居高才能臨下，深入方可淺出

范世偉

【摘 要】 數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)包括“本體性知識(shí)（學(xué)科知識(shí)）”、“條件性知識(shí)（教育理論）”和“實(shí)踐性知識(shí)（教學(xué)經(jīng)驗(yàn)）”。數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)，既包括顯性的可言傳數(shù)學(xué)知識(shí)，也包括隱性的默會(huì)知識(shí)即數(shù)學(xué)能力、素養(yǎng)。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，從某種意義上說(shuō)，教學(xué)的中心任務(wù)就是對(duì)學(xué)科作出教育學(xué)的解釋，并把學(xué)科知識(shí)“教育學(xué)化、心理學(xué)化”，以便學(xué)生接受與理解。兩者的有效結(jié)合方能體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)之大氣，數(shù)學(xué)教學(xué)之靈氣。讓“學(xué)校的數(shù)學(xué)”找回“真正的數(shù)學(xué)”。

【關(guān)鍵詞】 本體性知識(shí)；數(shù)學(xué)教學(xué)；大氣；靈氣；底氣

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64.26 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）15-00-02

20世紀(jì)90年代中期，林崇德、申繼亮、辛濤的研究稱：“我們的研究表明，教師的本體性知識(shí)與學(xué)生成績(jī)之間幾乎不存在統(tǒng)計(jì)上的關(guān)系。我們認(rèn)為，教師需要知道一部分學(xué)科知識(shí)，以達(dá)到某種水平，但并非本體性知識(shí)越多越好。”然而，觀察我們的數(shù)學(xué)課堂，教師擁有較好的本體性知識(shí)知識(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)是必要的。教學(xué)的中心任務(wù)就是對(duì)學(xué)科作出教育學(xué)的解釋，并把學(xué)科知識(shí)“心理學(xué)化”，以便學(xué)生接受與理解。對(duì)教學(xué)的關(guān)注，從學(xué)科知識(shí)向?qū)W科知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知整合的轉(zhuǎn)移，我們已有較大的進(jìn)步。教師的本體性知識(shí)應(yīng)當(dāng)達(dá)到何種水平，才能保證在對(duì)學(xué)科知識(shí)作出教育學(xué)的解釋和心理學(xué)的加工時(shí)不至于出現(xiàn)知識(shí)性、科學(xué)性的偏差?，F(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)教師擁有的本體性知識(shí)水平，是否適應(yīng)目前正在推行的課程改革的要求，也是課改推進(jìn)的所面臨課題。課堂中出現(xiàn)的學(xué)科知識(shí)“童化”，教材梳理“簡(jiǎn)單化”，學(xué)科知識(shí)“教學(xué)化”等現(xiàn)象正是學(xué)科本體性知識(shí)不足的表現(xiàn)。本文就從本體性知識(shí)與教學(xué)之間的關(guān)系作簡(jiǎn)單闡述，以此引發(fā)我們對(duì)本體性知識(shí)的思考，對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的思考。

一、本體性知識(shí)彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)之大氣

1、教學(xué)有點(diǎn)

失身么決定了教師理解教材的能力？是什么影響了教師面對(duì)教材“融會(huì)貫通”的能力？是學(xué)科知識(shí)和教育學(xué)、心理學(xué)等因素的影響，而本體性知識(shí)顯得尤為重要。數(shù)學(xué)教材不能完全解釋知識(shí)的來(lái)龍去脈。當(dāng)前，教師對(duì)教材所呈現(xiàn)的圖、文字很難看出知識(shí)的本質(zhì)，知識(shí)抽象的過(guò)程、知識(shí)的數(shù)學(xué)史。這時(shí)需要教師挖一挖知識(shí)點(diǎn)，挖一挖數(shù)學(xué)思想。甚至有些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)用圖式、情境的方式呈現(xiàn)，形式為內(nèi)容服務(wù)，非數(shù)學(xué)、非公認(rèn)的規(guī)定影響著本體性知識(shí)的表達(dá)，很容易簡(jiǎn)單的把知識(shí)用“去數(shù)學(xué)化”的方式錯(cuò)誤或偏離性理解，以致現(xiàn)在出現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂數(shù)學(xué)味不濃的局面。

如：本人在執(zhí)教“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”這一課時(shí)思考：周長(zhǎng)的定義該從哪幾個(gè)點(diǎn)出發(fā)？周長(zhǎng)的概念歷史演變過(guò)程是如何？從哪幾個(gè)角度認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)？學(xué)習(xí)周長(zhǎng)在幾何領(lǐng)域的作用？查閱大量的資料，了解周長(zhǎng)概念的歷史及周長(zhǎng)在幾何中的地位、關(guān)系，然后根據(jù)自己的了解設(shè)計(jì)教學(xué)。維基百科里記錄，古代把周長(zhǎng)叫“周界”，“界”字就把“周”的概念描述的很數(shù)學(xué)化，“界”就是周邊線。再者可從“等周定理”，引出周長(zhǎng)的“長(zhǎng)”。這樣把知識(shí)分解了，把知識(shí)深入了，把知識(shí)系統(tǒng)了才能更好的設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，本體性知識(shí)的“點(diǎn)”明了有力，教學(xué)的點(diǎn)也隨之清晰可見(jiàn)，教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施才彰顯大氣。

2、教學(xué)有線

教學(xué)強(qiáng)調(diào)課堂調(diào)控，強(qiáng)調(diào)動(dòng)態(tài)生成，強(qiáng)調(diào)大氣真實(shí)。教師、學(xué)生是可變的資源，質(zhì)疑問(wèn)難、節(jié)外生枝隨時(shí)可見(jiàn)。面對(duì)復(fù)雜、多變的課堂生成，教師如能擁有豐富的本體性知識(shí)，抓住教學(xué)的主線，那么就能應(yīng)變自如，并及時(shí)作出課堂的調(diào)整，以促進(jìn)新的更有效的資源生成。

數(shù)學(xué)教師經(jīng)常犯有“知識(shí)性錯(cuò)誤”。聽(tīng)課、評(píng)課活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)一些“知識(shí)性錯(cuò)誤”確實(shí)是違背了數(shù)學(xué)規(guī)律或邏輯規(guī)則；而有些屬于扣字眼、鉆牛角尖的問(wèn)題，屬于對(duì)教師個(gè)人自然教學(xué)語(yǔ)言的挑剔，評(píng)課教師很少或很難從數(shù)學(xué)學(xué)科本體性知識(shí)的角度分析問(wèn)題。當(dāng)教師不具備豐富的本體性知識(shí)，就很難抓住知識(shí)主線，教學(xué)主線，在評(píng)課時(shí)也不能為自己的教學(xué)辯護(hù)?！叭切蔚母叩扔谒拿娣e乘2除以底”這樣得教學(xué)語(yǔ)言或教學(xué)總結(jié)，是否合理科學(xué)，招到辯論挑刺，迫使教師謹(jǐn)小慎微，聽(tīng)任生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維被字斟句酌的語(yǔ)言所壓抑。

有研究表明：當(dāng)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解加深了，其在教學(xué)任務(wù)的設(shè)計(jì)與實(shí)施中，更能將問(wèn)題的類(lèi)型、難度與兒童的解決方法聯(lián)系起來(lái)，教師就有更多的機(jī)會(huì)了解學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)的思維策略，因而在教學(xué)中能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)造更多的數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，以及進(jìn)行猜想、解釋、推理與證明自己數(shù)學(xué)想法的機(jī)會(huì)。

二、本體性知識(shí)彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)之靈氣

教師的本體性知識(shí)是教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)。在教學(xué)活動(dòng)中，一切努力又都是圍繞著本體性知識(shí)的有效傳授，教學(xué)的最終績(jī)效是用學(xué)生掌握的本體性知識(shí)的質(zhì)量來(lái)衡量。不能否認(rèn)，在一定限度內(nèi)，教學(xué)的有效性是與教師所掌握的本體性知識(shí)呈遞增關(guān)系。

如：分?jǐn)?shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中有著重要的地位，對(duì)分?jǐn)?shù)本體性知識(shí)了解準(zhǔn)確與否直接影響著教學(xué)的最終績(jī)效。很多教材對(duì)分?jǐn)?shù)的定義是“單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。”這樣的描述聽(tīng)起來(lái)比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼。小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)分?jǐn)?shù)教學(xué)一般分為三個(gè)階段：第一階段，三年級(jí)直觀感性認(rèn)識(shí)階段，充分借助直觀手段，只作具體描述，不概括出描述性的定義。第二階段，若干個(gè)同類(lèi)物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個(gè)整體里的一份或幾份。第三階段，到五年級(jí)整體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，深入理解分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，再通過(guò)兩次分餅的數(shù)學(xué)活動(dòng)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，實(shí)際理解分?jǐn)?shù)的商的定義。到了六年級(jí)體會(huì)比在生活中的應(yīng)用，實(shí)際理解分?jǐn)?shù)的比的定義，擴(kuò)大分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍。這就使學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的過(guò)程循序漸進(jìn)，有效而扎實(shí)。

了解了分?jǐn)?shù)的本體性知識(shí)后，我們不難發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的“商”定義是分?jǐn)?shù)教學(xué)歸宿點(diǎn)，那么勢(shì)必在分?jǐn)?shù)各階段的教學(xué)中有所滲透分?jǐn)?shù)的“商”定義。教學(xué)分?jǐn)?shù)的第一次出現(xiàn)時(shí)，“平均分”成為了教學(xué)的關(guān)鍵詞?！捌骄帧辈懦霈F(xiàn)分?jǐn)?shù)，那“不平均分”該如何體現(xiàn)？不平均分即是為了加強(qiáng)平均分的理解，有助于理解分?jǐn)?shù)“商”的定義。（下圖）

在深入研究分?jǐn)?shù)的本體性知識(shí)，我們又可發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)主要有兩個(gè)作用：一個(gè)是作為有理數(shù)出現(xiàn)的一種數(shù)，也就是，作為在運(yùn)算中出現(xiàn)的一種數(shù)，它能和其他的數(shù)一樣參與運(yùn)算；另一個(gè)作用是以比例的形式出現(xiàn)的。而后者是小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的要點(diǎn)。而真分?jǐn)?shù)又是小學(xué)最重要的分?jǐn)?shù)，它代表一個(gè)事物的一部分，其本質(zhì)在于它的無(wú)量綱性。比如，盤(pán)子大小的1/2代表的實(shí)際意義，與足球場(chǎng)大小的1/2代表的實(shí)際意義是不盡相同的。正真分?jǐn)?shù)是密密麻麻地分布在（0，1）區(qū)間上的。如：在（0，1）區(qū)間內(nèi)畫(huà)出所有的以10為分母的真分?jǐn)?shù)，加強(qiáng)分?jǐn)?shù)和數(shù)軸之間的聯(lián)系，是改進(jìn)分?jǐn)?shù)教學(xué)的一個(gè)方面。

很多的數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然看似簡(jiǎn)單，但同樣蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化，只有教師具備豐厚的數(shù)學(xué)知識(shí)、扎實(shí)的數(shù)學(xué)技能和成熟的數(shù)學(xué)思想，才能以一種宏觀的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀念去看待數(shù)學(xué)，而不拘泥于局部的、零散的、靜態(tài)的認(rèn)識(shí)，才能從更高更廣的角度理解，設(shè)計(jì)教學(xué)才有高度、有深度、有廣度，教學(xué)才彰顯靈氣。

數(shù)學(xué)關(guān)心的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，用的是抽象的眼光，有些我們看去不同的東西，數(shù)學(xué)本體性知識(shí)卻會(huì)是相同。我們覺(jué)得一樣的東西，或者差不多的東西，數(shù)學(xué)本體性知識(shí)卻會(huì)是不同。數(shù)學(xué)教學(xué)及研究中有些思想、方法是重要的。數(shù)學(xué)本體性知識(shí)中思想、歸納與演繹、相同與不同、精確與誤差、變化與不變、集合與函數(shù)等思想，在教學(xué)準(zhǔn)備與設(shè)計(jì)，教學(xué)組織與實(shí)施，作業(yè)設(shè)計(jì)與輔導(dǎo)，命題與學(xué)業(yè)檢測(cè)等教學(xué)各環(huán)節(jié)起著重要的作用。如：線段為什么需要兩個(gè)端點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)去掉，線段的長(zhǎng)度會(huì)不會(huì)變？在數(shù)學(xué)里，帶有兩個(gè)端點(diǎn)的線段叫“閉線段”，不帶兩個(gè)端點(diǎn)的線段叫“開(kāi)線段”。就這一開(kāi)一閉，在高等數(shù)學(xué)里，不少定理適合就不同，并能和很多的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系。小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要了解的這么多、這么深嗎？正如一教研員說(shuō)：“教師應(yīng)比學(xué)生知道的多一點(diǎn)，早一點(diǎn)，深一點(diǎn)。”也并非要讓學(xué)生了解這么透，教師教的這么深，關(guān)鍵是只有教師具備這樣豐富的本體性知識(shí)，才能在教學(xué)各環(huán)節(jié)得心應(yīng)手，才能從容的駕御課堂，才能使課堂充滿靈氣。

三、本體性知識(shí)彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)之底氣

當(dāng)前培訓(xùn)機(jī)構(gòu)、學(xué)校、教師把注意力完全集中在教育理念的學(xué)習(xí)與落實(shí)上，教師條件性知識(shí)和實(shí)踐性知識(shí)得到很大的重視，教師的本體性知識(shí)的不足，不能不引起我們的關(guān)注。

省小學(xué)數(shù)學(xué)教研員斯苗兒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：一些課上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教師本身的數(shù)學(xué)功底。張景中教授的《教育數(shù)學(xué)》一書(shū)中，對(duì)教育數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育作了比較。數(shù)學(xué)教育要靠數(shù)學(xué)科學(xué)提供材料，對(duì)材料進(jìn)行教學(xué)法的加工使之形成教材，是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)。但是，數(shù)學(xué)教育不承擔(dān)數(shù)學(xué)科學(xué)的研究創(chuàng)造。為了教育的需要，對(duì)數(shù)學(xué)研究成果進(jìn)行深入淺出的整理，抓住本體性知識(shí)設(shè)計(jì)、組織教學(xué)，合理有效的開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些知識(shí)，雖然不要求學(xué)生了解得非常清楚，也不作為考試要求，但作為專業(yè)知識(shí)，教師該清楚的還要清楚。“最小的一位數(shù)是幾？”“0為什么是自然數(shù)？”“x=7是方程嗎？”等等，簡(jiǎn)單地用“這樣的問(wèn)題沒(méi)意義”“這是規(guī)定”的回答不是最好的辦法，顯然露出教師數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的不足，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)缺少底氣。

朱樂(lè)平：現(xiàn)在許多老師的課，從知識(shí)的角度總可以找出知識(shí)性錯(cuò)誤。方法已經(jīng)很好了，但數(shù)學(xué)素養(yǎng)不容樂(lè)觀。我們一起看以下一例子：

上海市數(shù)學(xué)新教材三年級(jí)第一學(xué)期《整理與提高》單元“乘乘除除”的內(nèi)容。針對(duì)一位數(shù)乘多位數(shù)的筆算，教師出示了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：玩具店有玩具汽車(chē)8箱，每箱為29輛，共有玩具汽車(chē)多少輛？對(duì)于學(xué)生提出的算式：29×8，教師沒(méi)有急于讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，而是引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行估算：29×8大約等于多少？在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上全班開(kāi)展了交流。學(xué)生的估算方法有：

方法一：29×8≈240，把29看成30。

方法二：29×8≈160，把29看成20。

方法三：29×8≈290，把8看成10。

方法四：29×8≈300，把29看成30，8看成10。

對(duì)于以上的估算方法教師提出問(wèn)題：（1）這幾種方法有什么相同的地方？（2）同樣是把因數(shù)看成整十?dāng)?shù)，但估出來(lái)的結(jié)果差距很大，這是什么原因呢？通過(guò)交流學(xué)生明確：應(yīng)該把因數(shù)看成和它最接近的整十?dāng)?shù)再估計(jì)比較合理（去掉29×8≈160）。隨后教師再次發(fā)問(wèn)：剩下的三個(gè)結(jié)果，哪個(gè)與準(zhǔn)確值29×8=232最接近？這是什么原因造成的？學(xué)生通過(guò)思考再次進(jìn)行交流：

生1：方法一是多估了1個(gè)8。

生2：方法三是多估了2個(gè)29。

生3：方法四是多估了2個(gè)29和1個(gè)8。

對(duì)于生3所認(rèn)為的方法四是多估了2個(gè)29和1個(gè)8，沒(méi)有學(xué)生對(duì)此提出異議，但教師及時(shí)指出這樣的解釋是錯(cuò)誤的，并通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)算給予否定，即300-2×29—1×8=234，而不是232。但還是有學(xué)生認(rèn)為按照方法一和方法三的解釋，對(duì)方法四的解釋好像并無(wú)錯(cuò)誤，想讓教師進(jìn)一步給予解釋和分析。面對(duì)學(xué)生的強(qiáng)烈疑惑與渴求目光，教師只是再次強(qiáng)調(diào)生3這樣的想法是錯(cuò)誤的，并解釋道你們進(jìn)了中學(xué)以后會(huì)理解的，現(xiàn)在給你們講這個(gè)原因，你們是無(wú)法理解和接受的。

估算意識(shí)和估算能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)計(jì)算教學(xué)的一個(gè)新要求。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“知其所以然”的教學(xué)行為，提升了課堂教學(xué)的思維層次和探究深度，估算教學(xué)扎實(shí)有效，這是值得肯定的。該老師也意識(shí)到對(duì)于生3觀點(diǎn)的回應(yīng)以及理答在教學(xué)處理上欠妥。這就表現(xiàn)出教師本體性知識(shí)的欠缺，造成教學(xué)留下

“似乎”的遺憾。如何解決這一學(xué)生的疑惑呢？也就是要讓本體性知識(shí)教學(xué)的合理有效?？梢杂脭?shù)形結(jié)合的思想方法加以解決（圖2）：白色部分的面積為29×8，黃色部分（B1）的面積為2×29，灰色部分（B2）的面積為1×8，藍(lán)色部分（B3）的面積為1×2，所以29×8=30×10-2×29-1×8-1×2?？梢?jiàn)，29×8≈300，應(yīng)該是多估了2個(gè)29、1個(gè)8以及1個(gè)2。這樣，學(xué)生對(duì)于自己的錯(cuò)誤有了比較清醒的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)本體性知識(shí)章顯數(shù)學(xué)高度的抽象性；邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性；廣泛的應(yīng)用性。教師只有具備豐富的本體性知識(shí)，才能使自己的數(shù)學(xué)教學(xué)大氣、靈氣，有底氣。

參考文獻(xiàn)：

1、《數(shù)學(xué)家的眼光》張景中，中國(guó)少年兒童出版社。

2、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》張景中，大連理工大學(xué)出版社。

3、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》單方軍，2009年06期。

4、《教師素質(zhì)的構(gòu)成及其培養(yǎng)途徑》林崇德，申繼亮，辛濤教育學(xué)刊。

5、“數(shù)學(xué)教師的素養(yǎng)”對(duì)話錄，史寧中、孔凡哲《人民教育》08年21期