談高考解題中幾種常見的數學思想

蘭鵬

摘要：高考數學教學大綱中明確指出，數學知識中的數學思想和方法的測試是對數學一個更高的水平測試的抽象和概括。在近幾年的高考試題中不難發現，每年的數學試題主要內容就是對函數和方程、數形結合、分類討論等數學思想的考查。對此，本文圍繞近幾年的高考試題進行研究，對高考解題中常見的幾種數學思想進行分析和探討。

關鍵詞：高考解題；數學思想；分類討論

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0157-01

將生活當中的現象通過科學的、邏輯的、客觀的以及可重復的方法描述各種生活現象的語言就是數學。用數學語言描述生活具體事物的想法就叫做數學思想，數學語言雖然抽象，但卻簡練。因此，在高考數學考試時，結合數學知識，通過測試的考生反映的數學知識，從學生對數學思想價值觀念的理解和整體意義出發，對數學思想和方法進行理解和掌握，注重轉換方法，淡化其他的一些特殊技巧，可以科學的檢測出學生對高中數學知識當中所蘊含數學思想以及方法的掌握情況。

1.函數與方程

函數是指在一個變化的過程當中，假如有兩個變量x、y，如果給定一個x值都有唯一的一個y與其相對應，那么就稱這個y是這個x的函數。函數思想就是利用變化的特點，分析和探究數學中數變化的關系，從而構建函數，并且運用函數的性質和特點去解決實際的問題。方程是指兩個數學式之間具有相等關系的一種等式。方程思想就是分析和探究數學各個變量之間的等量關系，構建方程或者是方程組，并且利用方程的性質和特點去解決等量關系。函數與方程的數學思想主要就體現在兩大方面：第一種建立函數，進行化簡，第二種就是求值、證明不等式、參數取值范圍以及解方程組。函數與方程可以相互轉化，互相解決，函數可以解方程，方程也可以界函數，這是歷年高考的必考題，因此，需要學生在解題時一定要注意函數與方程之間的轉化，要學會相互利用[1]。

例如：（1）函數與方程的密切關系：對于函數式y=f（x），當y=0時，就可以將其轉化為方程來表示f（x）=0，當然也可以將函數式y=f（x）轉換成方程式為y-f（x）=0。

（2）函數與不等式：對于函數式y=f（x），當y<0時，轉化成不等式為f（x）<0，當y>0時，轉化成不等式為f（x）>0。根據函數圖像來解決相關方成問題。

（3）在立體幾何中，有關計算角、面積、線段等問題需要函數與方程的方法進行解決。

2.數形結合

數形結合的數學思想是基于數與形之間的關系，通過數與形的相互轉化進行解決數學難題，是解決數學問題的重要途徑。數形結合思想通過"以形助數"使復雜的問題轉換簡單化，將抽象的問題轉為具體化，將抽象思維可以改變形象思維，科學有效的掌握數學知識中的本質問題，充分體現了數學的靈活性和規律性。數形結合通常的表現形式為：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數、三角函數等；⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義[2]。數形結合的方法是高中解決數學難題是最常用的方法之一，方法簡單，并且學生都容易接受。例如：《任意三角函數》中，任意角的三角函數定義：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx。單位圓與三角函數線中，單位圓與三角函數線定義：如圖（1）所示，PM表示α角的正弦值，叫正弦線，OM表示α角的余弦值，叫余弦線。如圖（2）所示，AT表示α角的正切值，叫正切線。圖中的線段長度就是三角函數值的大小，圖中線段方向所表示的就是三角函數值的正負。

數形結合的解題思想是高中數學解決難題的方法之一，通過數形結合，不僅至關，而且還很容易發現正確的解題思路，幫助學生更好更快的解決問題，避免了復雜繁瑣的解題過程，化簡了解題思路和方法。數形結合是歷年高考的必考題型之一，因此，學生要熟練掌握數形結合的解題方法，并且合理運用，解決數學難題。

3.分類討論

分類討論就是當問題所給的對象不能統一研究時，需要根據每個類別的標準分類進行研究，然后對每一類進行歸納總結，最后綜合得出所有問題的答案。實際上就是將數學難題化整為零，然后各個擊破，最后再進行總結。分類討論的原則是：在保證分類科學的前提下，標準統一，要做到不重復，不遺漏，并且力求最簡。分類討論的方法：首先要明確討論的對象以及對象的全體，經對象進行分類，然后再逐一分析和討論，最后歸納、總結[3]。例如：在求函數最大值、最小值中，假設函數f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，求函數f（x）的最小值。那么解這道數學題時就可以分類討論了：

分類討論的方法是高中解決數學難題是最常用的方法之一，并且也是高考中必考的數學解題方法之一，可以幫助學生將難題分類解決，然后進行歸納和總結，最終解決數學難題。

結語：綜上所述，想要學好數學，就需要具備寬闊的數學思想，數學思想是對數學知識的最高水平、高層次的總結和概括，是一種對數學知識和技能的"悟性"，掌握數學思維的最高水平就是解決問題的能力，無意識的地自然反映出解題的方法，這是高考的核心。數學思想不是憑空想象的，是根據很多經驗和實踐的總結和而得來的，學生應該多進行實踐然后總結和歸納，進一步提升數學思想。

參考文獻：

[1]周壽明.微分中值定理教學中的幾種輔助函數的構造[J].東莞理工學院學報，2013，03：128-130.

[2]左飛.例談微分中值定理中輔助函數的構造方法[J].科技信息（學術研究），2014，21：399+401.

[3]呂亞芹.培養學生數學思維能力的研究和探索[J].北京建筑工程學院學報，2014，01：72-75.