數(shù)列與差分專題教學(xué)的理解研究

陸正美

[摘 要] 在2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，將“數(shù)列與差分”專題列入了選修的內(nèi)容當(dāng)中，這不僅能夠拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，更是社會(huì)發(fā)展對我國數(shù)學(xué)教育提出的新要求. 本文根據(jù)筆者對數(shù)列與差分專題的理解，結(jié)合相關(guān)的理論基礎(chǔ)，對“數(shù)列與差分”專題教學(xué)做了全面的分析，為一線高中數(shù)學(xué)教師開展“數(shù)列與差分”專題教學(xué)提供了參考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列與差分；專題教學(xué)；理解；研究

新一輪的課程改革對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了“必修+選修”的教學(xué)模式，其中必修課程的教學(xué)為學(xué)生的共性發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，選修課程的教學(xué)為學(xué)生的個(gè)性發(fā)展提供了可能. 在2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中就明確提出要將“數(shù)列與差分”的知識(shí)作為新增內(nèi)容納入選修專題教學(xué)中. 因此，我們要加強(qiáng)對選修課程的研究，改變以往單一的課程結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮選修課程的重要作用，使必修課和選修課達(dá)到新的平衡，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

數(shù)列與差分專題主要教學(xué)內(nèi)容

本專題的教學(xué)內(nèi)容及其排布形式主要是：首先由數(shù)列的概念引導(dǎo)出數(shù)列差分的概念，將數(shù)列差分的概念分成等差數(shù)列與其差分和等比數(shù)列與其差分. 其中等差數(shù)列與其差分部分包括一階差分方程的概念、一階齊次差分方程的通解、一階非齊次差分方程的通解、一階差分方程的應(yīng)用.等比數(shù)列與其差分主要包括一階線性差分方程組的概念及其解的結(jié)構(gòu)、差分方程組的求解和差分方程組的應(yīng)用.

數(shù)列與差分專題教學(xué)的必要性

1. 學(xué)科發(fā)展的需要

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，學(xué)科之間的界限逐漸被淡化，很多領(lǐng)域的研究都會(huì)涉及數(shù)量關(guān)系、幾何圖形等內(nèi)容，它作為一門基礎(chǔ)學(xué)科不僅被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)中，也正在向社會(huì)學(xué)、人文科學(xué)等領(lǐng)域滲透. 法國勒維烈就利用相關(guān)數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)推算出了一顆未知行星的位置.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，造就了“高科技的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)技術(shù)”的說法. 想要將人類社會(huì)生活中遇到的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)能夠處理的數(shù)據(jù)，就必須要將已有的數(shù)據(jù)離散化，這就需要用到重要的數(shù)學(xué)工具——差分. 開設(shè)數(shù)列與差分專題教學(xué)能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，拓展學(xué)生的知識(shí)面，從而滿足學(xué)生的個(gè)性發(fā)展需求，進(jìn)而滿足數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的需求.

2. 現(xiàn)實(shí)生活的需求

不管是信息的離散化還是連續(xù)化，都與差分和差分方程緊密相連，掌握必要的差分知識(shí)，能夠幫助我們解決生活中的一些問題. 在現(xiàn)實(shí)生活中我們可以掌握一些零散的數(shù)據(jù)信息，但是我們又需要了解這些事物的整體，這時(shí)我們就可以將這些離散的函數(shù)差值擴(kuò)充為所需區(qū)域的連續(xù)函數(shù)，從而把握全局.例如，差分理論對于控制一個(gè)企業(yè)的資金流向具有重要的作用.

3. 學(xué)生自身發(fā)展的需求

現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)知識(shí)型社會(huì)，科學(xué)技術(shù)日新月異，信息更新速度日益加快，在這樣的環(huán)境中人們不可能掌握所有的知識(shí)，更不能依靠一成不變的知識(shí)來適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展，而是需要掌握學(xué)習(xí)的方法. 高中數(shù)學(xué)通過精選相關(guān)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，對于培養(yǎng)學(xué)生的生存技能和個(gè)性發(fā)展具有重要的作用. 具體表現(xiàn)為：能夠教會(huì)學(xué)生必要的知識(shí)，為他們的生存和發(fā)展提供基礎(chǔ)；能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提高他們的思維水平. 如今，我們通過數(shù)列與差分專題教學(xué)的開設(shè)，能夠幫助學(xué)生利用差分知識(shí)來解決實(shí)際問題，從該專題中學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)能夠在以后的工作中發(fā)揮巨大的作用.

數(shù)列與差分專題內(nèi)容設(shè)置

1. 課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)列與差分專題內(nèi)容的要求

數(shù)列與差分的選修內(nèi)容屬于選修課程系列4中的第3個(gè)專題，通過該專題的設(shè)置讓學(xué)生能夠通過相關(guān)的實(shí)例了解差分與數(shù)列的變化關(guān)系和差分作為數(shù)列“變化率”的意義，能夠初步學(xué)會(huì)建立差分方程. 具體體現(xiàn)在：（1）對于數(shù)列的差分，學(xué)生能夠理解數(shù)列一級差分和二級差分對描述數(shù)列變化的意義；（2）通過具體的實(shí)例來體驗(yàn)數(shù)學(xué)法方程的作用；（3）學(xué)會(huì)分析并用差分方程來解決一些簡單的實(shí)際問題，并能夠利用連續(xù)變量離散化思想來解決簡單的實(shí)際問題.

2. 數(shù)列與差分專題內(nèi)容的教學(xué)思路

（1）利用問題引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)

第一，可以采用“問題—理論—問題”的教學(xué)模式，循序漸進(jìn)地講解相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生逐步構(gòu)建差分的理論體系. 例如，差分是如何影響數(shù)列增、減、凹凸的？一階差分方程與等差數(shù)列和等比數(shù)列支架的關(guān)系是什么？第二，在本專題的模型教學(xué)部分，可以多引入一些與生活密切相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，構(gòu)建模型，解決問題.最終通過實(shí)踐檢驗(yàn)自己利用差分方程得出的結(jié)果是否正確. 第三，在本章節(jié)的學(xué)習(xí)中利用明確的問題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中帶著具體的問題，有目的性地進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而加深對差分等概念的理解，提高學(xué)生利用這些知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

（2）利用嘗試活動(dòng)作為專題教學(xué)的體驗(yàn)點(diǎn)

首先，要合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)；數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對本專題的教學(xué)提出了明確的要求，要求在本專題的教學(xué)中不要過分強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)性的知識(shí)，而是將差分的本質(zhì)展現(xiàn)給大家.對于高中學(xué)生來說，他們從未接觸過差分相關(guān)的知識(shí)，可以通過設(shè)計(jì)嘗試活動(dòng)讓學(xué)生了解相關(guān)的知識(shí). 但是問題難度的設(shè)置要符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

其次，在專題的教學(xué)設(shè)計(jì)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，例如，通過類比函數(shù)之差與微分方程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列之差與差分方程的一一對應(yīng)；通過對等差數(shù)列和等比數(shù)列的教學(xué)研究，引導(dǎo)學(xué)生接觸常系數(shù)一階線性差分方程通解的求法等.

最后，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，通過引入學(xué)生感興趣的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生對差分相關(guān)知識(shí)的感性理解. 通過合作探索讓學(xué)生了解一階差分方程通解、特解等方面的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 通過引導(dǎo)學(xué)生利用差分模型解決實(shí)際問題，來提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

（3）充分利用歸納總結(jié)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)整體水平

差分理論是大學(xué)里所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，現(xiàn)在高中選修教材中出現(xiàn)，主要目的在于提升高中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 差分部分內(nèi)容較為抽象，設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)較多，因此，歸納總結(jié)非常有必要. 例如，在學(xué)習(xí)了一階差分方程通解、特解與相應(yīng)齊次差分方程通解之間關(guān)系后，及時(shí)歸納總結(jié)線性差分方程通解、特解的關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)微分方程和線性方程打下基礎(chǔ).

數(shù)列與差分專題教學(xué)方法選用

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出，對于數(shù)學(xué)教學(xué)方法要改變傳統(tǒng)模式下被動(dòng)學(xué)習(xí)方式，提倡通過合作探究的方式進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí).

1. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)法

概念教學(xué)法是學(xué)生獲取基本知識(shí)、基本技能的重要途徑，正確把握好相關(guān)數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 雖然在課程標(biāo)準(zhǔn)中提到對于“數(shù)列與差分”專題的教學(xué)不做系統(tǒng)性的要求，但是一些基本的概念知識(shí)還是需要學(xué)生去理解，例如，差分方程、通解、特解等概念，在講解過程中，要區(qū)分主次，對于部分定義可以通過實(shí)例的形式來淡化講解，對于有些定義不但不能淡化，還需要花大量的精力去講解，例如差分的概念，需要學(xué)生正確并熟練地掌握這一概念.

利用概念教學(xué)法設(shè)計(jì)教學(xué)可以通過“問題情境—新概念—分析—應(yīng)用—反饋”的環(huán)節(jié)來完成. 例如，以差分方程的教學(xué)為例，在創(chuàng)設(shè)情節(jié)環(huán)節(jié)，可以引入銀行存款利率的例子來構(gòu)建問題情境，通過引導(dǎo)學(xué)生分析問題并進(jìn)行大膽猜測和思考. 接下來分析問題情境并列出等式，根據(jù)等式分析差分方程的屬性，提出差分方程的概念. 接下來對提出差分概念進(jìn)行多角度的剖析，進(jìn)行正反論證加深學(xué)生的理解. 最后鼓勵(lì)學(xué)生自己構(gòu)建差分方程，并進(jìn)行點(diǎn)評.另外，還可以通過“已有概念—新概念—比較—反饋”的模式來完成概念教學(xué).

2. 數(shù)學(xué)命題教學(xué)法

數(shù)學(xué)命題教學(xué)法與數(shù)學(xué)概念教學(xué)法相互聯(lián)系密不可分，在“數(shù)列與差分”專題教學(xué)中是不可或缺的教學(xué)方法. 在教學(xué)過程中將具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)集中到一塊一起處理. 例如，在學(xué)習(xí)了一階線性差分方程的通解等于其特解與相應(yīng)齊次差分方程的通解之和以及一階線性差分方程組的通解等于其特解與相應(yīng)齊次差分方程組的通解之和后，將這兩部分的知識(shí)內(nèi)容放到一塊進(jìn)行比較、分析，從而概括出新的知識(shí)點(diǎn)——差分方程的通解等于其特解與相應(yīng)齊次差分方程的通解之和. 這樣不僅有助學(xué)生對學(xué)過知識(shí)的總結(jié)，還有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).