變式教學法的教學案例實踐與思考

章林芳

【摘要】變式教學是指運用不同的知識和方法，對有關數學概念、定理、習題等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法。在數學高考復習中，通過變式教學，對一些典型習題進行變換、串聯、延拓，是提高課堂教學質量，培養學生解題能力的有效途徑。變式教學法給中學數學課堂帶來勃勃的生機和活力，有利于激發學生的學習的興趣、提高學生分析問題和解決問題的能力、培養學生思維品質及提高學生的綜合素質，它也是培養學生創新精神和實踐能力的重要途徑，同時也是對教師教學能力的挑戰。

【關鍵詞】變式教學 實踐 思考

一、前言

變式教學是指運用不同的知識和方法，對有關數學概念、定理、習題等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識的引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”中探求規律。變式教學，不僅能加深基礎知識的理解和掌握，而且在開發學生智力、發展學生思維，培養和提高學生能力等方面，能發揮其獨特的功效。在數學高考復習中，重視變式教學，搞好變式教學，適當實施變式教學，一定能對我們的數學高考復習起到事半功倍的作用，因此，變式教學勢必會成為數學高考復習的一把金鑰匙。

二、“高三復習課：含參不等式恒成立問題”教學設計

1.引入：含參不等式是近年來的高考活躍考點，考題靈活多變，此題能否順利解決關乎整場考試的成敗。今天來復習“含參不等式恒成立問題”。

【設計意圖】激發學生學習興趣及求知欲望。

2.展示問題，先練后評，共同析疑：

2.1【引例1】一次函數 恒成立，求 的取值范圍。

分析：一次函數 在 上，要么是增函數，要么是減函數。所以有以下結論：一次函數 在區間 上恒成立，等價于 ；在區間 上小于0恒成立，等價于 。

因此，此例只要滿足 ，故而 。

【設計意圖】體驗利用一次函數性質處理恒成立問題，為下面的學習打下基礎。

【評注】本題是簡單題，一次函數的知識點非常基礎，同學們能很快得出答案。運用這個知識點結合主元變換的方法，可以化繁為簡。

2.2【變式1】已知不等式 對于一切 都成立，求 的取值范圍。

分析：上述不等式學生很容易陷入到以 （ ）為自變量的二次函數問題中去。這樣的話要對對稱軸進行討論，非常繁瑣。將一次函數恒成立問題結論與變換主元的方法相結合，可以把參數最高次數為一次的不等式的恒成立問題化歸為為一次函數問題。

對于此例，將條件所給不等式左邊部分看作一個以 為自變量，以 為參數的一次函數，那么問題就迎刃而解。

解：令

則有

不等式 對于一切 都成立，即 對一切 恒成立，則有：

解得： 。故所求 的取值范圍是 。

【設計意圖】：讓學生進一步體會利用一次函數性質解決恒成立問題的關鍵，提高分析和解題能力。

以下兩個變式題都可用這種方法解決：

練習①：若不等式 對于 恒成立，求 的取值范圍。

（答案： ）

練習②：對于滿足 的所有實數 ，求使不等式： 恒成立的 的取值范圍。（答案： 或 ）

【評注】對于不等式： 來說，式子的左邊貌似非常復雜，但是，如果仔細觀察式子結構，把式子的左邊化成我們所熟悉的一次函數，那么問題就容易多了。但是此類問題前提是參數次數是一次的，且參數的范圍已知。但是實際情況中，參數范圍經常是不確定的。

2.3【引例2】二次函數 在R上恒成立，求 的取值范圍。

分析：對于二次函數 有如下結論：

對 恒成立 ， 對恒成立 ，因此，此例只要滿足 即

【設計意圖】讓學生進一步掌握含參數恒成立問題的處理方法，并了解題型變化規律。當已知參數 的取值范圍，則求變量 的取值范圍；當已知 的范圍，則求參數 的范圍。讓學生學會自編自變自理。這兩種情況即有聯系又有區別。

2.4【變式2】已知不等式 對任意的 恒成立，求實數 的取值范圍。

解析：對此分式不等式，由于分母 對 恒成立，所以可將它轉化為整式不等式。

解：將不等式 轉化為 整理得： 。

（1）當 時，上述不等式顯然恒成立。

（2）當 時，必有 ，解得： 。

綜上所述得 的取值范圍： 。

總而言之，求解含參數不等式恒成立求參數的取值范圍的問題的方法有許多，如函數法，數形結合法、分離參數法、判別式法、分類討論法等。這些方法各有優缺點，而高考時間有限，充分理解各種方法的優缺點并熟練應用才是決勝高考的關鍵。

【參考文獻】

[1] 中學數學思想方法詞典 沈呈民 人民教育出版社

[2]《解一類絕對值不等式恒成立問題的通法》 張久鵬 中學數學月刊 2010年第3期