區間二型模糊PI/PD控制器設計與結構分析

雷賓賓，　保宏，　許謙

(1.西安電子科技大學 電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西 西安 710071；2.中國科學院 新疆天文臺，新疆 烏魯木齊 830011)

?

區間二型模糊PI/PD控制器設計與結構分析

雷賓賓1，保宏1，許謙2

(1.西安電子科技大學 電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西 西安 710071；2.中國科學院 新疆天文臺，新疆 烏魯木齊 830011)

摘要:針對模糊控制器內部工作機理未知的問題，提出一種區間二型(IT2)模糊PI/PD控制器，并推導了該IT2模糊控制器的解析結構。該模糊控制器采用Mamdani型規則形式，為每個輸入變量僅分配兩個IT2模糊集合，具有規則數量少、規則不確定性影響小、控制輸出平滑等優點。根據IT2模糊控制器的降型特點，將整個輸入空間劃分為15個分區，進而推導出在每個分區上控制輸出的數學表達式，證明出該IT2模糊控制器等效為具有變增益的非線性比例積分(PI)或比例微分(PD)控制器。最后，在仿真和實驗中與相對應的一型模糊控制器和傳統PI控制器的控制效果進行對比，驗證了該IT2模糊PI/PD控制器的有效性。

關鍵詞:模糊控制；區間二型模糊集合；結構分析；變增益控制；非線性PID控制

0引言

在處理實際中的模糊規則不確定時，一型(T1)模糊控制器受到精確隸屬度函數的限制。為克服這個局限，學者們提出了區間二型(IT2)模糊控制器。IT2模糊集合隸屬度函數的“三維”特性和“寬帶”效應，使得IT2模糊控制器在減少規則數量、平滑控制輸出和優化控制響應性能等方面具有獨特的優勢[1-4]。近年來，IT2模糊控制器已經成為一個研究熱點。

線性PID控制已經在工業過程中獲得廣泛地應用。然而由于線性PID控制在高度非線性、時變或大延時等復雜控制問題上表現的并不理想，學者們提出了非線性PID控制[5-7]。自上世紀80年代以來， T1模糊PID控制器一直受到學者們的關注并證明出是一種具有變增益的非線性PID控制[8-9]。隨著IT2模糊控制的提出，考慮到它在處理系統不確定性方面的優勢，文獻[10]進而提出了一個IT2模糊PI/PD控制器，并通過數學推導證明該IT2模糊控制器等效為具有變增益的非線性PI/PD控制器。但是文獻[10]提出的IT2模糊PI/PD控制器的上界隸屬度函數(UMF)和下界隸屬度函數(LMF)均為線性，這很大程度上限制了該模糊控制器在復雜控制問題上的表現。于是在文獻[10]的基礎上，文獻[11]在設計IT2模糊PI/PD控制器時減少了對輸入數量、模糊集合數量、模糊集合形狀以及模糊規則后件等方面的約束條件，并證明出如果一個IT2模糊控制器的輸入IT2模糊集合的UMF和LMF是分段線性或線性的，那么這個IT2模糊控制器可以等效為一個具有變增益的非線性PI/PD控制器同時附加一個隨輸入變化的余項。但是，之前的這些研究大都是針對具有線性或分段線性UMF和LMF的IT2模糊PI/PD控制器的設計和結構分析[10-12]，關于具有非線性UMF和LMF的IT2模糊PI/PD控制器的設計和結構分析方面的研究卻很少涉及。

為此，本文提出了一個UMF和LMF均為非線性的IT2模糊PI/PD控制器。首先，該IT2模糊PI/PD控制器的設計采用Mamdani型規則形式，對稱的規則后件，扎德與(AND)算子，Karnik-Mendel(KM)降型方法和重心解模糊法。其次，通過將該模糊控制器的輸入空間劃分為15個分區進行結構分析證明出它等效為具有變增益的非線性PI/PD控制器。最后，通過耦合水槽仿真算例[13]和工業機電整合驅動裝置(IMDU)的正弦跟蹤實驗驗證了該IT2模糊PI/PD控制器的有效性。

1IT2模糊控制器的配置

圖1表示一個兩輸入單輸出的IT2 模糊系統的結構圖，圖中IT2 模糊控制器的輸入為

E(n)=Kee(n)=Ke(ref(n)-y(n)),

(1)

R(n)=Krr(n)=Kr(e(n)-e(n-1))。

(2)

其中：E(n)表示系統誤差，簡寫為E；R(n)表示誤差的變化速度，簡寫為R；y(n)是閉環系統的輸出；ref(n)是參考信號；Ke和Kr是放縮參數。

IT2模糊控制器的輸出信號為驅動控制信號的變化量，即

Δu(n)=f(E,R)。

(3)

圖1　IT2模糊控制系統結構圖Fig.1　Structure diagram of IT2 fuzzy control system

(4)

(5)

其中：x表示輸入變量E或R，θi為設計參數，i=1,2。

輸入變量E的UMF和LMF的表達式為

(6)

輸入變量R的UMF和LMF的表達式為

(7)

其中θ1和θ2為設計參數。

圖2　輸入變量E和R的模糊集合示意圖Fig.2　Set diagram of fuzzy input variables

從圖2中可以看出，選取的這種UMF和LMF均為非線性的IT2模糊集合的隸屬度在系統誤差E和系統誤差的變化速度R在零點附近時表現敏感，而當E和R遠離零點時IT2模糊集合的隸屬度趨于飽和。這樣的IT2模糊集合能夠使得模糊控制器在理想位置附近的控制更加精細，有利于提高系統的控制精度。同時，UMF與LMF共同決定了IT2模糊集合的不確定跡的大小，因此，輸入變量的模糊集合的不確定跡可以通過設計參數θ1和θ2來進行調節，而IT2模糊集合的不確定跡的大小，又直接影響著控制系統性能的優劣。

對于利用圖2的IT2模糊集合對輸入空間模糊化的模糊系統，通用的規則如下：

1)規則1：如果E(n)是正且R(n)是正，則Δu(n)為H1。

2)規則2：如果E(n)是正且R(n)是負，則Δu(n)為H2。

3)規則3：如果E(n)是負且R(n)是正，則Δu(n)為H3.

4)規則4：如果E(n)是負且R(n)是負，則Δu(n)為H4.

其中H1，H2，H3和H4是四個單點后件模糊集合。

采用扎德AND運算符，則上述每條規則的激活強度集合如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

IT2模糊控制器利用KM降型方法。IT2模糊集合可以看作是許多嵌入的T1模糊集合的并集，因此IT2模糊集合的降型集合由所有嵌入的T1模糊集合的重心組成，則IT2模糊集合的降型集合就可以表示為Ycos=[yl,yr]。任一個嵌入的T1模糊集合的重心為

(12)

(13)

為了簡化IT2模糊控制器的解析結構的推導過程，做出以下兩點假設：

1)規則后件是對稱的，即H2=H3；

2)假定H4

2IT2模糊控制器的結構分析

2.1輸入空間的分區

在上一章中假定四條規則的后件為H4

(14)

(15)

那么，用于確定轉換點L和R的不等式表示：

HL≤yl

(16)

HR≤yr

(17)

由于轉換點L和R必須滿足上述不等式，因此L和R只能有兩個可能值，即HL={H4,H3=H2}且HR={H4,H3=H2}。文中以降型集合左端點的計算為例，分為以下兩種情形：

1)情形1。當H4≤yl≤H3=H2，即轉換點L=4：

(18)

2)情形2。當H3=H2≤yl≤H1，即轉換點L=2：

(19)

通過對比情形1和情形2中對應左端點的計算結果，可以得出如下特點：

1)規則1和規則4的規則后件對應的規則權重始終沒有發生改變，即H1和H4對應的規則權重與開關點的位置無關。

2)在情形1中，H2=H3對應的規則激活強度為各自激活強度集合的下界，而在情形2中，H2=H3對應的規則激活強度為各自激活強度集合的上界，這說明了在開關點位置從H2=H3到H1的轉換過程中，規則2和規則3的激活強度發生了改變，反之亦然，因此，假設有如下等式成立：

yl=yl1=yl2=H2=H3。

(20)

將式(16)及式(17)代入，可以得到：

H2=H3?

(21)

由于規則后件之間間隔相等，得

(22)

因此，情形1時應滿足條件：

(23)

情形2時應滿足條件：

(24)

下面以θ1>θ2的情況為例，通過以下步驟對輸入空間分區：

圖3　根據1的取值對輸入空間的分區Fig.3　Partition by the value of1

圖4　根據4的取值對輸入空間的分區Fig.4　Partition by the value of4

圖5　計算yl的情形劃分示意圖Fig.5　　　　Boundary (dash line) that divides the input　　　 space into two operating modes in yl

3)在不同的情形區域下，根據規則2和規則3對應激活強度的扎德AND運算結果對輸入空間進行分區。

a)在情形1區域內，規則2和規則3的規則激活強度分別為各自規則激活強度集合的下界，即：

b)在情形2子區域內，規則2和規則3的規則激活強度分別為各自規則激活強度集合的上界，即：

圖6　根據2和2的取值對輸入空間的分區Fig.6　Partition of the input space by rule2

圖7　根據3和3的取值對輸入空間的分區Fig.7　Partition of the input space by rule 2

4)最后在考慮情形轉換的前提下，在輸入空間上疊加上述所有的分區，得到計算降型集合左端點時對輸入空間的最終分區結果，如圖8所示。類似地，在對yr計算表達式進行推導，采取上述相似的算法步驟，得到計算降型集合右端點時對輸入空間的分區結果，如圖9所示。最后疊加圖8和圖9，則得到IT2模糊PI控制器在輸入空間上完整的分區結果，如圖10所示。

圖8　計算yl時對輸入空間的分區Fig.8　Partition of the input space by the left endpoint yl

圖9　計算yr時，對輸入空間進行的分區Fig.9　　　　Partition of the input space by the right　　　endpoint yr

圖10　　　　當θ1>θ2時，IT2模糊PI控制器最終　　　分區結果Fig.10　Partition of the input space

2.2每個分區上IT2模糊控制器輸入輸出表達式的推導

在這一節中，將式(14)和式(15)中的規則激活強度替換為各自對應的具體表達式，進而推導該IT2 模糊控制器在每個分區上的輸入輸出數學關系表達式。下面以IC1區為例詳細介紹IT2 模糊控制器的解析結構的推導過程。

1)IC1區。將式中的規則激活強度替換為相對應的關于模糊輸入變量的函數表達式，從而得到：

(25)

下面，將eE+R進行麥克勞林展開:

(26)

為便于IT2模糊PI控制器的增量輸出表達式的推導，首先作如下假定：

P1=eθ1,P2=e-θ1,P3=eθ2,P4=e-θ2。

(27)

(28)

通過上述假設可以得到：

(29)

同理，對yr進行相似的推導過程，從而得到IC1子區域內降型集合右端點的表達式：

(30)

最后，IC1分區上IT2模糊PI控制器的增量輸出表達式：

(31)

其他分區上IT2模糊PI控制器的增量輸出表達式的推導過程與IC1區相似。為便于每個分區上IT2模糊PI控制器的增量輸出的表達，首先對每個分區統一作如下假定：

P1=eθ1,P2=e-θ1,P3=eθ2,P4=e-θ2,

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

那么，在上述假設的基礎上可以得到其余所有子區域內的IT2模糊PI控制器的增量輸出表達式。

2)IC2區。

(39)

3)IC3區。

(40)

4)IC4區。

(41)

5)IC5區。

(42)

6)IC6區。

(43)

7)IC7區。

(44)

8)IC8區。

(45)

9)IC9區。

(46)

10)IC10區。

(47)

11)IC11區。

(48)

12)IC12區。

(49)

13)IC13區。

(50)

14)IC14區。

(51)

15)IC15區。

(52)

通過對比IT2 模糊控制器在每個分區上推導得到的輸入輸出數學關系表達式和傳統PID控制器的增量表達形式，可以證明得到文中提及的IT2 模糊控制器等效為一個非線性變增益的PI控制器。同理，如果圖 1的IT2 模糊控制器的輸出信號直接為控制信號，則根據PID控制器的位置表達形式可以得到文中提及的IT2 模糊控制器等效為一個非線性變增益的PD控制器。因此，所提出的IT2 模糊控制器等效為一個具有變增益的非線性PI或者PD控制器。

3仿真與實驗

3.1仿真

仿真對象是一個耦合水槽，如圖 11所示。對耦合水槽建模[13]如下：

(53)

圖11　耦合水槽模型示意Fig.11　Schematic diagram of the coupled tank model

分別利用PI控制器、IT2模糊控制器和相對應的T1 模糊控制器控制1號水槽的注水量，使得2號水槽液面達到期望高度。模型具體的參數取值如下：H1=H2=0，α1=α2=5.618 6，α3=10，Q2=0，目標液面高度取15 cm。則得到三種控制器的仿真結果如圖 12和圖 13，控制效果的各項指標見表格 1，表格中選取系統誤差絕對值與控制時間乘積的積分(ITAE)作為性能指標用于反映整體控制效果，如式(54)。ITAE指標值越大，系統控制性能越惡劣。

(54)

其中T表示仿真截止時間。

圖12　三種控制器的階躍響應對比圖及局部放大圖Fig.12　Step responses of PI, T1 and IT2 controller

圖13　誤差和誤差變化速度軌跡Fig.13　Trajectory of error and rate

系統類型上升時間/s超調量/%調節時間/sITAEPI307.50961057946.4T1304.6289936747.6IT2302.4333735927.9

通過圖12和表1可以看出，與對應的T1模糊控制器和PI控制器相比較，IT2模糊控制器在保證不增加上升時間的情況下，明顯地減小了超調量和調節時間。從而說明本文提出的IT2模糊PI/PD控制器能夠有效地優化控制響應性能。

圖13繪制了誤差信號和誤差變化速度分別在PI控制器、T1模糊控制器和IT2模糊控制器控制下的變化軌跡。從圖中可以看到，在誤差接近零時IT2模糊控制器能夠使系統誤差獲得更快的收斂。

3.2實驗

IMDU是一臺工業機電整合驅動裝置，如圖14所示。該儀器既可以做基本的伺服系統，反向補償，摩擦力補償以及工業系統的高階系統的耦合。該裝置的方面上配有四個軸，其中的兩個是電機驅動，而另外兩個是自由旋轉.所有四個軸都裝有光學編碼器.電機是由具有100瓦功率的線性控制放大器所驅動。

圖14　IMDU實物圖Fig.14　Physical map of IMDU

在系統輸出添加均勻白噪聲，并對IMDU的一個驅動軸在負載狀態下進行角位置正弦跟蹤控制實驗，同時利用正弦跟蹤曲線的絕對誤差的積分(IAE)作為性能評判標準，對T1 模糊控制器和IT2 模糊控制器的控制性能進行比較，具體參數選取如下：Ke=200，Kr=0.5，H=25，θ1=0.25,θ2=0.4。負載狀態下，T1模糊系統和IT2模糊系統正弦跟蹤曲線和正弦跟蹤誤差曲線如圖15和圖15所示。

通過圖15和圖16可以看到，由于系統輸出添加的白噪聲，T1模糊系統在一個正弦周期內的跟蹤曲線的IAE達到3 381.4，然而IT2模糊系統在一個正弦周期內的跟蹤曲線的IAE僅為1 769.3，控制性能提高了47.7%，從而充分說明了本文提出的IT2模糊PI/PD控制器在處理系統擾動方面要勝過相應的T1模糊PI/PD控制器。

圖15　T1和IT2 模糊系統的正弦跟蹤曲線Fig.15　Sine tracking curve of T1 and IT2 fuzzy system

圖16　T1和IT2模糊系統的正弦跟蹤誤差曲線Fig.16　　　　Sine tracking error curve of T1 and IT2　　　fuzzy system

4結論

本文提出的IT2模糊PI/PD控制器主要有以下幾個特點：

1)該IT2模糊控制器僅產生四條模糊規則，模糊推理簡單，同時避免了對隸屬度函數的依賴性。

2)IT2模糊集合的“帶寬”特性能夠應對微分信號在實際應用中引起的內部干擾，因此該IT2 模糊PI/PD控制器在工業控制中具有廣闊的應用前景。

3)通過對輸入空間上15個分區的結構分析證明出該IT2模糊控制器等效于具有變增益的非線性PI/PD控制器。

參 考 文 獻:

[1]DU X，YING H. Control performance comparison between a type-2 fuzzy controller and a comparable conventional Mamdani fuzzy controller[C]//NAFIPS 2007-2007 Annual Meeting of the North American Fuzzy Information Processing Society, San Diego, CA, 2007:100-105.

[2]HAGRAS H. Type-2 FLCs: A new generation of fuzzy controllers[J].IEEE Computational Intelligence Magazine, 2007, 2(1): 30-43.

[3]MENDEL J M. Type-2 fuzzy sets and systems: an overview[J].IEEE Computational Intelligence Magazine, 2007, 2(1): 20-29.

[4]潘永平, 黃道平, 孫宗海. II型模糊控制綜述[J]. 控制理論與應用, 2011, 28(1):13-23.

PAN Yongping, HUANG Daoping,SUN Zonghai. Overview of type-2 fuzzy logic control[J], Control Theory and Applications, 2011, 28(1):13-23.

[5]HUANG H, HAN J Q. Nonlinear PID controller and its applications in power plants[C]//IEEE International Conference on Power System Technology, 2002, 3:1513-1517.

[6]JIANG F, GAO Z. An application of nonlinear PID control to a class of truck ABS problems[C]//IEEE Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, FL, 2001, 1:516-521.

[7]謝先平, 王旭東,吳曉剛,等. 自動離合器位置跟蹤神經元自適應PID控制[J]. 電機與控制學報, 2008, 12(5):555-560.

XIE Xianping, WANG Xudong, WU Xiaogang, et al. Neuron adaptive PID control for position tracking control of automatic cluth[J]. Electric Machines and Control, 2008, 12(5): 555-560.

[8]YING H, Siler W, Buckley J J. Fuzzy control theory: A nonlinear case[J], Automatica, 1990, 26: 513-520.

[9]李慶春, 沈德耀. 一種PID模糊控制器(fuzzy PI + fuzzy PD型)[J]. 控制與決策, 2009, 24(7):1037-1042.

LI Qingchun, SHEN Deyao. Brand-new PID fuzzy controller (fuzzy PI + fuzzy PD)[J]. Control and Decision, 2009, 24(7):1037-1042.

[10]DU X, YING H. Derivation and analysis of the analytical structures of the interval Type-2 fuzzy PI and PD controllers[J], IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2010, 18: 802-814.

[11]ZHOU H B, YING H. A method for deriving the analytical structure of a broad class of thpical interval type-2 mamdani fuzzy controllers[J], IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2014, 21(3): 447-458.

[12]NIE M W, TAN W W. Analytical Structure and Characteristics of Symmetric Karnik-Mendel Type-Reduced Interval Type-2 Fuzzy PI and PD Controllers[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2012, 20(3): 416-430.

[13]WU D, TAN W W. A simplified type-2 fuzzy controller for real-time control[J], ISA Trans., 2007, 45(4):503-516.

[14]Amin H A,YING H. Strucural analysis of fuzzy controllers with nonlinear input fuzzy sets in relation to nonlinear PID control with variable gains[J]. Automatica, 2004, 40:1551-1559.

(編輯：劉素菊)

Design and structural analysis of interval Type-2 fuzzy PI/PD controller

LEI Bin-bin1,BAO Hong1,XU Qian2

(1.Key Lab. of Electronic Equipment Structure Design, Ministry of Education, Xidian University, Xi’an 710071,China;2.Xinjiang Observatory, National Astromomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Urumqi 830011, China)

Abstract:Aiming at the problem of unknown internal working mechanism for the fuzzy controller, a class of interval type-2 (IT2) fuzzy PI/PD controller was proposed, and the analytical structure of this IT2 fuzzy controller was derived.Mamdani rule form was used in fuzzy controller and each input variable only has two IT2 fuzzy sets. The fuzzy controller has the advantages of fewer rules, smaller uncertainty effects of fuzzy rules and smoothing control output. The proposed IT2 fuzzy controller is proved to be equivalent to a nonlinear proportional integral (PI) or proportional differential (PD) controller with variable gains by dividing the input space into 15 partitions and calculating the mathematical expression of the control signal on each partition. Finally, the effectiveness of the IT2 fuzzy controller were verified by comparing the control effects with its type-1 fuzzy controller and traditional PI controller in the simulation and experiment.

Keywords:Fuzzy control; Interval type-2 fuzzy set; structural analysis; variable gain control; nonlinear PID control

收稿日期:2015-03-28

基金項目：新疆維吾爾自治區重點實驗室專項(2014KL012);973計劃項目(2015CB857100);上海航天科技創新基金(SAST201413);中央高校基本業務費(SPSY021401);國家自然科學基金(51490660；51305321)

作者簡介：雷賓賓(1992—)，男，博士研究生，研究方向為模糊控制、半實物仿真；

通訊作者:保宏

DOI:10.15938/j.emc.2016.06.007

中圖分類號:TP 273

文獻標志碼:A

文章編號:1007-449X(2016)06-0050-13

保宏(1971—)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為結構協同設計、精密控制等；

許謙(1981—)，男，高級工程師，研究方向為大口徑天線及系統。