基于熵權(quán)與混合代理模型的永磁驅(qū)動器的優(yōu)化設(shè)計

李召，　王大志，　時統(tǒng)宇，　鄭迪

(東北大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽，110004)

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基于熵權(quán)與混合代理模型的永磁驅(qū)動器的優(yōu)化設(shè)計

李召，王大志，時統(tǒng)宇，鄭迪

(東北大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽，110004)

摘要:針對永磁驅(qū)動器(PMD)的結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，提出一種基于改進熵權(quán)法結(jié)合混合代理模型的優(yōu)化設(shè)計方法。首先利用基于交叉驗證誤差的最優(yōu)加權(quán)法，將響應(yīng)曲面法、克里金法以及支持向量機回歸結(jié)合起來，構(gòu)建PMD的參數(shù)變量與響應(yīng)變量之間的混合代理模型；然后引入改進的熵權(quán)法，將PMD的多指標轉(zhuǎn)化為單一綜合指標，并建立其優(yōu)化的數(shù)學模型，通過自適應(yīng)權(quán)重粒子群優(yōu)化算法求解；最后對結(jié)果進行有限元仿真分析和實驗室仿真平臺驗證。研究結(jié)果表明，所提出的優(yōu)化設(shè)計方法優(yōu)于其它方法，得到的PMD結(jié)構(gòu)參數(shù)合理有效，較好的實現(xiàn)了PMD的多目標優(yōu)化設(shè)計。

關(guān)鍵詞:永磁驅(qū)動器；混合代理模型；熵權(quán)法；最優(yōu)加權(quán)法；自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法

0引言

永磁驅(qū)動器(permanent magnet drive,PMD)作為一種新興的節(jié)能調(diào)速設(shè)備,利用永磁材料所產(chǎn)生的磁力作用，實現(xiàn)了運動和轉(zhuǎn)矩無接觸傳遞,且具有維護方便、減小振動傳遞、無諧波污染和容忍對中誤差等優(yōu)點，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于風機、壓縮機以及泵類等相關(guān)傳動系統(tǒng)中[1]。當前，國內(nèi)外學者對PMD的研究主要集中在運用解析法和數(shù)值法對其電磁場進行建模、計算以及性能分析等方面，并且取得了大量的研究成果[2-5]。對PMD結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化方面研究卻不多，如文獻[6]、文獻[7]和文獻[8]側(cè)重于討論不同優(yōu)化方法針對PMD的單一性能的優(yōu)化效果，在這些文獻中性能指標都是通過解析法獲得，計算過程復(fù)雜且不準確。代理模型理論的出現(xiàn)解決了上述問題，且被認為是解決復(fù)雜工程設(shè)計優(yōu)化問題的有效途徑[9]。目前，已經(jīng)有研究者嘗試將單一代理模型引入到PMD的設(shè)計中，如文獻[10]和文獻[11]分別引入響應(yīng)曲面(response surface method,RSM)和支持向量機(support vector machine regression,SVR)對PMD的偏心磁極結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計。

文中以盤式PMD為研究對象，著重關(guān)注其主體結(jié)構(gòu)的參數(shù)，提出采用基于交叉驗證誤差的最優(yōu)加權(quán)法構(gòu)建其混合代理模型，將RSM、Kriging和SVR方法結(jié)合起來，按照交叉驗證誤差平方和最小的原則進行權(quán)值計算，求得最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，建立了PMD最優(yōu)加權(quán)組合模型，即優(yōu)化設(shè)計的指標函數(shù)；同時，引入了一種改進的熵權(quán)法，將重量和渦流損耗指標轉(zhuǎn)化為單一的綜合指標，并利用粒子群優(yōu)化方法求取最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)。通過ANSYS仿真分析和測試平臺驗證，表明文中提出的基于熵權(quán)與混合代理模型的方法較好的實現(xiàn)了PMD的優(yōu)化設(shè)計目標。

1混合代理模型理論

單個代理模型預(yù)測能力的差異性給工程人員的選取帶來了一定的風險與挑戰(zhàn)，而基于多個代理模型構(gòu)造混合代理模型的方法可以降低這些風險，同時提高模型的精確度，將其表示為

(1)

式中：yh為混合代理模型的響應(yīng)預(yù)測值，m是單個代理模型的個數(shù)，μi和yi分別為第i個模型的權(quán)系數(shù)和響應(yīng)預(yù)測值，設(shè)計變量x為矢量，式中權(quán)重系數(shù)之和等于1。因此，單個模型的選取以及權(quán)重系數(shù)的計算是影響混合代理模型性能的重要因素。

1.1單個代理模型的選取

混合代理模型中單個模型的選取應(yīng)當滿足互補原則，由于多項式響應(yīng)面模型適用于低維數(shù)據(jù)，Kriging模型適用于高維數(shù)據(jù)，而SVR適用于小樣本數(shù)據(jù)，因此，將這3種單代理模型結(jié)合起來充分的利用它們各自的優(yōu)勢來構(gòu)造混合代理模型。

1)多項式響應(yīng)面模型。多項式響應(yīng)面是目前廣泛應(yīng)用的一種代理模型,在工程中已經(jīng)使用30多年。選擇常用的具有較高準確性的二階多項式響應(yīng)面模型，則n個設(shè)計變量的二階多項式響應(yīng)面模型可表示為[12]

(2)

式中：Y為響應(yīng)變量；β為回歸系數(shù)，其元素個數(shù)為(n+1)(n+2)/2；ξ為一隨機誤差向量。

2)Kriging模型。Kriging模型采用了插值方法，它擬合的曲面通過所有的樣本點，是一種估計方差最小的無偏估計模型，其響應(yīng)預(yù)測值可以表示為[13]

(3)

(4)

β=(ITM-1I)-1(ITM-1I)。

(5)

式中：M為相關(guān)系數(shù)矩陣，θk(θk≥0)為相關(guān)系數(shù)待估參數(shù)向量θ的第k個元素，r(X)為n×1相關(guān)系數(shù)向量，且ri(X)=R(X,Xi),i=1,…,m。

3)SVR模型。SVR是支持向量機在回歸領(lǐng)域的應(yīng)用，是基于小樣本統(tǒng)計學習理論的一種通用機器學習方法。采用分類近似支持向量回歸機模型，如下所示[14]：

(6)

(7)

式中：αi為拉格朗日系數(shù)，b為值域，m為樣本個數(shù)，zi為類別標簽，取值為+1或者-1，ε為容許誤差。核函數(shù)選擇徑向核函數(shù)(RBF)，如式(7)所示，核函數(shù)相關(guān)參數(shù)的確定和容量誤差的選擇采用交叉驗證法。

1.2權(quán)重系數(shù)計算

權(quán)重系數(shù)μi是構(gòu)造混合代理模型的關(guān)鍵，提出了一種基于交叉驗證誤差的最優(yōu)加權(quán)法，該方法不需要額外的樣本信息，整個計算過程可以通過求解二次規(guī)劃的最優(yōu)問題得到[15]：

采用LOO(Leave one out)法計算第i個代理模型在樣本j的預(yù)測誤差為

(8)

對應(yīng)的誤差矩陣為

E=[(eij)m×l][(eij)m×l]T。

(9)

得到混合代理模型的預(yù)測誤差及其平方和分別為

(10)

(11)

以交叉驗證誤差平方和最小為準則，通過求解下面的模型來選擇混合權(quán)值，可以表示為

(12)

引入拉格朗日乘子，求解二次規(guī)劃問題，得到

(13)

2熵值權(quán)重法理論

對PMD的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行多目標優(yōu)化設(shè)計前，需要確定產(chǎn)品的綜合評價指標，即將多指標轉(zhuǎn)化為單一的綜合指標，在這個過程中，權(quán)重系數(shù)的確定是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，直接影響最終結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理性和準確性。引入了一種改進的熵值權(quán)重法確定客觀權(quán)重，該方法修正了傳統(tǒng)熵權(quán)法在所有熵值都趨近于1時熵權(quán)與熵值傳遞的信息不一致的問題[16]，步驟如下：

1)構(gòu)造指標初始矩陣A。設(shè)有k個評價指標和l個樣本，則指標初始矩陣為

(14)

2)初始矩陣的標準化。為消除各指標量綱、數(shù)量級不同對評價結(jié)果的影響，對初始指標矩陣標準化處理，得到矩陣B。

3)計算指標信息熵值和信息效用值。第j項指標的信息熵和信息效用值分別如式(15)和式(16)所示。

(15)

dj=1-ej，

(16)

(17)

(18)

(19)

3永磁驅(qū)動器熵權(quán)與混合代理模型的建立

單組盤式結(jié)構(gòu)的PMD如圖1所示，主要包括導(dǎo)體轉(zhuǎn)子、永磁轉(zhuǎn)子以及絲杠調(diào)節(jié)裝置，各部分具體功能以及工作原理，可以參考相關(guān)文獻[17]，在此不再贅述。結(jié)合眾多文獻關(guān)于PMD結(jié)構(gòu)參數(shù)對其性能影響的闡述，選擇PMD的主體結(jié)構(gòu)參數(shù)(永磁體長x1、永磁體寬x2、永磁體高x3，銅盤厚度x4)為設(shè)計參數(shù)，輸出轉(zhuǎn)矩、渦流損耗和重量為優(yōu)化設(shè)計的指標。利用熵權(quán)與混合代理模型法對PMD結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計可以歸納為如下過程：

圖1　單組盤式結(jié)構(gòu)的示意圖Fig.1　Schematic of single group disk structure

1)建立PMD的主體有限元模型。采用ANSYS軟件建立PMD的三維有限元模型[17]，如圖2所示。為求接近設(shè)備運行的實際情況，設(shè)定原動機為三相異步電動機，其額定功率為15 Kw，額定轉(zhuǎn)速為1 455 r/min，表1為模型固定不變的模型參數(shù)。

圖2　PMD的三維有限元仿真模型Fig.2　3D finite element simulation model of PMD

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值導(dǎo)體材料(黃銅)H62永磁材料(釹鐵硼)N38H永磁體數(shù)量18氣隙長度/mm5永磁體矯頑力(A/n)87500鋼盤內(nèi)徑/mm90鋼盤外徑/mm140銅電阻率/(ohm/m)7.1E-08永磁體相對磁導(dǎo)率1.05鋼盤厚度/mm10

2)獲取樣本數(shù)據(jù)。正交試驗設(shè)計法是一種在工程中被廣泛應(yīng)用的獲取樣本點的實驗方法，該方法獲得的數(shù)據(jù)分布均勻，結(jié)論可靠，因此引入該方法選取50組實驗數(shù)據(jù)進行后續(xù)代理模型的建立，表2是實驗中采用的因素-水平表。

表2　結(jié)構(gòu)因素水平表

3)建立混合代理模型。根據(jù)前述代理模型理論，分別建立PMD輸出轉(zhuǎn)矩y1、渦流損耗y2和重量y3關(guān)于優(yōu)化設(shè)計參數(shù)的三種代理模型及其混合代理模型。通過最優(yōu)加權(quán)法得到混合權(quán)重系數(shù)為

W=(w1,w2,w3)T=

(0.2822,0.4475,0.2703)T。

(20)

利用均方根誤差(RMSE)作為代理模型的一個誤差分析指標，其計算公式如式(21)所示。

(21)

如表3所示為RSM模型、Kriging模型、SVR模型以及混合代理模型關(guān)于PMD的輸出轉(zhuǎn)矩、渦流損耗以及重量的統(tǒng)計誤差RMSE。由表3可以看出，混合代理模型對指標函數(shù)的擬合精度要高于單一代理模型，因此，用來構(gòu)造PMD優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型更有優(yōu)勢。

表3不同方法的統(tǒng)計參數(shù)比較

Table 3Statistical parameters(RMSE)of different

models

響應(yīng)量RSMKrigingSVRHybrid輸出轉(zhuǎn)矩1.245381.055191.187210.65346渦流損耗1.078650.975861.144170.57421重量0.653160.745380.639910.45355

4)計算PMD設(shè)計的綜合指標。根據(jù)前述改進的熵值權(quán)重理論方法得到綜合指標的權(quán)重系數(shù)值，最終得到如下式所示的綜合指標函數(shù)

f(x)=δ1f2(x)+δ2f3(x)=0.643f2(x)+0.357f3(x)。

(22)

5)建立優(yōu)化設(shè)計的最終數(shù)學模型。構(gòu)建精確完備的約束條件是建立優(yōu)化對象數(shù)學模型的關(guān)鍵因素，PMD的約束條件主要有結(jié)構(gòu)約束，如式(24)所示以及性能約束[8]，如式(25)所示。則整個PMD數(shù)學模型可以描述為：

miny=f(x)，

(23)

(24)

(25)

式(24)是PMD的結(jié)構(gòu)約束條件，根據(jù)實際的工程需得到。式(25)的第一個式子表示優(yōu)化之后PMD的啟動轉(zhuǎn)矩要大于標準模型的啟動轉(zhuǎn)矩，Tsmin表示待設(shè)計PMD的啟動轉(zhuǎn)矩，假定該值為25 N·m，第二個式子表示優(yōu)化設(shè)計的PMD的輸出最大轉(zhuǎn)矩要大于給定的最大轉(zhuǎn)矩Tmax，假定該值為90.15 N·m,誤差范圍在1%左右認為合理，否則認為設(shè)計失敗。

6)選用合適的優(yōu)化方法進行優(yōu)化計算。利用自適應(yīng)權(quán)重PSO算法[10]對步驟5)中得到的數(shù)學模型進行求解。該算法的優(yōu)點在于：無論在搜索初期還是后期都具有較好的局部和全局搜索能力，同時由于加速因子隨迭代次數(shù)變化，會加快粒子在搜索后期的收斂速度。算法當中加速因子的基數(shù)α0=0.5，慣性權(quán)重的常數(shù)ω0=0.5，最大迭代次數(shù)kmax=100，種群規(guī)模N=50。

4仿真分析與驗證

根據(jù)文獻[10]和文獻[11]中的PMD多目標優(yōu)化設(shè)計方法，得到不同的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果,與文中方法得出的結(jié)果作對比，如表4所示。

表4　不同方法得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)比較

由表4可以看出，此方法得到的PMD性能指標較其它兩種方法都得到了提高，而且經(jīng)過計算可知，與其它方法的最優(yōu)指標相比，此方法使得PMD的渦流損耗降低約5%，同時輸出轉(zhuǎn)矩提高了約6%且PMD的重量降低了約10%，因此，很顯然優(yōu)化設(shè)計效果要好于其它兩種方法。

使用三維有限元仿真軟件ANSYS仿真，得到3種結(jié)構(gòu)參數(shù)下PMD的性能擬合曲線，如圖3所示。從圖中可以看出，3種方法均滿足前述性能約束條件。相比較而言，此方法對PMD的性能最好，使得PMD在減少重量的情況下(意味著減少了材料使用)，提高了最大輸出轉(zhuǎn)矩，同時啟動轉(zhuǎn)矩幾乎沒有受到影響。

銅盤的渦流特性在PMD中特別重要，一是因為扭矩的傳遞需要銅盤的渦流產(chǎn)生磁場，二是PMD的損耗主要以渦流產(chǎn)生熱量的形式從銅盤上釋放出來。圖5所示為此設(shè)計的PMD中銅盤表面渦流密度的矢量圖，可以看出，渦流分布是較為均勻合理，主要集中在銅盤表面(面對永磁體側(cè))的薄層中，集膚效應(yīng)明顯且渦流在銅盤表面形成了18個回路，這樣有利于減少損耗。

圖3　優(yōu)化之后PMD的性能Fig.3　Performance of optimized PMD

圖4　銅盤表面渦流密度的矢量圖Fig.4　　　　Vector diagram of eddy current density　　　 on copper disk surface

如果結(jié)構(gòu)設(shè)計不合理，運行時PMD的永磁體會逐漸發(fā)熱升溫，使其性能降低，因此有必要分析PMD的熱量分布情況，如圖6所示為此設(shè)計的PMD銅盤表面熱量分布的等值圖。可以看出，熱量分布與渦流分布的規(guī)律類似，熱量主要分布在銅盤表面薄層中并且沿軸向由內(nèi)至外逐漸減小；熱量與渦流回路相對應(yīng)，主要集中在相鄰回路的徑向路徑上，這樣有利于散熱。

動態(tài)時磁路中除了永磁場外，還存在渦流感應(yīng)磁場，如圖6所示為此設(shè)計的PMD在動態(tài)時的磁通密度矢量圖，可以看出，磁通從永磁體的N極出發(fā)，經(jīng)氣隙、銅盤表面的感應(yīng)磁場，到達相鄰永磁體的S極，最后通過永磁體的背襯鋼盤構(gòu)成閉合的主磁路；與靜態(tài)時相比，使得PMD的磁通密度得到了大幅度的提高，有利于產(chǎn)生更高的傳動轉(zhuǎn)矩。

圖5　銅盤表面熱量分布的等值圖Fig.5　　　　Contour diagram of heat distribution　　　 on copper disk surface

圖6　動態(tài)時PMD的磁通密度矢量圖Fig.6　　　　Vector diagram of dynamic magnetic flux density　　　 on adjustable permanent magnetic coupler

圖7　PMD樣機示意圖Fig.7　Schematic of PMD model machine

圖8　PMD實驗平臺的結(jié)構(gòu)圖Fig.8　Structure of PMD test bench

為了進一步驗證文中所設(shè)計PMD的真實性能狀況，按照上面得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)制造了如圖7所示的簡易樣機，同時，按照圖8所示的結(jié)構(gòu)搭建PMD實驗室仿真平臺。通過實驗，測得該PMD的啟動轉(zhuǎn)矩為26.8 N·m，最大輸出轉(zhuǎn)矩近似為107.5 N·m，這滿足了式(25)的性能約束條件，與ANSYS仿真的結(jié)果基本吻合，表明此方法是可行的。

5結(jié)論

針對永磁驅(qū)動器的結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，文中提出了一種基于熵權(quán)與混合代理模型的優(yōu)化設(shè)計方法。該方法的優(yōu)點在于：基于混合代理模型理論建立了有關(guān)PMD渦流損耗、重量以及輸出轉(zhuǎn)矩的回歸模型，且精確度要高于單一的RSM、Kriging以及SVR模型，避免了用復(fù)雜的解析法求取優(yōu)化設(shè)計的指標函數(shù)；通過引入改進的熵權(quán)法，將多指標轉(zhuǎn)化為單指標，建立了基于PMD綜合指標函數(shù)的數(shù)學模型，使其優(yōu)化求解更加方便準確。仿真分析結(jié)果表明：該方法得到的PMD結(jié)構(gòu)參數(shù)可靠有效，與其它方法相比，優(yōu)化設(shè)計效果有了明顯改善，為PMD的優(yōu)化設(shè)計提供了一種可行的方法。

參 考 文 獻:

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(編輯：賈志超)

Optimization design for permanent magnet drive based on entropy-weight and hybrid surrogate model

LI Zhao，WANG Da-zhi，SHI Tong-yu，ZHENG Di

(School of Information Science & Engineering， Northeastern University， Shenyang 110004， China)

Abstract:Permanent magnet drive (PMD) design problems were studied and an optimization design approach based on hybrid surrogate model and improved entropy-weight was put forward.Firstly by combining the response surface method (RSM),Kriging method and support vector machine regression (SVR),a hybrid surrogate model of optimizing parameters and response variables was built,in which the optimal weighting method based on cross validation error is used; Secondly the improved entropy-weight was introduced to transform the multi-indexes of PMD into a single composite one,and the mathematical model was built,which was solved by adaptive weight particle swarm optimization particle swarm optimization(AWPSO); Finally the parameters results were analyzed with finite element method and experimental validation.The results show that the proposed method is superior to other methods,and the structural parameters are reasonable and effective.And the expected results are derived.

Keywords:permanent magnet drive; hybrid surrogate model; entropy-weight method ; optimal weighting method ; adaptive weight particle swarm optimization particle swarm optimization

收稿日期：2015-01-31

基金項目：國家自然科學基金(61433004)；中國高校基本科研業(yè)務(wù)費(N150403005，L1504011)

作者簡介：李召(1987—)，男，博士研究生，研究方向為永磁驅(qū)動器的建模和優(yōu)化設(shè)計； 王大志(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電力系統(tǒng)與電力傳動； 時統(tǒng)宇(1988—)，男，博士研究生，研究方向為永磁驅(qū)動器的建模及設(shè)計；

通訊作者:李召

DOI:10.15938/j.emc.2016.06.013

中圖分類號:TH 133

文獻標志碼:A

文章編號:1007-449X(2016)06-0102-07

鄭迪(1988—)，女，碩士研究生，研究方向為永磁驅(qū)動器的建模及設(shè)計。