“數”里有乾坤

洪菲菲

“平均數”是“統計與概率”領域的教學內容之一。日常生活中，平均數經常由計算得到，因此，以往的教學忽略了其統計學意義，甚至將之納入了解決問題的范疇。換言之，學生會“算”平均數，卻不能從“平均數”入手進行數據分析，作出決策。其實，計算也好，分析也罷，兩者不可偏廢。尤其在先前“重計算輕分析”的錯誤傾向影響下，教師更應當重視對其統計學意義的挖掘，從對平均數的分析中，培養學生的數據分析觀念。對平均數的認識，應該經歷從“線—面—體”的不斷充實、逐漸豐滿的過程。

一、 線——溝通聯系，建立概念

在概念建立之初，教師應當引導學生理解“平均數”的真正內涵。如果片面地側重于計算，學生就會產生平均數是一個“計算結果”的先入為主的認知，這對于學生在學習過程中建立數據分析觀念是不利的。

學生在日常生活中已經積累了一些關于“平均數”的經驗，例如，教師經常告知學生每單元考試的班級平均分等等。因此，學生大都認為平均數是計算得來的，對其中“移多補少”過程的認識基本屬于空白。平均數就是將幾個數據進行“移多補少”之后所得到的“一樣多的那個數”，計算背后的實質也是“移多補少”。因此，教學中應當重點突出“移多補少”求平均數的過程，幫助學生建立平均數的概念；同時，溝通“先合后分”（即計算）與“移多補少”的聯系，從而幫助學生完善對平均數概念的理解。

在這部分教學中，教師應當設計好生活情境，使學生在“找一組數據的代表”的過程中，感受到平均數表示一組數據“一般水平”的本質意義。同時，在數據的設計上要花心思，使學生產生“移多補少”或者“先合后分”的需要。課伊始，教師可以設置人數不等的兩支球隊（男生隊和女生隊）進行“一分鐘投籃比賽”的情境。由于兩隊的人數不等，學生以往“算總數”的方法在這里并不適用。找兩隊各自的“最大值”作為數據代表進行比較不合適，找“最小值”亦然。在這種矛盾沖突中，學生產生了新的疑惑——“到底找哪個數來代表整支隊伍的一般水平呢？”教師在數據大小的設置上要巧花心思，力求使“移多補少”的思路水到渠成。例如，男生隊的三名隊員投籃數量分別為6個、5個和4個（且用象形圖進行顯示）。學生在尋找代表男生隊投籃一般水平的數時，容易想到“移多補少”，從而找到“5”這個平均數。“移多補少”的思維過程，是學生對平均數的第一次親密接觸，在移補的過程中，他們對平均數的產生及其意義有了初步的理解。接著，教師可以設置另一組數據——四個小組投籃的個數分別為39個、24個、31個、50個，讓學生算一算平均每組投籃多少個。由于數據變大，且數據顯示方式由象形圖改為了條形圖，學生進行“移多補少”時產生了困難，由此自然產生了“先合后分”的計算想法。這里，計算不是舊有經驗的重現，也不是教師的教授給予，而是學生自然生發的需要。學生在計算之后，教師應當利用多媒體課件再現“39、24、31、50”這四個數據之間“移多補少”的過程（如圖1），溝通“移多補少”與“先合后分”之間的聯系，使學生感受到計算背后的實質仍是“移多補少”，從而建立對“平均數”概念的正確認識。

二、 面——多維思考，深化理解

學生建立了平均數的概念，學會了求平均數的方法，這還只是對平均數的初步感知。要實現在教學中培養學生的數據分析觀念，還得引導學生從多角度對平均數進行探索，理解平均數的諸多特點。

平均數具有敏感性，容易受到一組數據中每個數據變化的影響；平均數總是介于一組數據的最大值和最小值之間；一組數據中每個數與平均數之間的離均差之和等于0……平均數的這些特點，不能通過說教的方式讓學生接受，而應該引導學生在數據分析的過程中自然而然地體會和感悟。為此，本節課教學中，教師可以巧妙地設計“問題串”，引導學生在思考的過程中對平均數“抽絲剝繭”，深化對平均數的理解和認識。

男生隊和女生隊之前因為人數不等，所以以平均數為數據代表“一決勝負”。由于男生隊比女生隊少1人，教師可以設置男生隊要求“加1人”再比賽的要求。而多出的這一個人，正是引發學生進行深入思考的契機點。男生隊之前三個人的投籃個數分別是6個、4個和5個，四號隊員投籃的數量會對平均數產生影響嗎？這個問題具有比較大的拓展空間。教師可以引導學生思考如下幾個問題：

（1）如果四號隊員投籃個數是5個，男生隊的平均數會變嗎？為什么？

（2）如果四號隊員投籃個數是6個，男生隊的平均數會變嗎？變化大嗎？

（3）如果四號隊員投籃個數是9個或者13個，男生隊的平均數會變嗎？變化大嗎？

在這一系列問題的思考與討論中，學生會感受到：如果新增的數據與平均數相同，那么平均數不會發生變化；新增的數據與原平均數差距越大，平均數的變化也就越大（即平均數容易受到極端數據的干擾和影響）。

在討論“全班平均每個小組投籃多少個”（即求39、24、31、50的平均數）這一問題時，教師先不要急著讓學生找平均數，可以讓學生先估一估平均數大概是多少。教師可以繼續提問：“它們的平均數可能是24嗎？可能是50嗎？為什么？”在說理的過程中，學生對平均數介于最大值與最小值之間會有切身的體會。在找到平均數之后，教師可以引導學生觀察條形圖，找一找各個數據超過平均數的部分與不到平均數的部分之間有什么關系，從而發現各個數據與平均數的離均差之和等于0。

總之，教師要讓學生在觀察、思考、討論的過程中，對平均數的特點進行較為深入的剖析和認識。只有體會到平均數的這些本質特點，才能感受到其統計學意義，理解其在數據分析及判斷決策等方面的作用。

三、 體——深入淺出，適度拓展

學生在學習了平均數的概念和求法之后，難免會產生一個疑問：“學習平均數有什么用？”如果學生的意識中，對平均數的價值只停留在作為判斷勝負的一個依據上，那么，學生數據分析觀念的建立會顯得蒼白無力。教師應該設置富有生活氣息的情境，引導學生在實際生活情境中分析平均數，運用平均數進行判斷和決策，從而達到培養學生數據分析觀念的最終目的。

1.感受平均數的“虛擬性”

平均數并不是一組數據中的任何一個，它代表的是一組數據的整體水平。平均數的“虛擬性”對學生來說略顯抽象，教師應當引導學生回歸生活，從實際生活中去體會和感悟。例如，學校籃球隊員的平均身高是160cm，籃球隊員明明是不是就一定比亮亮（158cm）高呢？通過類似問題的辨析，學生對平均數的“虛擬性”會有更深刻的體會，也更能體會到平均數的本質意義。

2.感受樣本平均數的價值

生活中，我們經常會從一組數據中取一些樣本來計算平均數，并用這個平均數來代表全體數據的整體水平，這是樣本平均數在生活中的廣泛應用。在本節課教學中，可以設計一些相關的生活情境，使學生體會到抽樣計算平均數的實際價值。例如，通過計算四顆大小不一的橙子的平均重量，就可以大致推算出一箱橙子（30個）的總重量。通過這樣的練習，使學生體會到平均數在日常生活中的應用價值。

3.感受加權平均數的意義

本節課，學生主要是要認識“算術平均數”，然而當一組數據中每個數據的權重發生變化時，平均數也會隨之發生微妙的變化。如何讓學生體會到其中權重的微妙變化，使之對平均數的認識更加豐滿而全面呢？我們對教材的處理既要深入，更要淺出。教學中，可以設置學生熟悉的購買糖果的情境。水果糖每千克9元，牛奶糖每千克15元，將1千克水果糖和1千克牛奶糖混合成什錦糖，這種什錦糖每千克多少元呢？解決這道題目，是對本節課知識的應用。在此基礎上，教師可以引導學生進一步思考，如果想用10元錢購買1千克什錦糖，這1千克什錦糖里，哪種糖多、哪種糖少呢？如果用14元購買1千克什錦糖，里面的糖又是怎樣搭配的呢？在漸次深入思考的過程中，學生能感覺到數據的權重發生變化所導致的平均數的變化。這里，只輕輕地幫學生打破數據權重的平衡，而不去探究各個數據的權重到底是多少。其教學旨歸僅在于豐富對平均數的認識，而不對此做更深入的探索。

4.感受平均數的“離散性”

平均數作為一組數據的代表，能幫助我們對事件做出判斷和決策。相同的平均數，其背后各組數據的離散程度可能有所不同，因此在做決策判斷時，還得結合實際情況具體分析。這樣的數據分析過程，正是培養學生數據分析觀念的良好抓手。教學中，可以設置這樣的練習情境，兩名學生平均每分鐘跳繩110次，該選誰參加年段跳繩比賽呢？雖然兩名學生每分鐘跳繩的平均數相同，但他們5次的跳繩成績情況大不相同。一名學生成績穩定在“110次”左右，離散程度較小；一名學生成績忽高忽低，離散程度較大。這時，教師引導學生思考兩個問題：如果全年段學生平均每分鐘跳繩106次，該選誰參賽？如果我們班的對手平均每分鐘跳繩120次，該選誰參賽？學生在思考問題的過程中，必須要根據實際情況對數據進行分析，從而做出決策。這樣的思考過程，既能讓學生感受到平均數背后數據的離散程度所帶來的影響，也有利于培養學生的數據分析觀念。