例談高三數學復習題組訓練選題技巧

湖北省武漢市第十二中學　　余智敏

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例談高三數學復習題組訓練選題技巧

湖北省武漢市第十二中學余智敏

題組訓練就是從典型例題（基礎問題）入手，通過一題多變、試題改編與延伸，進行有效的變式教學.這種變式改編的例題既能幫助學生鞏固已學知識，更能促使學生提高思維能力；既有利于改變高三復習中學生只愿做題，不會反思的現象，又能激發學生學習的興趣，提高復習的積極性.其實高考中的新題只能是少量的，絕大多數試題要依賴陳題的改編，且高考十分強調公平公正，即試題的信度和效度，因此大家都能接觸到的高考題、模擬題或教材原題的改編成為高考命題的主要手法之一.

“圓錐曲線中兩條相交直線的斜率之積為定值”問題在近年的高考試卷上出現了十余次，在各地調考模考試卷中也頻繁出現.常考的知識點會承載更多的優質方法和更高的訓練效率.本文就以“圓錐曲線（主要是橢圓和雙曲線）中兩條相交直線的斜率之積為定值”為例，闡述選題的思路，探討高三題組訓練選題技巧.通過研究我們發現，題組編寫其實有章可循，掌握方法就能做到輕車熟路，簡單易行，真的是“千淘萬漉不辛苦，吹盡狂沙始到金”.

一、從熟悉的情景中引出專題

在題組問題的確定上，我們通常建議選擇切入點較多、方法多樣，特別是還可延伸推廣、進行變式的問題，那么學生熟悉的問題便成為首選.以熟悉的情景出發編寫題組，更貼近學生的最近發展區，能幫助學生將所學的知識與方法系統化、網絡化，將所學內容連成線、織成網、鋪成面，熟悉知識之間的聯系，然后進行延伸拓展和能力提升，掌握分析解決問題的一般思維方法.同時，教師不妨把選題的主要精力放在近年高考真題和各地模擬試題上，通過簡單的收集整理、分類篩選，從中選出符合高考要求的試題或試題的部分內容.

先論證P為弦的中點時，弦的斜率和弦中點與原點連線的斜率之積為

例1：（2010·新課標理，12）已知雙曲線的中心為原點，P（3，0）是雙曲線的焦點，過P的直線l與E相交于AB兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程式為（）.

解析：通過P、N兩點寫出直線l的斜率，借助斜率之積為定值即可快速求解.

例3：（2005·全國I理，21）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1，且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，+與a=（3，-1）共線，求橢圓的離心率.

變式意圖：這道題除了使用規律外，還可以讓學生體會中點也可以通過向量給出，可進一步歸納出向量加法的平行四邊形法則中，平行四邊形對角線互相平分必然得出中點.

二、從類似的結論中拓展廣度

把熟悉的知識系統化以后，對學習中等的學生而言肯定是學到了“新知識”，但是，對于數學能力強、一輪復習效果好的學生來說，可能并無所獲，缺乏新鮮感，若長此以往，是不利于尖子生的持續發展的.因此，二輪復習時，教師應當站在更高的角度來審視試題，更好地挖掘數學知識的潛在功能，教師應適當地對例題、習題進行變式推廣，讓學生在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下經歷一種重新的認識，對涉及知識點向多側面、廣角度進行合理拓寬，從“點”出發，把“面”帶出來呈現給學生，讓學生能更加系統全面地掌握知識.

類型二：A1，A2為橢圓或雙曲線的頂點.

類型三：A1，A2為橢圓或雙曲線上關于原點對稱的點.

分析1：此規律的證明只需取PM或PN的中點C，連OC，由中位線及第一節規律即可輕松證得.

變式意圖：在新的規律下，這個變式的解法已經上了一個新臺階，無需再取弦中點，跳過了中位線的過渡，使得解法更為簡潔，讓學生體會規律的發展過程，并留下深刻的印象.

三、從方法的應用上加強深度

類型四：軌跡問題.

解析：這道高考題考察解析幾何的通法——“設而不求”.直線代入曲線，設點的坐標，寫韋達定理，向量坐標化，消參、四進二、二進一.這些基本操作要求學生熟練掌握.

變式意圖：從具體問題的研究上升到對一般結論的探究，三個問題可以共用一個演算過程，最后知二推三的環節對于培養學生邏輯推理能力非常有好處.這樣的問題變式對學生而言是學習數學、培養數學興趣、發展提出問題并解決問題能力的良好素材，對教師而言是靈動地把握教學，潛移默化地發展學生思維能力，進行科學命題和測試的良好手段.

選例意圖：這道題啟發學生對于熟悉的規律如何變通使用.平時訓練的內容不會原封不動的考查，要加強知識的遷移能力才能以不變應萬變.

變式意圖：從具體問題的研究上升到對一般結論的探究，這種“原生態”的計算對學生的訓練效果更好，而且培養學生追根溯源，探求本質，不達目的不罷休的鉆研精神和科學態度.

四、從知識的交匯處提升能力

選例意圖：這道題難度較大，對于沒有見過此類問題的學生入口較窄，所以平時多積累處理解析幾何的模型素材是很有必要的.學生可以體會專題復習帶來的好處.

五、從信息的創新處開闊眼界

最近在互聯網上又發現了下面一個“兩直線斜率乘積為定值”的結論.

選題理由：高考命題的素材很多來自于期刊論文、競賽題、自主招生題目等，教師隨時關注貼近高考的新信息和新發現，對部分有條件的學生適當補充，對于開闊學生眼界，充分備考都有好處.

在高三復習中，教師作為課堂教學的主導者，應發揮題組訓練的卓越功能，本著“從熟悉的情景引出專題，從類似的結論拓展廣度，從方法的應用上加強深度，從知識的交匯處提升能力，從知識的創新處開闊眼界”的原則和方法，編寫高質量的題組供學生訓練使用.一方面可以幫助學生短時間內較快地形成知識的網絡系統并加深理解，使學生的零碎知識結網成片，形成一個完整的體系，構建立體的知識大廈；另一方面通過題組訓練，教師可以總結解題方法，指點解題技巧，敲打注意問題，指明應用方向，培養學生的綜合應用能力，引導學生多角度進行思考，從而調動學生學習的積極性，鍛煉思維的靈活性，培養創新意識與發散性思維.

編輯/王一鳴

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