數列極限與函數極限的異同及其本質原因

何天榮

摘 要： 極限理論是數學分析課程的理論依據，就因為引入極限思想，微積分才有了理論根基，從而可以解決很多初等數學不能解決的實際問題.極限理論貫穿于數學分析課程的始終.因此，教學中讓學生深刻理解極限理論對學好整門課程起到至關重要的作用.作者就自己多年教授數學分析課程的經驗，談談數列極限與函數極限的聯系與本質區別.

關鍵詞： 極限 數列極限 函數極限

1.關于數列極限

1.1數列

初等數學中對數列這樣定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列.數學分教材[1]關于數列的定義：若函數f的定義域是全體正整數集N，則稱f：N→R或f（n），n∈N為數列.正因為正整數集的元素可按從小到大的順序排列，所以數列f（n）也可寫作a，a，…a…，或簡單地記作{a}，其中a是該數列的通項.看得出來，數列就是一正整數集為定義域的函數，即所有數列的定義域都是正整數集.

1.2數列的極限的定義

定義1設{a}為數列，a為定數.若對任給的正數？蘚，總存在正整數N，使得當n>N時，有|a-a|<？蘚，則稱數列{a}收斂于a，定數a為數列{a}的極限，并記作a=a.

2.關于函數極限

2.1x→∞時函數極限

定義2設f為定義[a，+∞）在上的函數，A為定數，若對任給的正數？蘚，存在正數M（≥a），使得當x>M時有|f（x）-A|<？蘚，則稱函數當x→+∞時以A為極限，記作f（x）=A.

現設f為定義在U（-∞）或U（∞）上的函數，當x→-∞或x→∞時，若函數值無限地接近某定數A，則稱f當x→-∞或x→∞時以A為極限，f（x）=A或f（x）=A.

2.2x→x時函數極限

定義3（函數極限的？蘚-δ定義）設函數f在點x的某個空心鄰域U（x；δ′）內有定義，A為定數，若對任給的正數ε，存在正數δ（<δ′），使得當0<|x-x|<δ時有|f（x）-A|<0ε，則稱函數f當x→x時以A為極限，記作f（x）=A.

類似可定義f（x）=A及f（x）=A.

3.數列極限與函數極限的異同及根本原因

從以上定義可以看出，數列極限與函數極限有相同點也有不同點，研究二者的方法大同小異，相同點是數列極限與函數極限中當x→+∞時的類型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同點在于，數列極限只有一種類型，就是n→∞時的極限；而函數極限細分有六種類型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的極限，分類的標準是根據的趨向的不同來分類.

二者的相同點源自二者都是函數，數列可以認為是特殊情況的函數，任何一個不同的數列都以正整數集為定義域；而通常意義下的函數在數學分析課程中是定義在實數范圍的，其定義域可以是實數集也可以是實數集的某個子集.

正因為將二者同看成函數的情況下，由于二者的定義域范圍不同，導致二者極限類型的不同.數列的定義域是正整數集，那自變量的取值為1、2、3……，自變量的最小取1，因此不可能趨向于-∞，又因為數列各項必須取整數，所以它不可能趨近于某個定數，自變量n只可能有一種趨向于+∞；而通常意義下的函數是在實數范圍內的討論，因此，自變量x既可以趨近于+∞，又可以趨近于-∞；如果自變量x同時趨近于+∞和-∞時函數極限存在，則稱x→∞時函數極限存在.同理，因為實數集的稠密性，自變量x會趨近于某個定數x，根據自變量x趨近于x的方向不同又可以分為x點處的左極限和右極限，于是某定點處有三種類型x→x；x→x；x→x函數極限.

綜上，數列是特殊的函數，正因為數列作為函數的特殊性，使數列極限相對簡單并且具有相對理想的性質，收斂數列的所有性質都具有整體性；而收斂函數的所有性質都只能滿足局部性質.導致二者性質差別的真正原因也在于二者作為函數定義域的范圍不同.筆者認為，還要真正學透極限，一定要從本質上研究導致他們不同的原因，相同的理論完全可以通過類比的方式學習，而學習的重點應該放在二者的不同上，弄懂有什么不同，為什么不同，只有懂得了“為什么”，才能真正學懂相應知識.

參考文獻：

[1]華東師大數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.