成教材上關于直線、射線和射線的定義，學生卻認識到直線、射線和線段的本質屬性.

表2 中美“直線”概念系統教學實錄概要

表2（續） 中美“直線”概念系統教學實錄概要

?

在中國“直線”概念系統教學過程中，教師沒有引導學生從現實實物或實例引導學生抽象出直線、射線和線段，而是讓學生直接讀課本，記憶課本上的陳述性知識，雖然教師給出一個辨析概念特征的表格，讓學生在閱讀教材的過程填寫表格，也許這個表格中的知識可以被學生背下來，但是這些知識之間的關系卻是割裂的、離散的，無法整合為一個系統.在要求學生強記“直線”的相關概念之后，便是練習題，該練習題的主要目的就像教師說的——“檢測”，其目的只有一個——測試.“直線”內容是幾何課，但是整個教學過程卻沒有“幾何味”，很少有畫圖的教學過程，只是干巴巴、離散的概念，僅是滿足測試的需要，表現出 “記憶概念—練習強化”的教學方式.

根據中美“直線”概念系統教學路線圖，建構了如圖4的中美“直線”概念系統形成過程模型.

圖2 中國“直線”概念系統教學路線

圖3 美國“直線”概念系統教學路線

圖4 中美“直線”課堂教學中的概念系統

比較加州教材中的“直線”概念系統和美國“直線”課堂教學中的概念系統，可以發現，教材中的概念系統的生成形式與課堂教學中的概念系統形成形式恰好相反.教材中的概念系統是一般到特殊的，而課堂教學中的概念系統則是特殊到一般的，教材編寫遵循了演繹結構，而課堂教學遵循了特殊到一般的生成過程，這符合學生的認知規律.對于人教版教材與中國“直線”課堂教學而言，兩者的概念系統是相同的，因為教師沒有對教材深加工，而是要求學生閱讀教材，內化教材中的概念系統，那么學生數學認知結構的“直線”概念系統至多與教材中的概念系統相一致.

3.2 中美“直線”概念系統的課堂教學目標

不論課程標準對教學如何要求，最終要以真實的課堂教學表現為準.從上面兩個中美教學實錄可以看出，中國對“直線”概念系統的定位是“知識”，美國對“直線”概念系統的定位是“理解”.

中國課堂教學對“直線”概念系統的定位是“知識”主要表現在如下兩個方面：

一是教師讓學生閱讀課本知識.教師是這樣說的：“相信大家通過閱讀課本的第35、36頁的內容（人教版小學四年級上第2章第一節“直線、射線和角”），你一定會有很多的收獲，好，請大家帶著這樣的問題來自學課本.”課本上記錄的均是陳述性知識，這些陳述性知識之間無法體現知識的邏輯發展過程，也就是說，學生閱讀課本最多只能記住相應的知識點，無法弄清這些知識點之間的關系.雖然教師要求學生帶著“設問導讀”的問題閱讀課本，從“設問導讀”的問題看，該問題屬于填空題，無法使得學生通過解決該題把握線段、射線和直線之間的邏輯關系，只能從線段、射線和直線的表象記住相應特征；此外，“設問導讀”不能稱為問題，只是任務，即“設問導讀”只能讓學生記住更多的知識，并不能把學生引向何處，也不能讓學生產生更多的思考和疑問，只能讓線段、射線和直線的有關知識在學生的認知結構中積累起來，無法讓學生超越這些知識從平凡到達非凡.

二是在學生閱讀教材后就解題（自學檢測）.在學生閱讀教材后，教師說：“老師剛才看到大家自學的非常認真，相信你們多多少少都有了不少的收獲，現在就讓我們一起來檢測一下大家的自學成果.我們這里有自學檢測題，請你獨立完成后，想一想判斷的理由是什么，填在練習紙上.”教師在學生閱讀教材后，不是引導學生研究教材上知識的發生發展過程，不是引導學生探究教材上知識生成的由來，不是引導學生形成相應的數學思想，不是引導學生建構幾何經驗，而是直接提供題目給學生解答，目的是讓學生“會”解題.

美國課堂教學對“直線”概念系統的定位是“理解”主要表現在以下兩個方面.

一是對“直線”概念系統形成的理解.對“直線”概念系統形成的理解首先來自于教師引導學生“直線”概念系統的建構過程，教師引導學生認識點，點能確定一個準確的位置；再由一個點擴充至兩個點，兩點之間的連線確定一條線段，線段有長度，是有限的，易于把握；再以線段為基礎向兩端無限延伸，這個擴充過程涉及到由有限向無限的發展，最難以理解，教師則是逐步引導學生認識直線的無限性；當學生能把握由線段向兩端無限延伸獲得直線的過程，那么學生自然能把握把線段向一端無限延伸的過程，使得學生能夠較快的掌握射線的本質屬性.其次來自于教師引導學生比較“直線”概念系統之間的異同關系，比較“直線”概念系統之間的異同關系貫穿于概念系統的建構過程，在建構概念系統過程中，要抽取研究對象的本質特征并形成該對象的本質屬性作為定義，同時要辨別該概念與其他概念之間的區別與聯系，促進學生清晰的把握該概念的本質屬性和非本質屬性，從而建構一個清晰的概念系統.

二是對無限性思想的理解.“直線”概念系統中蘊含了豐富的無限性思想：直線、射線、線段上點的個數的無限性，直線與射線延伸的無限性，直線與射線長度的無限性.教師在引導學生認識點的屬性時，就引導學生認識平面上點的無限性“用你的鉛筆尖在紙上畫一個小點來標記一個非常具體的位置.請用你的鉛筆尖在紙上標記另一個位置，畫另外一個點，該點是一個位置的表示.注意這兩個點，你和你的同桌可能畫在不同的位置.你能在這張紙上畫多少個點？”在引導學生認識直線與射線延伸的無限性時，教師說，“如果你愿意這么做，你能不能延長線段AC使得它更長？如果你有一張非常大的紙，你能繼續在兩個方向上延伸這條線段嗎？如果你的紙永遠擴展下去呢？線段可以無限繼續下去嗎？讓我們延長線段一點點，并在兩頭畫上箭頭表示線段向兩端無限延伸下去，我們稱為直線AC，寫為.”這是從有限向無限發展的過程，卻需要把無限轉化為有限，用有限的數學語言表征無限的關系，教師適恰的引導學生認識到可以用箭頭表示“直線”延伸的無限性.

4 中美“直線”概念系統的課標要求及教材編寫與課堂教學的一致性分析

課程標準、教材編寫與課堂教學的一致性程度反映著課程改革深入的程度，如果課程標準、教材與課堂教學能夠保持較高的一致性，即能說明課程標準的制定者、教材編寫者和課堂教學執行者均能把握課程改革的精神實質，能夠較好的推動課程改革向前發展；若課程標準、教材與課堂教學不能較好的保持一致性，數學課程改革的效果將被折扣.

中國人教版教材以學生熟悉手電筒的光線為實例引入射線的概念，體現出由具體到抽象的概念形成過程，做到了“結合實例了解線段、射線和直線”，表現出教材編寫與課程標準保持一致.美國加州的教材編寫與課程標準也保持了一致性，其教材中體現了畫“線”的過程，并且特別編寫了“識別直線、射線、或線段”部分，做到了“畫和識別線，并根據線的屬性進行圖形分類”.

中美兩國課程標準對“直線”概念系統要求的不同沒有反映在教材編寫上，而是反映在課堂教學過程中.上述中國課堂教學沒有與課程標準保持一致性，課例中的老師沒有“結合實例”使得學生“了解線段、射線和直線”，而是讓學生閱讀課本，內化“直線”概念系統的知識，閱讀數學教材是內化教材知識的過程，結果只是記住了教材中的知識.美國課堂教學與課程標準保持了一致性，課例中的老師讓學生通過畫點、線段、直線和射線來達到課程標準的要求——“畫和識別線，并根據線的屬性進行圖形分類”.“畫線”滲透于整個教學過程，通過“畫線”促進學生認識“直線”概念系統的本質屬性，并根據概念的本質屬性進行圖形的分類，以此來促進學生“識別直線、射線或線段”，學生在此過程中，通過“畫”和“識別”從無到有建構教材知識的過程，不但把握點、線段、直線和射線的本質屬性，還經歷了“直線”概念系統形成過程中滲透有限與無限思想的過程.

此外，中國課例過度依賴教材，不能從“教教材”轉變為“用教材教”.而美國課例的教學過程沒有過度依賴于教材，主要表現為課堂教學過程中“直線”概念系統的形成過程與教材中“直線”概念系統的形成過程不同，課堂教學過程更加科學，是從無到有、由簡單到復雜的引導學生建構“直線”概念系統.雖然這兩個案例不能代表中美兩國教學的整體情況，但這足以引起廣大研究者的深思.

［參 考 文 獻］

［1］ 王林全.中美幾何教學理念和內容的比較［J］.數學教育學報，2003，12（3）：77-80.

［2］ 齊民友.中國人眼中的歐幾里得《幾何原本》［J］.數學教育學報，2003，12（1）：1-6.

［3］ 李秉彝.中小學幾何教學之我見［J］.數學教育學報，2005，14（1）：1-6.

［4］ 鄭翔.幾何教學與學生空間想象能力關系的調查研究［J］.數學教育學報，2005，14（3）：40-42.

［5］ 唐恒鈞.中美初中幾何教材“相似”內容的比較［J］.數學教育學報，2005，14（4）：55-58.

［6］ 張景中.《動態幾何》課程的開設在數學教與學中的價值［J］.數學教育學報，2007，16（3）：1-5.

［7］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

［8］ California State Board of Education. Mathematics Framework for California Public Schools ［EB/OL］. http://www. cde.ca.gov/nr/ne/yr13/yr13rel108.asp

［9］ 第五屆全國中小學交互式電子白板科科通［EB/OL］.http://www.56.com/redian/MjY1Mjg0/NzE4MzI0MDc.html

［10］ Common Core State Standards for Mathematics ［EB/OL］. https:// wikispaces.hcpss.org

［責任編校：周學智］

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2016）02-0026-06

收稿日期：2015-12-11

基金項目：教育部人文社會科學規劃基金項目——我國農村中小學教師的TPACK及其教學表現研究（14YJA880054）；廣東省教育科學規劃特色創新項目——小學數學“比與比例”概念系統的課程與教學研究（2014GXJK143）；廣東省教育研究院一般項目——最新中美數學教材編寫與數學教學特色研究（GDJY-2014-A-b210）；惠州學院哲學人文社會科學項目——中小學數學教師MPCK研究（hzuxl201406）

作者簡介：沈威（1982—），男，安徽靈璧人，惠州學院數學系講師，博士生，主要從事數學課程與教學論研究．

Primary school of China and the United States’ “Line” Concept System of Curriculum and Teaching Research

SHEN Wei1， 2， CAO Guang-fu2
（1. Department of Mathematics， Huizhou University， Guangdong Huizhou 516007， China；2. School of Mathematics & Information Science， Guangzhou University， Guangdong Guangzhou 510006， China）

Abstract:“Line” concept system exists in the form of the concept of independent， is the important source of geometric axioms form， contains both the relationship between Intuitive and abstract， the relationship between part and whole， the relationship between the finite and infinite， thus showing its important foundational status. America's curriculum standards， teaching material writing and classroom teaching practice of the concept of “line” system understanding and interpretation are worth our using for reference and reflections.

Key words:line； the concept of system； the classroom teaching