硅基超短微空氣徑向軸承的非線性動態特性研究

張小青，司麗娜，劉玉德

(1.北京工商大學 材料與機械工程學院，北京 100048；2.北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081)

1 概述

隨著微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)技術的快速發展以及微加工工藝的日趨成熟，微動力機電系統(Power MEMS)應運而生并成為研究熱點[1]。典型Power MEMS器件如圖1所示，包括微渦輪發電機、微渦輪泵及微渦輪充電器[2]。這些器件通過微加工技術由硅片制作而成的，都具有微空氣軸承。為了達到高能量密度要求，旋轉部件的轉速非常高，其葉尖速度要達到300～600 m/s[3-4]。空氣潤滑軸承因具有摩擦因數小、幾乎無磨損、無污染、結構相對簡單以及與微加工技術兼容等優點，成為支承Power MEMS微旋轉器件的最佳選擇[1]。

圖1 典型硅基Power MEMS器件[2]

將空氣潤滑軸承應用于Power MEMS面臨著許多亟待解決的問題。微空氣徑向軸承的氣膜厚度為幾微米到十幾微米，氣體稀薄效應非常明顯[5-7]。微空氣軸承-轉子系統的轉子轉速極高，氣體可壓縮性明顯[5]，其非線性動態特性非常復雜[8- 9]。在常規軸承-轉子系統中，與軸承氣膜承載力相比，黏性摩擦力非常小，可以忽略不計。微空氣軸承為超短軸承，軸承寬度與硅片厚度相等，一般為幾百微米[10-11]，其直徑等于轉子直徑 ，在毫米量級，故軸承的寬徑比(0.05～0.1)較常規軸承低一個數量級以上，由于尺度效應，作為表面力的黏性摩擦力和作為體積力的氣膜承載力在同一數量級，不可忽略。下文采用考慮稀薄效應的超薄氣膜潤滑(Molecular Gas-film Lubrication，MGL)模型[12-13]，與考慮黏性摩擦力的運動學方程耦合求解，研究高效的數值模擬方法，探討超短微空氣徑向軸承的非線性動力學特性。

2 計算模型

超短微空氣徑向軸承的示意圖如圖2所示。建立Oxy坐標系，O為軸承中心；Or為轉子中心；R為軸承半徑；c為半徑間隙；θ為展開角；φ為偏位角；e為偏心距；B為軸承寬度；ω為角速度。

圖2 微空氣徑向軸承示意圖

在運轉過程中，氣膜厚度h通常為0.5～20 μm，此時，氣膜的克努森數Kn變化范圍是0.003 2～0.129 1，氣流機制主要為滑移流(0.001≤Kn<0.10)，因此氣體的稀薄效應不可忽略。由于Kn的變化范圍較大，采用適用于任意克努森數的MGL模型，徑向軸承量綱一的潤滑方程為

(1)

P=p/pa，H=h/c，Λ=6μωR2/pac2，τ=ωt，

式中：P為量綱一的壓強；p為軸承半徑間隙中氣體壓力；pa為大氣壓強；H為量綱一的氣膜厚度；θ，ξ分別為量綱一的周向和軸向坐標；Λ為軸承數；μ為流體動力黏度系數；Q為考慮氣體稀薄效應的流量修正因子，其求解方程為

，(2)

式中：T(單位為K)為軸承工作溫度；Rd為氣體常數；DK為逆努森數；Qp，Qc分別為稀薄條件下及連續流條件下的流量系數。

令PH=S，則 (1) 式變為

。 (3)

根據牛頓第二定律，轉子量綱一的運動學方程為

X=x/c，Y=y/c，

M=mcω2/(paR2) ，

ρ=d/c，

Fg=fg/paBD，

Ff=ff/paBD，

式中：Fe為量綱一的外載荷；Fg為量綱一的氣膜承載力；Ff為量綱一的摩擦力；X，Y為轉子量綱一的坐標；m為轉子質量；M為轉子量綱一的質量；ρ為量綱一的質量偏心；d為轉子幾何中心與質心之間的距離；fg為氣膜承載力；ff為摩擦力；D為轉子直徑。

量綱一的氣膜承載力為

(5)

量綱一的摩擦力為

(6)

式中：τh為轉子表面的剪切應力。

系統的運動狀態不僅與當前時刻有關，還依賴于運動歷程[14]。為了保證數值模擬的可靠性，在計算過程中，將(3)式與(4)式聯立，采用ADAMS線性多步積分方法對運動學方程和潤滑方程同時求解，即可求得每個時間步下的轉子中心位置、速度及氣膜壓力分布。改變計算參數，可獲得轉子的非線性動力學特性。

3 數值分析結果

3.1 穩態性能分析

為了研究黏性摩擦力對超短微空氣徑向軸承-轉子系統的影響，計算了偏心率ε=0.2以及ε=0.9時氣膜承載力與黏性摩擦力隨軸承寬徑比的變化，結果如圖3所示。由圖可以看出，寬徑比越小，量綱一的氣膜承載力Fg也越小，而量綱一的摩擦力Ff幾乎不變。在微空氣徑向軸承寬徑比所在區域，Fg與Ff在同一個量級，因此，黏性摩擦力對微空氣徑向軸承-轉子系統的影響不可忽略。

圖3 量綱一氣膜承載力與黏性摩擦力隨寬徑比的變化曲線(Λ=7.0)

3.2 非線性動力學分析

為了驗證文中模型及數值計算方法的正確性，采用與文獻[15]相同的計算參數，模擬了M=0.15時轉子受擾后的運動狀態，其軸心軌跡如圖4所示。由圖可以看出，轉子受到擾動后，其運動軌跡是發散的，振幅逐漸增大，并最終穩定于半徑略小于1的極限環。文中計算結果與文獻[15]的非常接近，且其趨勢一致，驗證了文中計算方法的正確性。

圖4 M=0.15時轉子的軸心軌跡圖

根據文獻[5, 7-8,10-11]，硅基超短微空氣軸承的尺寸參數取值范圍為：R=2.0～2.1 mm；B=300～350 μm；c=10～15 μm；m=8～11 mg。軸承工作時偏心率較大，通常為0.7～0.95；軸承數與轉速有關，通常為0～15。

寬徑比不同時2種情況下系統的非線性動力學響應分岔圖如圖5所示。參數取值為：初始偏心率ε0=0.85；軸承半徑R=2 mm；半徑間隙c=10 μm；轉子質量m=10 mg；軸承數Λ=10。為了分析不同寬徑比下黏性摩擦力對系統動力學特性的影響，寬徑比取0.05～1。由圖可以看出，當B/D<0.2時，二者的差異很大，隨著寬徑比的增大，二者之間的差異逐漸減小；當B/D>0.5時，二者之間的差別很小。這說明，在寬徑比較大的常規軸承中，黏性摩擦力的影響非常小，而對于寬徑比在0.05～0.1之間的超短軸承，黏性摩擦力對軸承性能的影響非常明顯。對比圖5a與圖5b可知，考慮黏性摩擦力條件下轉子在x方向的振幅減小。

(a)不考慮黏性摩擦力

(b)考慮黏性摩擦力

軸承數不同時2種情況下系統非線性響應分岔圖如圖6所示，系統響應分別如圖7、圖8所示。計算參數為：ε0=0.9；R=2 mm；c=12 μm；m=8 mg；B/D=0.1。由圖6可知，在不考慮黏性摩擦力情況下，當軸承數較小(Λ≤6.4)時，系統響應為同步周期運動(圖7，Λ=6.0)，之后出現分岔，為概周期運動(圖7，Λ=7.0)或多倍周期運動(圖7，Λ=8.0)，當軸承數增大到8.4時，系統出現混沌運動。考慮黏性摩擦力時，Λ≤6.35系統響應為同步周期運動(圖8，Λ=6.0)，之后進入概周期運動狀態(圖8，Λ=7.0)，在Λ=7.5時轉變為2倍周期運動(圖8，Λ=8.0)，在Λ=8.9時進入混沌運動狀態。此外，對比2種情況下Λ>6.5時概周期的運動，考慮黏性摩擦力條件下，系統在x方向的振幅較小，y方向的振幅也是如此。

(a)不考慮黏性摩擦力

(b)考慮黏性摩擦力

2種情況下系統的頻率響應瀑布圖如圖9所示。由圖可知，轉動頻率大時，二者差距較大，不考慮黏性摩擦力時系統響應為低頻渦動，渦動幅度較大；考慮黏性摩擦力時除低頻渦動外還有半頻渦動，且低頻渦動幅度較小。轉動頻率較小時，二者均呈現同步周期運動，僅在1倍周期處有渦動振幅，隨著轉動頻率的增加，二者均逐漸出現低頻渦動，但轉折點不同，考慮黏性摩擦力情況下的分岔轉折頻率較高，且振動幅度明顯低于不考慮黏性摩擦力的。隨著轉動頻率的進一步提高，考慮黏性摩擦力情況時，系統呈現2倍周期運動；而不考慮黏性摩擦力情況時則為多倍周期運動。因此，潤滑氣體的黏性摩擦力會給超短微空氣徑向軸承系統的非線性特性帶來顯著影響，考慮黏性摩擦力后，系統的運動狀態更為穩定，振動幅度較小。

圖7 不考慮黏性摩擦力時不同軸承數下系統響應

圖8 考慮黏性摩擦力時不同軸承數下系統響應

圖9 2種情況下系統的頻率響應瀑布圖

4 結束語

建立了超短微空氣徑向軸承-轉子系統的動力學分析模型，在考慮氣體稀薄效應的同時，探討了黏性摩擦力對硅基超短微空氣徑向軸承的非線性動力學性能的影響。結果表明，寬徑比越小，黏性摩擦力對軸承的穩態特性及非線性動力學特性的影響越大；當軸承數較小時，考慮與不考慮黏性摩擦力2種情況下的系統響應均為同步周期運動；隨著軸承數的增加，不考慮黏性摩擦力情況下系統經過概周期運動、多倍周期運動，最后進入混沌運動狀態；考慮黏性摩擦力情況下系統則經過概周期運動、2倍周期運動，最后進入混沌運動狀態；2種情況下轉子中心振動幅度、運動狀態以及轉折點上均有較大差別，軸承數較大時差別更為明顯。考慮黏性摩擦力后，系統的運動狀態更為穩定，振動幅度較小。在對超短微空氣徑向軸承-轉子系統進行研究設計及控制時，必須考慮黏性摩擦力。