高中數(shù)學(xué)中分段函數(shù)問題的研究與分類總結(jié)

分段函數(shù)一般屬于非初等函數(shù)，是高等數(shù)學(xué)中常見的一類函數(shù).這類函數(shù)的性質(zhì)與解題方法較之初等函數(shù)要繁雜得多.而高中數(shù)學(xué)分段函數(shù)在教材中是以例題的形式出現(xiàn)的，并未作深入說明.本文就高中數(shù)學(xué)中分段函數(shù)問題的研究與分類總結(jié)如下.

一、 分段函數(shù)的含義

所謂“分段函數(shù)”，習(xí)慣上指在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù).對它應(yīng)有以下兩點基本認識：

（1） 分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；

（2） 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

二、分段函數(shù)的定義域

這類問題先求出各分段上的解，然后再合并，體現(xiàn)了“先分后合”的思想.

【例1】

設(shè)函數(shù)f(x)=2-x-1（x≤0），x12 （x＞0），

若f(x0)>1，求x0的取值范圍.

解：若x0≤0，則有2-x0-1>1，得x0<-1；若x0>0，則有 x12 0>1，得x0>1.綜合可得x∈(-∞，-1)∪(1，+∞).

三、 求函數(shù)的值域

求函數(shù)的值域關(guān)鍵在于“對號入座”：即看清待求函數(shù)值的自變量所在區(qū)域，再用分段函數(shù)的定義即可解決.

【例2】 已知函數(shù)f(x)=x2+1，x∈［0，2］;3x-1，x∈(2，4］;11，x∈(4，+∞)，

求函數(shù)f(x)的值域.

解：當x∈［0，2］時，f(x)∈［1，5］；當x∈(2，4］時，f(x)∈(5，11］；當x∈(4，+∞)時，f(x)=11.故函數(shù)f(x)的值域為［1，11］.

四、求分段函數(shù)的函數(shù)值

求分段函數(shù)的函數(shù)值時，首先應(yīng)確定自變量在定義域中所在的范圍，然后按相應(yīng)的對應(yīng)法則求值.

【例3】 已知函數(shù)f(x)=2x(x＜0)，3(0≤x≤1)，log13 x(x＞1).

求f{f［f(a)］}(a<0)的值.

分析：f(x)是分段函數(shù)，要求f{f［f(a)］}，需要確定f［f(a)］的取值范圍，為此又需確定f(a)的取值范圍，然后根據(jù)所在定義域代入相應(yīng)的解析式，逐步求解.

解 ∵a＜0，∴f(a)=2a，∵0<2a<1，∴f［f(a)］=f(2a)=3，∵3>1，

∴f{f［f(a)］}=f(3)=log13 3=-12.

五、 求分段函數(shù)的解析式

求分段函數(shù)解析式主要是指已知函數(shù)在某一區(qū)間上的圖象或解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，常用解法是待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等.

【例4】 設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≤－1時，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(－2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(－1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達式，并在圖中作出其圖象.

解：(1)當x≤－1時，設(shè)f(x)=x+b.∵射線過點(－2，0)，∴0=－2+b，即b=2，∴f(x)=x+2.

(2)當－1

∴f(x)=－x2+2.

(3)當x≥1時，f(x)=－x+2.

綜上可知，f(x)=x+1（x≤-1），2-x2(-1＜x＜1)，-x+2（x≥1）.

【例5】 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函數(shù)，在［1，4］上是二次函數(shù)，且在x=2時，函數(shù)取得最小值，最小值為－5.

(1)證明：f(1)+f(4)=0;

(2)試求y=f(x)，x∈［1，4］的解析式；

(3)試求y=f(x)在［4，9］上的解析式.

解：(1)證明：∵y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，∴f(4)=f(4－5)=f(－1).又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(1)=－f(－1)=－f(4)，∴f(1)+f(4)=0.

(2)當x∈［1，4］時，由題意，可設(shè)f(x)=a(x－2)2－5(a≠0)，由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2，∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).

(3)∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(0)=－f(－0)，∴f(0)=0.又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)=kx(0≤x≤1).∵f(1)=2(1－2)2－5=－3，又f(1)=k?1=k，∴k=－3.∴當0≤x≤1時，f(x)=－3x；當－1≤x＜0時，f(x)=－3x；當4≤x≤6時，－1≤x－5≤1，∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15，當6＜x≤9時，1＜x－5≤4，f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=

-3x+15(4≤x≤6)，2(x-7)2-5(6＜x≤9).

六、 求分段函數(shù)的最值

求分段函數(shù)的最值常用的方法有：（1）數(shù)形結(jié)合法；（2）逐段分析，再綜合求解.

【例6】 求函數(shù)y=2x+3(x≤0)，x+3(0＜x≤1)，-x+5(x＞1)

的最大值.

解法1：先求每個分段區(qū)間上的最值，后比較求值.

當x≤0時，y=f(x)=2x+3，此時顯然有ymax=f(0)=3;

當0

當x>1時，y=f(x)=-x+5，此時y無最大值.

比較可得當x=1時，ymax=4.

解法2：利用函數(shù)的單調(diào)性.

由函數(shù)解析式可知，f(x)在x∈(-∞，0)上是單調(diào)遞增的，在x∈(0，1)上也是遞增的，而在x∈(1，+∞)上是遞減的，

由f(x)的連續(xù)性可知，當x=1時，f(x)有最大值4.

解法3：

作函數(shù)y=f(x)的圖像（如右圖），顯然當x=1時，ymax=4.

說明：分段函數(shù)的最值常用以上三種方法求得.

七、 判斷分段函數(shù)的奇偶性

所謂函數(shù)的奇偶性是指整個函數(shù)的性質(zhì)，首先其定義域一定關(guān)于原點對稱，然后要在全定義域上滿足f(x)=f(-x)就是偶函數(shù)，f(x)=-f(-x)就是奇函數(shù).一段是偶函數(shù)，一段是奇函數(shù)這種說法是不對的.判斷分段函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱，再對x的值進行分類討論.

【例7】 判斷函數(shù)f(x)=12 x2+1(x＞0)，-12 x2-1(x＜0)

的奇偶性.

解:當x >0時，－x<0 ，于是f(-x)=-12(-x)2-1=-12x2-1=-f(x)； 當x <0時，－x >0，于是f (x)=-f (－x)，∴f (x)為奇函數(shù).

注: 當x>0時，檢驗f (－x)=－f(x)，并不能說明f(x)具備奇偶性.因為奇偶性是對函數(shù)整個定義域內(nèi)性質(zhì)的刻畫.因此必須x>0，x<0均有f (－x)=－f (x)成立，二者缺一不可.

八、求分段函數(shù)的反函數(shù)

求分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)先求出各個區(qū)間上的反函數(shù)及其定義域，再合并得到分段函數(shù)的反函數(shù).

【例8】 求函數(shù)f(x)=x2-4(-2≤x＜0)，16-x2(0≤x＜4)

的反函數(shù).

解：當-2≤x＜0時，y=x2-4∈(-4，0］，由y=x2-4反解得x=-y+2，

故當-2≤x＜0時，反函數(shù)為y=-x+2(-4＜x≤0)；

當0≤x＜4時，y=16-x2∈(0，4］，由y=16-x2反解得x=16-y2，

故當0≤x＜4時，反函數(shù)為y=16-x2(0＜x≤4).

所以函數(shù)f(x)的反函數(shù)為

f-1（x）=-x+2(-4＜x≤0)，16-x2(0＜x≤4).

九、解分段函數(shù)不等式

【例9】 定義符號函數(shù)sgnx=1(x＞0)，0（x=0），-1（x＜0），

則不等式x+2＞(2x-1)sgnx的解集是 .

解：原不等式可化為：

（1）x＞0，x+2＞2x-1，

即0＜x＜3；

（2）x＜0，x+2＞(2x-1)-1，

解得-3+334 ＜x＜-3+334

；

（3）x=0，x+2＞(2x-1)0，

即x=0.

綜上得｛x|-3+334 ＜x＜3｝.

十、求分段函數(shù)的方程的解

【例10】 函數(shù)f(x)=x+6(x≤-2），x3(-2＜x≤4)3x(x＞4)，

，解方程f(x)=3.

解：當x≤-2時，由f(x)=x+6=3得x=3；

當-2＜x≤4時，由f(x)=x3=3得x=33；

當x＞4時，由f(x)=3x=3得x=1，不合題意.

綜上，方程f(x)=3的解為x=-3，或x=33.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點知識，涉及很多思想、方法，分段函數(shù)首先是函數(shù)，并且是一個函數(shù)，不是多個函數(shù)，其關(guān)鍵是根據(jù)各段解析式的自變量取值范圍來取對應(yīng)的解析式，這樣就要分段討論、求解，即要重視分類討論思想.

(責(zé)任編輯 金 鈴）