立體幾何題添加輔助線的思想方法探討

劉順清

【摘要】 立體幾何在高中階段重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化，化歸的能力。在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道解答題，以中檔題為主，難度不大，雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。

【關(guān)鍵詞】 立體幾何題 輔助線 思想方法

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2016）07-079-02

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學(xué)好立體幾何需要掌握一定的處理立體幾何問題的基本思想和方法。而轉(zhuǎn)化，化歸的思想貫穿立體幾何的始終。把立體幾何問題化為平面幾何問題，即立體問題平面化，它是解決立體幾何問題的始終如一的原則。如異面直線所成的角，線面所成的角，二面角這三種空間角都是用平面定義的，在解決有關(guān)空間角的問題時(shí)，一般是將他們轉(zhuǎn)化為平面角來處理，最終化歸為解三角形。高三一輪復(fù)習(xí)的解題訓(xùn)練中，解立體幾何問題通常有作、證、求三個(gè)環(huán)節(jié)。但是在高考中反映這方面的問題十分嚴(yán)重，不少考生對(duì)這三個(gè)環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)。尤其沒找到添加輔助線的一般規(guī)律。下面就解立體幾何中如何巧妙添加輔助線的思想方法作一下探討。

解立體幾何題添加輔助線有一定的規(guī)律性，結(jié)合平時(shí)的教學(xué)情況總結(jié)主要有如下幾種情況：一是連中位線，二是連對(duì)角線或中線，三是做垂線。概括成口訣是：有的中點(diǎn)配中點(diǎn)，兩點(diǎn)相連中位線；等腰三角形出現(xiàn)，頂?shù)字悬c(diǎn)相連線；有了垂面作垂線，水到渠成理當(dāng)然。下面就常見的三種情況加以說明。

一、方法之一添加平行線。

其目的是把不在一起的線，集中在一個(gè)圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。

例1.把正方形ABCD，ABEF放置成如圖所示的一個(gè)空間圖形，M，N分別是AE，DB上的點(diǎn)，且AM=DN.

求證：MN∥平面EBC.

解析：過M作MM1⊥BE于M1，過N作NN1⊥BC于N1，連結(jié)M1N1，

則有MM1∥AB，且MM1AB=EMEA，NN1∥CD，且NN1CD=BNBD.

又AB∥CD，AB=CD，AM=DN，故MM1∥NN1，MM1=NN1，所以MN∥M1N1.

又MN 平面EBC，M1N1 平面EBC，

所以MN∥平面EBC.

點(diǎn)評(píng)：通過作平行線構(gòu)造平行四邊形來證線面平行。

點(diǎn)評(píng)：求異面直線所成角常采用平移法，把空間問題平面化，變成解三角形的問題。

二、方法之二向中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心添加連線

對(duì)稱中心是整個(gè)平面圖形的幾何中心，它可以與周圍的點(diǎn)、線、面關(guān)聯(lián)起來，常見的有對(duì)平行四邊形，矩形，正方形連對(duì)角線。

例3.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)。

（1）證明：PB∥平面ACM；

（2）證明：AD⊥平面PAC；

（3）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值。

解析：（1）連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)也為BD

的中點(diǎn)，又M為PD的中點(diǎn)，所以PB∥MO，因?yàn)镻B 平面ACM

MO 平面ACM，所以PB∥平面ACM.

（2）因?yàn)椤螦DC=45°，AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD所以PO⊥AD，而AC∩PO=O所以AD⊥平面PAC.

（3）取DO的中點(diǎn)N，連接MN，AN，

因?yàn)镸為PD中點(diǎn)，所以MN∥PO，且MN=12PO=1.

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD.

所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，

點(diǎn)評(píng)：通過連接平行四邊形的對(duì)角線，連出中位線從而由線線平行證得線面平行，由平行線中的一條垂直于平面得到另一條也垂直平面。

三、方法之三添加垂線

立體幾何的許多定義或定理是與垂線有關(guān)的，如線面角、二面角的定義，點(diǎn)到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運(yùn)用這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補(bǔ)上。尤其要注意平面的垂線，因?yàn)橛辛似矫娴拇咕€，才能建立空間直角坐標(biāo)系，才能使用三垂線定理或其逆定理。

例4.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

（1）求證：AD⊥PB；

（2）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論

解析：（1）如圖，取AD中點(diǎn)G，連結(jié)PG，BG，BD.

∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A=60°，

AD=AB，∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

（2）連結(jié)CG，與DE相交于H點(diǎn)，易知H為CG的中點(diǎn)，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點(diǎn)，易知F是PC的中點(diǎn)，

∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD，

故存在滿足要求的點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：有了面面垂直及等腰三角形，頂?shù)字悬c(diǎn)要連線，由線線垂直易證得線面垂直，從而有線線垂直。若用向量法也必須具備線面垂直的條件，所以所作輔助線為下一步建系創(chuàng)造了條件。

例5.如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

（1）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面EAB 請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值。

解析：（1）線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P.證明如下：

取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)DP，PF，EF，則FP∥AC，F(xiàn)P=12AC.

取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，EC.∵AE=AC且∠EAC=60°，

∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC，∴四邊形EMCD為矩形，

∴ED=MC=12AC.又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，四邊形EFPD是平行四邊形.

∴DP∥EF，而EF 平面EAB，DP 平面EAB，∴DP∥平面EAB.

（2）過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連結(jié)DG.

∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱。

∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，

∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥l.

又l⊥GC，∴l(xiāng)⊥平面DGC，∴l(xiāng)⊥DG，

∴∠DGC是所求二面角的平面角.

設(shè)AB=AC=AE=2a，則CD=3a，GC=2a，

∴GD=GC2+CD2=7a，

∴cosθ=cos∠DGC=GCGD=7）7.

點(diǎn)評(píng)：二面角的大小由平面角決定，因此構(gòu)建二面角的平面角是傳統(tǒng)方法求二面角的關(guān)鍵和解決問題的切入點(diǎn)和突破口，所以本題的第二問恰當(dāng)?shù)淖鞒鰞蓚€(gè)平面的公共棱，再向公共棱引垂線，構(gòu)造三垂線定理的條件，從而找到二面角的平面角，轉(zhuǎn)化成解三角形的問題。