探微數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程及理解的層次

李倫

摘 要：從數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)心象到數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)成了認(rèn)知心理學(xué)視角下的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平具有三個(gè)層次，即操作性理解、關(guān)系性理解以及遷移性理解。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知心理學(xué)；數(shù)學(xué)認(rèn)知過程；認(rèn)知理解層次

上世紀(jì)中葉，心理學(xué)逐步觸及數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域問題。這標(biāo)志其已逐漸脫離行為主義的桎梏，步入認(rèn)知革命時(shí)期。從研究的方法上看，信息加工理論為認(rèn)知心理學(xué)的知識(shí)建構(gòu)提供了實(shí)踐支撐。它主張用計(jì)算機(jī)模擬人腦思維，認(rèn)為人腦基本上是按照計(jì)算機(jī)模型進(jìn)行工作的。從事物的本源上看，依據(jù)科學(xué)反映論的觀點(diǎn)，有機(jī)生命體在經(jīng)歷長(zhǎng)期進(jìn)化的過程中，催生了人腦形成反映的機(jī)制和功能，即具有以概念形式反映客觀現(xiàn)象規(guī)律的能力。因此，數(shù)學(xué)認(rèn)知過程可以認(rèn)為是人腦與數(shù)學(xué)客體的反映與被反映的相互作用的過程。

一、數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程

從數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)心象到數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知過程，就是源自認(rèn)知心理學(xué)的視角，并體現(xiàn)反映論的觀點(diǎn)，可視為數(shù)學(xué)教學(xué)上的一種認(rèn)知過程。

1.數(shù)學(xué)現(xiàn)象

數(shù)學(xué)現(xiàn)象是數(shù)學(xué)的本源。自然界、人世間或人為的設(shè)計(jì)構(gòu)造中，各種數(shù)量關(guān)系、空間形式以及概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)現(xiàn)象，都能視為數(shù)學(xué)現(xiàn)象。現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。而數(shù)學(xué)就是探究或論述數(shù)學(xué)現(xiàn)象的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)則是闡述并運(yùn)用數(shù)學(xué)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)。對(duì)于教師而言，在教學(xué)過程中可以依據(jù)教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)情景，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)掘與觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象；對(duì)于學(xué)生而言，需理解數(shù)學(xué)的抽象知識(shí)與普遍方法的來源是基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象的，要重視數(shù)學(xué)現(xiàn)象的匯集、整理和分析。

2.數(shù)學(xué)心象

數(shù)學(xué)心象指人們心目中表征數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)所映射出的直覺形象，這些直覺形象往往缺乏理性分析，呈現(xiàn)出變幻不定，甚至淡化模糊的狀態(tài)。在人們的社會(huì)實(shí)踐與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中，每個(gè)年齡階段都會(huì)接觸到各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，這些數(shù)學(xué)現(xiàn)象會(huì)通過個(gè)人耳聞目睹的感知在頭腦中形成各類直觀的心智圖形，簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)心象。可見，數(shù)學(xué)現(xiàn)象是數(shù)學(xué)心象的客觀背景。數(shù)學(xué)現(xiàn)象作用于人腦生成映像的過程，就是人腦基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行想象與默思的過程，其間存在著高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.數(shù)學(xué)抽象

人類的大腦經(jīng)歷長(zhǎng)期的進(jìn)化和遺傳，已具有抽象概括的本能。在高層次的本能中還包含建模能力、想象力和猜想的能力。同時(shí)，人們又通過社會(huì)實(shí)踐和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練不斷喚醒與提高這種抽象能力。一般而論，達(dá)到認(rèn)知的抽象階段，其運(yùn)行路徑是依托數(shù)學(xué)心象的積淀、碰撞與整合，促使人腦歸納提煉數(shù)學(xué)共性特質(zhì)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)概念，并創(chuàng)制出表征數(shù)學(xué)概念的符號(hào)和數(shù)學(xué)名詞，再運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法解決問題。

可見，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，始于自身接觸大量且具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)而在頭腦中產(chǎn)生直觀性的數(shù)學(xué)心象，再通過數(shù)學(xué)心象的積累、變化與重組等過程，最終形成概括性的數(shù)學(xué)抽象概念。

二、數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的層次

理解就是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化過程，是新知與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起的相關(guān)聯(lián)系。理解的程度則依賴于新知與認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系的多與少、強(qiáng)與弱。而數(shù)學(xué)知識(shí)具有二重性，它是對(duì)象性和過程性的統(tǒng)一，從而對(duì)其理解就表現(xiàn)出既有概念性理解，又有程序性理解的雙特征。因此，諸多因素促使學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平存在層次性。

1.操作性理解

操作性理解指學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理，掌握數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)事實(shí)，且熟悉數(shù)學(xué)技能的操作流程。其主要表現(xiàn)有：學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)“雙基”；能運(yùn)用習(xí)得的知識(shí)解決語(yǔ)義含義和關(guān)系復(fù)雜性較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，以及帶有操作性步驟的實(shí)際問題。但學(xué)生在解決陌生的問題時(shí)，常常手足無措，靈活性和獨(dú)創(chuàng)性明顯不足。研究表明，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)認(rèn)知處于操作性理解水平的學(xué)生所占比例較高，對(duì)于解答帶有識(shí)記性與操作步驟的問題，他們的認(rèn)知成績(jī)往往較好。

2.關(guān)系性理解

關(guān)系性理解指學(xué)生能在縱橫聯(lián)系中深刻認(rèn)知數(shù)學(xué)的本質(zhì)、規(guī)律以及相關(guān)聯(lián)的事物。其主要表現(xiàn)有：學(xué)生能明晰、理順概念間的上位、下位和同位的關(guān)系；能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系；能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)去同化、概括新知和解決一些綜合性問題。研究表明，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，小學(xué)階段的多數(shù)學(xué)生都處于關(guān)系性理解水平之下，其數(shù)學(xué)認(rèn)知體系也尚未構(gòu)建完善。當(dāng)面對(duì)綜合性問題測(cè)試時(shí)，他們的成績(jī)并不理想。

3.遷移性理解

遷移性理解指基于學(xué)生的關(guān)系性理解水平，將數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到其他場(chǎng)合。其主要表現(xiàn)有：學(xué)生能深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)方法；靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問題，自主將習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到陌生的情景中。研究表明，在小學(xué)階段，僅有少數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知達(dá)到遷移性理解水平，在解決實(shí)際問題的能力測(cè)試中，大部分學(xué)生的成績(jī)遠(yuǎn)低于預(yù)期。

綜上所述，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平遵循由低到高的發(fā)展規(guī)律，呈現(xiàn)逐步深入的趨勢(shì)。學(xué)生要構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，須達(dá)到關(guān)系性理解水平；要活化思維，在陌生的問題情景中應(yīng)用數(shù)學(xué)，則須達(dá)到遷移性理解水平。

參考文獻(xiàn)：

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