柔性機械臂動力學建模理論與實驗研究進展

谷勇霞　張玉玲　趙杰亮　閻紹澤

1.北京工商大學，北京，100048　　2.清華大學摩擦學國家重點實驗室，北京，100084

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柔性機械臂動力學建模理論與實驗研究進展

谷勇霞1張玉玲1趙杰亮2閻紹澤2

1.北京工商大學，北京，1000482.清華大學摩擦學國家重點實驗室，北京，100084

摘要：總結了國內外學者在柔性機械臂建模理論及其相關實驗等方面的最新研究進展，系統地闡述了柔性機械臂的變形描述方法、關節動力學建模、柔性機械臂系統的動力學建模方法、臂桿的剛化和軟化效應、柔性機械臂實驗方法等方面的研究現狀，提出了現階段機械臂動力學理論與實驗研究存在的問題與不足，預測了柔性機械臂動力學研究的主要方向和核心技術，詳細分析了柔性機械臂最佳模態階數選取、基于動力學特性的柔性機械臂系統參數優化、關節驅動規律的確定、柔性機械臂在高速運轉下剛化與軟化效應、柔性機械臂關節精細建模、空間柔性機械臂超低速運行時爬行現象等待解決的關鍵技術問題。

關鍵詞：柔性機械臂；動力學建模；剛度變化；實驗研究

0引言

柔性機械臂因具有質量輕、能耗低、負載比高等優點而受到航空航天領域的廣泛關注。但柔性機械臂由于臂桿和關節等具有柔性，故在運動過程中會產生彈性變形和機械振動，使機械臂的分析和控制難度增加，這嚴重制約了機械臂執行高精度任務的能力[1]。

關節一般包含電機、傳動裝置及傳感器等，主要實現動力的產生與傳遞、位置感知和機械連接等功能，對機械臂的動力學性能、位置精度及運動平穩性起決定性作用，是整個柔性機械臂的核心[2]。相比臂桿柔性，關節傳動裝置的柔性是造成系統諧振的主要因素，對機械臂性能的影響更為顯著，但研究者為了考慮臂桿柔性的影響，往往忽略了機械臂關節的動力學特性。另外機械臂在做大范圍的空間運動時，臂桿變形與關節柔性相互耦合，導致機械臂在柔性變形中的振動頻率與傳統結構動力學中的振動頻率不一致，即使在小變形條件下，機械臂的剛度也可能會發生顯著變化，影響其動力學性能。因此，柔性機械臂的動力學行為表現為復雜的剛柔耦合現象，動力學方程呈現高度非線性、強耦合和時變性等特點，不易求解[3]。

本文結合柔性機械臂的特點，對柔性體的變形描述方法進行了概述，對柔性機械臂動力學建模的主要方法進行了分析對比，并介紹了機械臂關節動力學建模的研究現狀。對機械臂剛化和軟化效應機理進行了分析，總結了研究剛度變化問題的若干方法。最后對目前機械臂的實驗研究現狀進行了概述，并分析了影響機械臂動力學行為的關鍵技術問題，預測了今后機械臂動力學理論研究的方向。

1柔性機械臂建模理論研究

1.1柔性機械臂的變形描述方法

柔性機械臂的變形描述是柔性機械臂建模的前提，同時與動力學方程的求解難易程度密切相關。目前柔性機械臂的變形描述方法主要有有限元法、有限段法、假設模態法和集中質量法。王樹新等[4]對上述變形描述方法進行了詳細研究，認為采用有限元法所得到的動力學方程較為復雜、求解運算量大、計算效率低，相比之下，假設模態法具有系統性和效率高的特點。通過進一步調研發現[5]：有限元法對結構均勻桿件的計算效率和精度均較高，而對于復雜結構，動力學方程難以求解，不便于控制系統的建立。為得到含三個臂桿的柔性機械臂平面機構模型，Piras等[6]采用Lagrange方程與有限元法結合，將非線性方程轉變為線性常微分方程以降低求解難度。而基于假設模態法對機械臂進行建模可以大大降低系統的自由度數和方程數，并且有利于后續控制系統的建立[7]。與有限元法相似，有限段法的求解效率較低，為了克服這一缺點，許多學者對提高有限段法的精度進行了研究。王樹新等[8]采用有限段法建立了柔性機械臂的離散模型并在求解過程中引入相對位移的模態以提高計算效率。李文龍等[9]在采用有限段法對做大范圍運動的柔性航天器進行建模時，提出將有限段法與空間算子代數理論結合的高效處理方法，有效解決了有限段法效率低的問題。集中質量法條理清晰，適用于構建形狀比較復雜的柔性體，但采用集中質量法對機械臂建模時往往達不到精度要求[10]。因此，Ding等[11]將集中質量法和Holzer法相結合提出了Ding-Holzer法，有效提高了模型精度。

對于不同的結構可以選擇不同的變形描述方法，目前仍以有限元法和假設模態法應用居多。

1.2柔性機械臂的動力學建模方法

對于柔性機械臂的建模，無論采用何種建模方式，都需要對柔性體的變形進行描述以及選取參考坐標等。目前主要有三類參考坐標系：慣性坐標系、隨轉坐標系和浮動坐標系[12]。

慣性坐標系根據大變形非線性有限元及連續體力學原理，將所有單元的運動都在慣性坐標系下描述，不再對各體剛體運動和彈性變形加以區分，適于大變形柔性建模。

隨轉坐標系是在柔性體的每個獨立單元上建立參考坐標系，并隨著每個獨立單元的運動而運動，用于大位移、大轉角和小應變結構的建模。

浮動坐標系(圖1)由慣性坐標系X0OY0和柔性體上的隨動坐標系X1OY1組成，將隨動坐標系相對于慣性坐標系的大范圍運動θ和相對于隨動坐標系的彈性變形y(x,t)分開描述，浮動坐標系將多剛體動力學與結構動力學相結合，是目前應用最廣泛的方法。Shabana[13]在對柔性多體系統動力學研究中詳細闡述了浮動坐標系的選取問題。隨著對大變形柔性體動力學問題的研究，出現了基于有限元與連續介質力學理論的絕對節點坐標法,該方法在全局坐標下定義單元的節點坐標，并將有限單元的節點轉角坐標用斜率矢量代替[14]。

圖1　浮動坐標系

隨著柔性機械臂建模理論的不斷成熟，建模方法也趨于多樣化，但仍然以Newton-Euler方程為代表的矢量力學法和以Lagrange方程為代表的分析力學法為主。另外，還有兼具矢量力學法和分析力學法的Kane方程、基于極小值性質的高斯極值原理以及模型辨識法。王樹新等[4]和楊敏等[15]對基于Newton-Euler方程、Lagrange方程及Kane方程的柔性機械臂建模方法進行了深入研究。在此基礎上進一步調研發現：采用Newton-Euler方程建模時，由于難以消除方程中相鄰物體間的內力項，對于復雜結構增加了建模的難度，求解效率降低。但Newton-Euler法是目前動力學分析用于實時控制的主要手段[16]。Lagrange方程形式簡單，適合計算機高速求解，并可應用于控制系統。但建模過程中對動能和勢能的推導以及微分運算復雜，廣義坐標的選取也比較困難。目前Lagrange方程經常結合假設模態法被應用于柔性多體系統的動力學建模中[17]。采用Kane方程建模時不必考慮理想約束的約束反力，也無需進行系統的動能、勢能及其偏導數的運算，且推導過程較為系統化，因此在多體系統的建模方面得到廣泛應用[18]。上述柔性機械臂建模方法均需建立動力學方程進行動力學分析，而Gauss原理和模型辨識法可以不建立動力學方程就進行動力學分析，現分述如下：

(1)

根據高斯原理可知，質點系的真實運動滿足

(2)

高斯原理在機器人的設計和分析中應用廣泛，通過建立拘束函數的變分問題，可直接應用優化算法對機器人進行動力學分析[19]。

(2)模型辨識法。根據系統的實驗數據來確定系統的數學模型，必須存在實際系統的輸入輸出數據。根據描述系統數學模型的不同，系統辨識一般可分為線性系統辨識、非線性系統辨識、集中參數系統辨識和分布參數系統辨識。各種方法的本質都是根據輸入信號和響應信號辨識出系統的數學模型，如圖2所示。基本流程都是根據辨識目的和先驗知識設計相關實驗，獲取實驗結果對模型參數進行估計，進而對模型進行驗證，獲得最終模型，其流程如圖3所示。模型辨識方法在實驗基礎上獲取系統的運動特征，拋開了經典力學分析的思想，從而為復雜柔性機械臂的動力學建模提供了有力手段[20]。

圖2　系統辨識建模方法

圖3　系統辨識流程圖

雖然Gauss極值原理和模型辨識法可以避免動力學方程的建立，比較簡單，但仍有許多關鍵技術問題尚需完善。目前對柔性機械臂的建模仍以Lagrange方程應用居多，其建模流程如圖4所示。

圖4　Lagrange方程建模流程圖

1.3柔性機械臂關節動力學建模方法

關節是柔性機械臂最關鍵的部件，其性能的好壞直接影響機械臂的工作性能，因此分析機械臂關節的動態特性對機械臂的控制至關重要，而建立精確的動力學模型是分析關節動態特性的前提。機械臂關節通常含有電機、行星齒輪或諧波齒輪減速器、位置傳感器、旋轉變壓器及控制電路等[21]，這些非線性部件會影響機械臂的動力學性能，導致機械臂關節模型的建立比較困難，需要同時考慮摩擦、阻尼、變形和間隙等因素。

早期的研究者往往忽略關節動力學特性的影響而重點考慮臂桿柔性，先后出現了鉸鏈模型、線性扭轉彈簧模型、彈簧-阻尼器模型等關節模型[22]。文獻[23]將關節視為理想鉸鏈，僅考慮臂桿柔性，建立了柔性機械臂的動力學模型并進行主動控制。之后Korayem等[24]考慮了關節柔性，分別將關節簡化為線性扭轉彈簧模型和彈簧-阻尼器模型來研究機械臂的建模問題。但這些簡化模型都是基于剛性關節或關節小變形假設，不能體現關節的真實結構，對剛性較高的關節比較適用。實際關節在運動過程中會產生摩擦、阻尼、變形等影響機械臂動力學性能的非線性因素，上述簡化模型忽略了這些非線性因素的影響，無法反映出關節的特性。在此基礎上，許多學者對上述模型進行了修正。何柏巖等[25]在鉸鏈模型的基礎上考慮了鉸鏈間隙，研究間隙對剛柔耦合機械臂動力學特性的影響。Erkaya[26]在非線性彈簧阻尼模型的基礎上考慮間隙的影響，建立了關節的接觸模型。

無論是理想關節模型，還是修正后的關節模型，由于未考慮摩擦等其他非線性因素，只適用于傳動較為簡單的關節，對于復雜傳動關節往往不能滿足精度要求，因此很多學者開始研究精細關節模型。于登云等[21]對細化關節模型進行了詳細綜述。在此基礎上對機械臂關節的傳動機構進一步調研發現：現有柔性空間機械臂關節一般采用行星齒輪傳動或諧波齒輪傳動作為減速機構[27]，行星齒輪傳動具有承載能力大、壽命長、可靠性高等優點，但在機械臂運行過程中，齒輪嚙合會產生噪聲和機械振動，影響機械臂動力學性能。研究表明，行星齒輪傳動過程中時變嚙合剛度、嚙合誤差和齒側間隙是其主要問題[28]。Yang等[29-30]建立了考慮齒側間隙、齒廓誤差和時變嚙合剛度的關節動力學模型并進行了仿真，仿真結果表明，齒側間隙導致機械臂產生定位誤差，而齒廓誤差是影響加速度波動和嚙合力的主要因素。楊天夫等[31]基于考慮間隙的滾動軸承模型和非線性嚙合力的行星齒輪模型，建立了由四級行星齒輪減速器組成的大減速比精確機械臂關節模型。與行星齒輪傳動不同，諧波齒輪具有傳動比大、傳動平穩等優點，由于采用彈性變形傳遞運動，故其關鍵問題在于摩擦和非線性剛度[32]，這些關鍵問題會導致運行過程中產生動態誤差、柔性和滯后等現象。谷勇霞等[33]建立了考慮諧波滯后的機械臂的動力學模型，并分析了諧波滯后對動力學特性的影響。Gomes[34]在剛體關節動力學模型的基礎上，考慮了靜態摩擦和庫侖黏滯摩擦模型，并基于該模型設計了關節控制器，有效提高了模型動力學分析的精度。由此可知，隨著建模理論的成熟，機械臂關節模型也不斷得到完善。

2柔性機械臂的剛化和軟化效應

柔性機械臂在運行過程中因機械臂柔性產生的變形與大范圍的空間運動相互耦合，導致機械臂在其柔性變形中的振動頻率與傳統結構動力學中的振動頻率不一致，即使小變形條件下，也會產生剛化效應[35]；同時機械臂在運動過程中受到離心力作用，離心力導致機械臂變形，剛度減小，產生軟化效應。兩者相互作用使機械臂的剛度發生變化，因此剛度是衡量柔性機械臂性能的重要指標。傳統的結構動力學理論分析中剛度通常為常值，不計小變形，但結構的大范圍運動與小變形耦合以及本身變形導致的剛度變化，會對系統的動力學特性產生明顯的影響。

2.1剛度變化產生的機理

剛度變化是剛化效應與軟化效應相互作用的結果，以圖5所示的柔性臂桿單元為例分析其剛度變化產生的機理。

圖5　柔性機械臂變形示意圖

柔性機械臂在運行過程中產生柔性變形，對柔性臂桿單元進行受力分析，軸向力F提供了機械臂轉動的離心力，彎矩M產生彎曲變形，不考慮剪力Fs的影響。變形前，F對M沒有影響，但隨著機械臂的旋轉，其運動和變形的耦合會導致F產生附加的彎矩M′。附加彎矩計算公式為

(3)

由式(3)可知[36]，當F很大時，附加彎矩不可忽略，并且隨著轉速的增大，軸向力不斷增大，因此附加彎矩也隨之增大，于是產生變化的附加剛度，即剛化效應，導致剛度增大，同時機械臂的柔性變形產生軟化效應，使剛度減小，兩者共同作用使剛度發生變化。

2.2剛度變化的分析方法

主要教學內容：針對某一具體裝配對象進行系統研究，完成裝配流程設計、視頻采集、達寶易軟件分析、標準作業指導書制訂等，加強培養學生的實踐應用能力。教學地點：實驗室；教學課時：1周。

剛度變化與轉速密切相關，目前在對機械臂建模時柔性體的變形描述一般采用假設模態法和有限元法，但這兩種方法只適用于低速情況，對于高速情況，上述方法會導致仿真數值的發散[37]。

當前對剛化效應的分析方法主要有非線性有限元法、附加剛度法、變形耦合法及子結構法。非線性有限元法需采用隱式迭代算法，計算效率較低，早期主要用于簡單柔性梁的動力學分析[38]。隨著非線性有限元分析軟件的成熟，該方法得到廣泛應用，deBorst等[39]對其原理及應用進行了詳細的總結。附加剛度法和耦合變形法是目前剛化效應分析的常用方法，但兩者的應用也有很大的局限性。而幾何非線性法是采用附加剛度法解決剛化問題的典型方法，它保留了位移與應變之間的非線性關系，所得剛度矩陣包含常值剛度陣和幾何非線性剛度陣，一般表示為[38]

K=K0+Ks

(4)

式中，K0為常值模態的剛度陣；Ks為幾何非線性剛度陣，即附加動剛度陣。

Sharf[40]認為該剛度陣是變形廣義坐標α的無窮級數，因此式(4)的剛度矩陣K可采用Taylor展開近似表達為

(5)

其中，KG為α的線性函數，KB為α的二次函數，而且得到了KG和KB的顯式表達式。許多學者對幾何非線性法的精度給予了高度重視，如陸念力等[41]基于靜力凝聚方法，建立了幾何非線性剛度矩陣的遞推公式，隨著遞推次數的增加，計算精度可以無限逼近精確解，但計算效率低。因此，需要進一步研究幾何非線性法的精度問題。變形耦合法主要通過模態坐標的二階小量來描述柔性體的變形場，形成精確到二階小量的運動學描述以保留彈性變形的非線性特性。若取柔性體的前n階模態，則變形場可表示為

(6)

其中，a為模態坐標，Nij為形函數，Nipj為耦合形函數。根據Lagrangian應變張量和小變形假設，可得耦合形函數為

(7)

再結合Kane方法，將偏線速度和偏角速度中的模態坐標進行線性化處理，由此可得柔性體的動剛度矩陣。閻紹澤等[42]基于變形耦合方法，在解決柔性體大范圍運動產生的幾何剛度方面作了深入研究。由于對于復雜形狀的柔性體，難以得到耦合形函數，因此該方法只適用于簡單形狀的柔性體。子結構法與有限元法類似，但其子結構為線性變形，集合后的整體結構呈非線性。對于復雜結構，該方法計算量較大，效率較低，且要根據約束方程保證變形的連續性，在高速計算中準確性較好[43]。

雖然對剛化效應的分析趨于成熟，但卻忽略了軟化效應的影響。為了建立柔性機械臂的精細模型，研究者逐漸重視軟化效應對柔性體的影響。吳勝寶等[44]對剛體-柔性梁系統的動力學特性進行了研究，結果表明柔性梁中同時存在剛化效應和軟化效應，并影響梁的固有頻率。由于剛化效應和軟化效應結合使機械臂的剛度產生不確定的變化，影響機械臂的動力學特性，所以研究者提出了時變剛度模型[45]，進一步細化了機械臂模型，但隨著機械臂復雜化和高精度化，機械臂的時變剛度模型仍有待進一步研究。

3柔性機械臂實驗的研究進展

3.1柔性機械臂臂桿實驗研究

最早的機械臂實驗系統為單連桿柔性機械臂，以DavidWang科研團隊設計的實驗系統(圖6)為代表[46]。該實驗系統的機械臂末端處于自由狀態，并安裝LED燈，與安裝在基座處的CCD相機進行振動位移的測量[46]。臂桿采用直流電機驅動，電機的位置由安裝在電機輪轂上的光電編碼器完成。

斯坦福大學空間機器人實驗室為了研究太空失重環境下自由漂浮物體的抓取過程，研發了宏/微機械臂，整套系統(圖7)由兩條長1.5m的宏機械臂和一組微機械臂組成，并通過空氣軸承漂浮于花崗巖上[46]。

圖6　David Wang科研團隊的單連桿柔性機械臂[46]

圖7　斯坦福大學的宏/微機械臂[46]

隨著對多自由度機械臂的研究，雙連桿機械臂的實驗系統趨于成熟。余躍慶科研團隊設計的兩自由度機械臂實驗系統(圖8)以應變片作為傳感器，PZT-5型壓電陶瓷作為致動器，實現了模糊PID融合控制下的臂桿末端軌跡跟蹤和柔性臂桿的殘余振動控制[47]。

圖8　余躍慶科研團隊的雙連桿柔性機械臂[47]

閻紹澤等[48]設計了雙連桿機械臂主動控制實驗平臺(圖9)，該實驗平臺采用光電編碼器、加速度計和應變片分別檢測機械臂的大范圍運動、末端振動位移和驅動力矩，實現了對機械臂結構-控制耦合特性的研究。另外，張令波等[49]提出了基于云模型的柔性機械臂關節軌跡跟蹤和末端振動抑制的云控制器的設計方法，設計了一套基于位置敏感探測器(PSD)的雙連桿柔性機械臂實驗系統，并驗證了控制器的實用性能，有效改善了測量精度。

圖9　閻紹澤科研團隊的雙連桿柔性機械臂[48]

3.2柔性機械臂關節性能實驗研究

圖10　MSS關節實驗系統結構圖

國際空間站使用的移動服務系統(MSS)在空間站的服務中占據重要位置，可以完成精密裝配、軌道裝置之間的分離和對接以協助宇航員進行艙外活動等。加拿大航天局為了研究每個關節的性能，設計了測試MSS關節的實驗系統，其結構如圖10所示[50]。該實驗系統主要用于測試關節輸出力矩的相關特性、扭轉剛度及彎曲剛度等性能參數，含有待測關節、在軌可更換單元、高剛度的適配器、行星齒輪增速器、制動器、加載用擺桿、緊急致停單元、傳遞力的彎曲箱、5個加載用的螺旋起重器，剛體結構臺等。其中加載用擺桿通過在擺桿末端添加質量塊來進行加載，關節軸向通過改變擺桿的長度和改變質量塊的質量來調節關節的負載，關節徑向通過螺旋起重器來改變負載。周留栓等[51]設計了基于虛擬儀器的模塊化關節綜合性能測試實驗系統(圖11)，主要為了研究模塊化關節的動靜態參數及性能評定。該實驗系統包括待測關節、圓光柵、扭矩傳感器、磁粉制動器以及主結構支架等。

圖11　模塊化關節綜合性能測試實驗系統

北京郵電大學與合肥智能化研究所聯合研制的空間機械臂原理樣機如圖12所示，其關節由直流無刷電機、諧波減速器、掉電制動器、旋轉變壓器等組成，結構緊湊、集成度高[52]。李成等[53]基于模塊化設計思想，設計了具有行走和操作能力的空間機械臂(圖13)，并利用吊絲配重的方法抵消重力的影響來模擬太空環境。

圖12　空間機械臂原理樣機[52]

圖13　機械臂關節[53]

4機械臂動力學研究若干關鍵技術問題

通過調研國內外學者對柔性機械臂動力學的相關研究發現，柔性機械臂動力學研究主要存在以下一些關鍵技術問題。

(1)柔性機械臂最佳模態階數選取。柔性機械臂的動力學模型是連續無限維的，需要采用離散化方法對其變形進行描述，而求解結果的精度取決于模態階數的選擇，一般階數越多結果越精確，但運算量也較大，而且實際也不必要。因此，如何選取模態階數對柔性機械臂的動力學建模與分析至關重要。Skelton等[54]提出了基于分量價值分析的模態價值分析準則，其思想是根據各階模態的模態價值對系統價值函數的貢獻來決定對模態的取舍，保留那些對系統價值貢獻較高的模態。模態價值分析準則直接將模態選擇與控制目標聯系起來，因而得到廣泛的應用。目前也有學者研究基于實驗研究的結構模態階數選取。唐國潮等[55]等分別截取柔性機械臂的前四階模態進行仿真，結果表明截取前三階模態即可滿足精度要求。一般針對不同的模型需要截取不同的階數，如何選取最佳模態階數值得深入研究。

(2)基于動力學特性的柔性機械臂系統參數優化。雖然機械臂臂桿和關節柔性等對機械臂動力學性能的影響占主要地位，但機械臂系統參數，如結構參數、物理參數、阻尼參數、關節轉動慣量、末端附加質量的大小及位置對機械臂動力學性能的影響也至關重要。通過改變機械臂的結構參數(如截面寬度、高度、長度)和物理參數(如密度、彈性模量)，研究其對機械臂動力學輸出特性的影響，進而選擇對動力學特性影響較小的臂桿截面和材料，可以為機械臂的振動抑制提供方法。郭振峰等[56]改變柔性機械臂的結構參數和材料參數并進行了仿真，結果表明，在截面面積相等時，圓形截面和矩形截面的振動頻率分別為最低和最高，而末端變形正好相反，因此選擇矩形截面可以減小變形；密度變化對柔性機械臂的變形程度影響不大，而彈性模量越大，振動頻率越高，末端變形越小。滕悠優[57]分別針對機械臂大范圍運動已知和未知的情況，對其末端附加質量位置及阻尼進行了研究。結果表明，在運動已知的情況下，機械臂末端的響應頻率較低，阻尼影響很小；而在運動未知的情況下，在機械臂末端附加質量時，引起振幅變大，而響應頻率降低，阻尼也對機械臂的振幅有所影響。因此，機械臂的系統參數對其動力學行為產生一定的影響，合理設計機械臂的結構及選擇材料可以改善機械臂的工作性能，同時為機械臂系統的結構布置和主動抑振提供實驗依據。

(3)關節驅動規律的確定。柔性機械臂的驅動力矩是機電轉換的橋梁，為整個機械臂系統提供動力，機械臂在工作過程中，關節電機不斷輸出關節力矩，驅動關節轉動到指定位置。由于機械臂關節驅動電機的大小、尺寸、質量等是有限的，因而產生的輸出力矩也是有限的，而目前大部分研究是建立在驅動輸入可以無限大的條件下來設計控制器的。對整個機械臂系統而言，過小的關節力矩不能保證關節運動，可能無法完成指定任務；而過大的關節力矩使轉速過高，導致機械臂失穩、失控，甚至損壞電機。因此，合理選擇關節力矩的范圍，對提高機械臂的動力學性能、延長機械臂系統的壽命具有重要意義。

(4)柔性機械臂在高速運轉下剛化與軟化效應的分析。目前對柔性機械臂剛度變化問題的研究比較普遍，但往往忽略軟化效應。綜合考慮剛化效應和軟化效應的影響，研究機械臂的剛度變化對其動力學特性的影響、建立時變剛度模型具有重要的理論價值。

(5)柔性機械臂關節精細建模。關節減速器包括行星齒輪減速器和諧波齒輪減速器，行星減速器的齒輪副間借助間隙發生相互作用，隨著間隙的增大，機械臂的振動加劇，同時在運動過程中伴隨著摩擦，影響機械臂的傳動精度。而諧波減速器在傳動過程中通過柔輪的可控變形傳遞扭矩，在大負載條件下，柔輪變形為非線性，柔輪與剛輪接觸產生摩擦，嚴重影響機械臂的傳動精度。機械臂在運動過程中，間隙和摩擦等非線性因素的影響復雜而不確定，研究其對機械臂傳動精度的影響，建立較為精確的動力學模型，是振動主動抑制的關鍵，也是目前機械臂研究的重點與熱點。

(6)空間柔性機械臂超低速運行時爬行現象的分析。摩擦力在機械臂中普遍存在，其對運動的影響大小不僅與動靜摩擦因數有關，還與關節的傳動剛度和傳動速度密切相關。機械臂在超低速運轉時，很容易出現爬行現象。爬行現象是一種很復雜的自激振現象，其主要原因是系統摩擦因數的變化和傳動機構的剛度不足。爬行現象導致運行不穩定，嚴重影響機械臂的定位精度，甚至損壞傳動系統，還會產生噪聲。研究機械臂低速運轉的爬行現象，考慮導致爬行的各種因素，是提高機械臂動力學性能的重要手段。柔性機械臂是集機、電、熱一體化的系統，結構復雜，而且因對機械臂工作性能的要求越來越高，影響其動力學性能的因素也趨于多樣化和復雜化。上述只是影響機械臂動力學行為的一些關鍵問題，要提高機械臂的動力學性能，還需要對機械臂系統進一步深入研究。另外，機械臂系統各部分關系密切，因此研究多種因素的耦合作用對機械臂動力學特性的影響也具有重要的意義。

5結論

雖然國內外對空間機械臂的研究取得了一定的進展，但仍有很多深層次的理論與技術問題有待進一步解決。

(1)在柔性機械臂動力學建模方面，如何確定機械臂的模態參數進而將其離散化是一個非常值得關注和研究的問題。另外，當前對機械臂的建模以單臂和雙臂居多，對更多自由度機械臂系統的動力學模型研究相對較少，且很不完善。即使對單自由度機械臂進行建模，常常忽略關節非線性因素的影響，未整體考慮各部分因素的影響。

(2)在柔性機械臂剛度變化方面，建立時變剛度模型是今后研究的一個熱點。

(3)在空間機械臂實驗研究方面，機械臂是一個復雜的不確定系統，機械臂在運行過程中，各因素相互作用，因此考慮各種因素的綜合影響是研究的一個重點。另外，實驗系統與機械臂的實際工況仍有一定的差距，因此完善機械臂的實驗系統，提高測量精度，對研究機械臂具有重要意義。

參考文獻：

[1]劉明治, 劉春霞. 柔性機械臂動力學建模和控制研究[J]. 力學進展, 2001, 31(1):1-8.

LiuMingzhi,LiuChunxia.TheStudyonDynamicsModellingandControlofFlexibleMechanicalArms[J].AdvancesinMechanics, 2001, 31(1):1-8.

[2]于登云,孫京,馬興瑞.空間機械臂技術及發展建議[J].航天器工程,2007(4):1-8.

YuDengyun,SunJing,MaXingrui.SuggestiononDevelopmentofChineseSpaceManipulatorTechnology[J].SpacecraftEngineering,2007(4):1-8.

[3]王江勇,王基生,張俊俊，等.單自由度柔性機械臂剛柔耦合動力學仿真研究[J].機械設計與制造,2012(12):54-56.

WangJiangyong,WangJisheng,ZhangJunjun,etal.Rigid-flexibleCouplingDynamicSimulationResearchonaSingleDegreeofFreedomFlexibleManipulator[J].MachineryDesign&Manufacture, 2012(12):54-56.

[4]王樹新, 員今天, 石菊榮,等. 柔性機械臂建模理論與控制方法研究綜述[J]. 機器人, 2002, 24(1):86-91.

WangShuxin,YunJintian,ShiJurong,etal.ARoadmapofResearchonModelingandControlStrategyforFlexibleManipulators[J].Robot, 2002, 24(1):86-91.

[5]MuhammadAK,OkamotoS,LeeJH.ComparisonofProportional-derivativeandActive-forceControlsonVibrationofaFlexibleSingle-linkManipulatorUsingFinite-elementMethod[J].ArtificialLifeandRobotics, 2014, 19(4): 375-381.

[6]PirasG,CleghornW,MillsJ.DynamicFiniteElementAnalysisofaPlanarHigh-speed,High-precisionParallelManipulatorwithFlexibleLinks[J].MechanismandMachineTheory, 2005, 40(7): 849-862.

[7]ShawkyA,ZydekD,ElhalwagyYZ,etal.ModelingandNonlinearControlofaFlexible-linkManipulator[J].AppliedMathematicalModelling, 2013, 37(23): 9591-9602.

[8]王樹新, 蔣鐵英, 張鐵民,等. 柔性機械臂的動力學分析與實驗研究[J]. 中國機械工程, 1995,6(6):18-20.

WangShuxin,JiangTieying,ZhangTiemin,etal.DynamicAnalysisandExperimentalResearchofFlexibleManipulator[J].ChinaMechanicalEngineering,1995,6(6):18-20.

[9]李文龍,余正寧,師鵬,等.大范圍運動柔性航天器的遞推有限段法分析[J].中國空間科學技術,2012,32(4):22-28.

LiWenlong,YuZhengning,ShiPeng,etal.RecursiveFiniteSegmentMethodAnalysisofFlexibleSpacecraftUndergoingLargeOverallMotions[J].ChineseSpaceScienceandTechnology,2012,32(4):22-28.

[10]RahimiHN,NazemizadehM.DynamicAnalysisandIntelligentControlTechniquesforFlexibleManipulators:aReview[J].AdvancedRobotics, 2014, 28(2): 63-76.

[11]DingXilun.LumpedParameterDynamicModelingforTheflexibleManipulator[C]//FifthWorldCongressonIntelligentControlandAutomation.Hangzhou, 2004: 280-284.

[12]潘冬.空間柔性機械臂動力學建模分析及在軌抓捕控制[D].哈爾濱:哈爾濱工業大學,2014.

[13]ShabanaAA.DynamicsofMultibodySystems[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress, 2013.

[14]SopanenJT,MikkolaAM.DescriptionofElasticForcesinAbsoluteNodalCoordinateFormulation[J].NonlinearDynamics, 2003,34(1/2): 53-74.

[15]楊敏, 劉克平. 柔性機械臂動力學建模與控制方法研究進展[J]. 長春工業大學學報:自然科學版, 2011, 32(1):7-13.

YangMin,LiuKeping.TheResearchAdvancesinModelingandControlMethodforFlexibleManipulator[J].JournalofChangchunUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition), 2011, 32(1):7-13.

[16]霍偉.機器人動力學與控制[M].北京:高等教育出版社,2005.

[17]梁捷, 陳力. 雙臂空間機器人基于高斯型函數的姿態、關節運動模糊自適應補償控制[J].中國機械工程, 2010,21(3):330-336.

LiangJie,ChenLi.FuzzyAdaptiveCompensationControlforSpace-basedRobotSystemwithDual-armBasedonGaussian-typeFunctiontoTrackTrajectoryinJointSpace[J].ChinaMechanicalEngineering, 2010,21(3):330-336.

[18]KaneTR,LevinsonDA.FormulationofEquationsofMotionforComplexSpacecraft[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 1980, 3(2): 99-112.

[19]劉延柱.基于高斯原理的多體系統動力學建模[J].力學學報,2014, 46(6): 940-945.

LiuYanzhu.DynamicModelingofMulti-bodySystemBasedonGauss’sPrinciple[J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics,2014,46(6):940-945.

[20]耿令波, 陳柏, 吳洪濤. 基于連接組合體方法的關節機器人動力學參數辨識[J]. 中國機械工程, 2014, 25(5):581-587.

GengLingbo,ChenBai,WuHongtao.IdentificationofArticulatedRobots’DynamicsParametersBasedonLinkage-assembliesMethod[J].ChinaMechanicalEngineering,2014, 25(5):581-587.

[21]于登云, 潘博, 孫京. 空間機械臂關節動力學建模與分析的研究進展[J]. 宇航學報, 2010,31(2):2448-2455.

YuDengyun,PanBo,SunJing.ALiteratureReviewonDynamicModelingandAnalysisoftheJointsinSpaceManipulator[J].JournalofAstronautics, 2010, 31(2):2448-2455.

[22]潘博, 于登云, 孫京. 大型空間機械臂關節動力學建模與分析研究[J]. 宇航學報, 2010, 31(11):2448-2455.

PanBo,YuDengyun,SunJing.ResearchonDynamicModelingandAnalysisofJointinLargeSpaceManipulator[J].JournalofAstronautics, 2010,31(11):2448-2455.

[23]MurotsuY,TsujioS,SendaKEI.DynamicsandPositioningControlofSpaceRobotwithFlexibleManipulators[C]//AIAAGuidance,NavigationandControlConference.Portland,OR, 1990: 735-742.

[24]KorayemMH,RahimiHN,NikoobinA.MathematicalModelingandTrajectoryPlanningofMobileManipulatorswithFlexibleLinksandJoints[J].AppliedMathematicalModelling, 2012, 36(7): 3229-3244.

[25]何柏巖,高峰,王樹新.計及鉸鏈間隙的機械臂動力學建模與仿真[J].天津大學學報,2005, 38(9):795-799.

HeBaiyan,GaoFeng,WangShuxin.ModelingandSimulationofaMechanicalArmwithJointClearance[J].JournalofTianjinUniversity,2005,38(9):795-799.

[26]ErkayaS.InvestigationofJointClearanceEffectsonWeldingRobotManipulators[J].RoboticsandComputer-IntegratedManufacturing, 2012, 28(4): 449-457.

[27]NamWK,OhSH.ADesignofSpeedReducerwithTrapezoidalToothProfileforRobotManipulator[J].JournalofMechanicalScienceandTechnology, 2011, 25(1): 171-176.

[28]ParkerRG,LinJ.Modeling,ModalProperties,andMeshStiffnessVariationInstabilitiesofPlanetaryGears[R].Columbus:OhioStateUniversityColumbusDepartmentofMechanicalEngineering, 2001.

[29]YangT,YanS,MaW.JointDynamicAnalysisofSpaceManipulatorwithPlanetaryGearTrainTransmission[J].Robotica, 2014,34(5):1-17.

[30]YangT,YanS.DynamicSimulationofPlanetaryGearbox[J].KeyEngineeringMaterials, 2014, 584:220-224.

[31]楊天夫,谷勇霞,閻紹澤.大型空間機械臂動力學建模及其性能分析[C]//中國空間科學學會2013年空間光學與機電技術研討會.西安,2013：213-219.

[32]TuttleTD.UnderstandingandModelingtheBehaviorofaHarmonicDriveGearTransmission[R].Cambridge:MITArtificialIntelligenceLaboratory, 1992.

[33]谷勇霞,趙杰亮,閻紹澤,等.考慮諧波傳動滯后的柔性空間機械臂運動精度[J].機械工程學報,2013,49(23):74-79.

GuYongxia,ZhaoJieliang,YanShaoze,etal.KinematicAccuracyoftheFlexibleSpaceManipulatorwithHarmonicDrive[J].JournalofMechanicalEnginnering, 2013,49(23):74-79.

[34]GomesSCP.DynamicModellingandFrictionCompensatedControlofaRobotManipulatorJoint[C]//Proceedingsof1992IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation.Nice, 1992: 1429-1435.

[35]金在權,權成七.彈性旋轉梁的動力剛化效應[J].延邊大學學報:自然科學版,2000,26(2):116-118.

JinZaiquan,QuanChengqi.TheStiffeningEffectoftheCentrifugalForce[J].JournalofYanbianUniversity(NaturalScience),2000,26(2):116-118.

[36]張俊蘋.基于振動的旋轉風力機葉片損傷識別研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業大學,2012.

[37]于清, 洪嘉振. 柔性多體系統動力學的若干熱點問題[J]. 力學進展, 1999(2):145-154.

YuQing,HongJiazhen.SomeTopicsonFlexibleMultibodySystemDynamic[J].AdvancesinMechanics, 1999(2):145-154.

[38]SimoJC,Vu-QuocL.OntheDynamicsofFlexibleBeamsunderLargeOverallMotions-thePlaneCase:PartII[J].JournalofAppliedMechanics, 1986, 53(4): 855-863.

[39]deBorstR,CrisfieldMA,RemmersJJC,etal.NonlinearFiniteElementAnalysisofSolidsandStructures[M].WestSussex:JohnWiley&Sons, 2012.

[40]SharfI.GeometricallyNon-linearBeamelementforDynamicsSimulationofMultibodySystems[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering, 1996, 39(5): 763-786.

[41]陸念力,張宏生.一種高精度幾何非線性遞推凝聚梁單元[J].中國工程機械學報,2008,6(1):1-5.

LuNianli,ZhangHongsheng.InvestigationintoHigh-accuracyGeometrically-nonlinearRecursiveCondensationBeamElement[J].ChineseJournalofConstructionMachinery,2008,6(1):1-5.

[42]閻紹澤,季林紅,范晉偉,等.柔性機械系統動力學的變形耦合方法[J].機械工程學報,2001,37(8):1-4.

YanShaoze,JiLinhong,FanJinwei,etal.Deformation-CouplingModelingMethodforDynamicsofFlexibleMechanicalSystems[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2001,37(8):1-4.

[43]LeungAYT.DynamicSubstructureMethodforElasticFractalStructures[J].Computers&Structures, 2011, 89(3): 302-315.

[44]吳勝寶, 章定國. 大范圍運動剛體-柔性梁剛柔耦合動力學分析[J]. 振動工程學報, 2011, 24(1):1-7.

WuShengbao,ZhangDingguo.Rigid-flexibleCouplingDynamicAnalysisofHub-flexibleBeamwithLargeOverallMotion[J].JournalofVibrationEngineering,2011, 24(1):1-7.

[45]YangT,YanS,HanZ.NonlinearModelofSpaceManipulatorJointConsideringTime-variantStiffnessandBacklash[J].JournalofSoundandVibration, 2015, 341: 246-259.

[46]楊康華.柔性機械臂的振動控制與實驗研究[D].北京:北京郵電大學,2011.

[47]余躍慶,周剛,方道星.基于模糊PID融合的柔性機械臂振動壓電主動控制研究[J].中國機械工程, 2008,19(15):1836-1841.

YuYueqing,ZhouGang,FangDaoxing.ActiveVibrationControlforFlexiblePiezoeletricManipulatorBasedonFuzzy-PIDFusionControl[J].ChinaMechanicalEngineering, 2008,19(15):1836-1841.

[48]閻紹澤,季林紅，劉才山，等.柔性機械臂結構-控制藕合特征的實驗研究[J].機械科學與技術,2000,19(5):796-798.

YanShaoze,JiLinhong,LiuCaishan,etal.OntheStructure-controlInteractionofFlexibleManipulators[J].MechanicalScienceandTechnology, 2000,19(5):796-798.

[49]張令波,孫富春,孫增圻.基于云模型的柔性機械臂軌跡跟蹤與振動抑制控制[C]//2005年中國智能自動化會議論文集.南京, 2005:342-347.

[50]GreenwoodDT.PrinciplesofDynamics[M].EnglewoodCliffs,NJ:Prentice-Hall, 1988.

[51]周留栓, 賈慶軒, 張曉東.機器人一體化關節性能測試系統的設計與實現[J]. 機電產品開發與創新, 2007, 20(5):1-3.

ZhouLiushuan,JiaQingxuan,ZhangXiaodong.Design&ImplementationofPerformance-testingSystemforRobotModularJoint[J].Development&InnovationofMachinery&ElectronicProducts, 2007,20(5):1-3.

[52]SunH,JiaQ,PingY.DevelopmentofaGeneral2-DOFSpaceModule[C]// 2006IEEE/RSJInternationalConferenceonIntelligentRobotsandSystems.Beijing:IEEE, 2006:1002-1007.

[53]李成, 梁斌. 空間機器人的遙操作[J]. 宇航學報, 2004, 22(1):95-98.

LiCheng,LiangBin.TeleoperationofSpaceRobotics[J].JournalofAstronautics,2001,22(1):95-98.

[54]SkeltonRE,YousuffA.ComponentCostAnalysisofLargeScaleSystems[J].InternationalJournalofControl, 1983, 37(2): 285-304.

[55]唐國潮,金國光,劉遠.柔性機械臂動力學建模及特性研究[J].機械科學與技術, 2009,28(8):1031-1034.

TangGuochao,JinGuoguang,LiuYuan.ResearchofDynamicModelingandPerformanceforRigid-FlexibleManipulator[J].MechanicalScienceandTechnologyforAerospaceEngineering, 2009,28(8):1031-1034.

[56]郭振鋒,金國光,暢博彥,等.剛-柔性機械臂動力學建模及其動力學特性研究[J].天津工業大學學報, 2013,32(1):70-74.

GuoZhenfeng,JinGuoguang,ChangBoyan,etal.ResearchofDynamicModelingandPerformanceforRigid-flexiblemanipulator[J].JournalofTianijnPolytechnicUniversity,2013,32(1):70-74.

[57]滕悠優. 柔性機械臂的主動控制與實驗研究[D]. 上海:上海交通大學, 2007.

(編輯袁興玲)

收稿日期：2016-01-05

基金項目：高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20120002110070)；國家自然科學基金資助項目(11272171)

中圖分類號：TP24

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.12.024

作者簡介：谷勇霞，女，1968年生。北京工商大學材料與機械工程學院副教授。主要研究方向為機械設計及機械系統動力學。張玉玲，女，1989年生。北京工商大學材料與機械工程學院碩士研究生。趙杰亮，男，1989年生。清華大學摩擦學國家重點實驗室博士研究生。閻紹澤，男，1964年生。清華大學摩擦學國家重點實驗室教授、博士研究生導師。

AdvancesonDynamicsModelingandExperimentalStudiesforFlexibleManipulators

GuYongxia1ZhangYuling1ZhaoJieliang2YanShaoze2

1.BeijingTechnologyandBusinessUniversity,Beijing，100048 2.StateKeyLaboratoryofTribology,TsinghuaUniversity,Beijing，100084

Abstract：This paper summarized the latest advances on the flexible manipulator modeling theories and relevant experiments of scholars at home and abroad, systematically expounded the study status of the methods to describe the flexible manipulator deformations, the joint dynamics modeling, the dynamic modeling methods of flexible manipulator systems, the stiffening and softening effects of the arms and the experimental methods. Then this paper proposed the present problems and shortcomings of manipulator dynamics theory and experimental study, predicted the main direction and core technology of the flexible manipulator dynamics research and analyzed key technical problems about the optimal mode order selection of flexible manipulators in detail. The system parameter optimization based on the dynamic characteristics of flexible manipulators, the determination of joint driving laws, the stiffening and softening effects of manipulator arms under high speed, the fine modeling of flexible manipulator joints and the crawling phenomenon in the super low speed of space flexible manipulators were presented.

Key words:flexible manipulator; dynamics modeling; stiffness change; experimental study