“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)研究報(bào)告

株洲市天元區(qū)栗雨小學(xué)數(shù)學(xué)教研組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

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“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)研究報(bào)告

株洲市天元區(qū)栗雨小學(xué)數(shù)學(xué)教研組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

1.對教材的分析

“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”是在學(xué)生認(rèn)識了自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是從算術(shù)數(shù)到有理數(shù)的第一次擴(kuò)充，這是對數(shù)概念的進(jìn)一步豐富，為初中階段進(jìn)一步理解有理數(shù)的意義和運(yùn)算作鋪墊。在小學(xué)階段認(rèn)識正負(fù)數(shù)的概念，一方面可以豐富學(xué)生對數(shù)概念的認(rèn)識，另一方面可以防止學(xué)生形成算術(shù)思維的定式，有利于學(xué)生代數(shù)思想的建立和抽象思維水平的提升。

人教版教材從觀察氣溫引入負(fù)數(shù)，既能讓學(xué)生體會負(fù)數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)意義，又能幫助學(xué)生體會到正負(fù)數(shù)的相對性。具有相反意義的量在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的：存款與取款，收入與支出，上車與下車，電梯樓層標(biāo)識，等等。因此，教師在教學(xué)中為孩子們提供豐富的、現(xiàn)實(shí)的負(fù)數(shù)情境并不困難。這些生活背景大都出于計(jì)數(shù)的需要，符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，與負(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史也非常吻合。事實(shí)上，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，既有現(xiàn)實(shí)生活的需要，也有數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。一些教師也會采用算術(shù)運(yùn)算的方法引入負(fù)數(shù)（一個較小數(shù)減去一個較大數(shù)，其差便是一個負(fù)數(shù)）。對于小學(xué)生而言，這種引入方法雖然極易被接受，也可以在一些現(xiàn)實(shí)的問題情境中找到直觀理解，但大多數(shù)學(xué)生可能會將這種算法理解為一種規(guī)定，所以小學(xué)教材中用此法引入的不多。

從數(shù)概念教學(xué)的一般規(guī)律而言，新概念的教學(xué)并不是孤立的，往往要與舊的概念一起形成新的概念系統(tǒng)。負(fù)數(shù)的認(rèn)識自然離不開正數(shù)與0。對溫度計(jì)的觀察，可以有效地幫助學(xué)生逐步從直觀到半直觀再過渡到比較抽象地認(rèn)識正數(shù)、負(fù)數(shù)和0三者之間的關(guān)系，溫度計(jì)“橫過來”便可成為數(shù)軸的雛形。因此，利用溫度計(jì)這一直觀教具有利于幫助學(xué)生豐富數(shù)的認(rèn)識，理解0是正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。教材中沒有這種安排，教師利用溫度計(jì)模型制成教具也不失為一種直觀的教學(xué)資源。

2.對教學(xué)的分析

（1）如何引導(dǎo)學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上理解負(fù)數(shù)的本質(zhì)意義？負(fù)數(shù)認(rèn)識以兒童的經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，但如果處理不當(dāng)，學(xué)生最終還會停留在原來的經(jīng)驗(yàn)里。那么，小學(xué)階段對負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識是不是就等同于生活層面上的認(rèn)識？這種認(rèn)識還極為膚淺和片面，主要體現(xiàn)在：認(rèn)為“負(fù)”就是“減少”或“少”，“正”就是“增加”或“多”；負(fù)數(shù)就是負(fù)整數(shù)、負(fù)小數(shù)（負(fù)分?jǐn)?shù)）；0算作正數(shù)還是負(fù)數(shù)都無關(guān)緊要；對正數(shù)和負(fù)數(shù)的理解僅限于形式上，如看到+16和-16，學(xué)生主要從符號上將兩者區(qū)別，對兩者之間的相反意義則難以理解；大部分學(xué)生會以為-m是負(fù)數(shù)，這種影響到了中學(xué)也需要相當(dāng)長一段時間才能得以糾正。

（2）如何把0和正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義溝通起來？數(shù)學(xué)史上之所以有不少數(shù)學(xué)家把負(fù)數(shù)稱之為“荒謬”的數(shù)，大都因?yàn)閷?的局限認(rèn)識——認(rèn)為“0表示什么都沒有”。可見，對負(fù)數(shù)概念的理性認(rèn)識，困難之處不僅在于概念本身的高度抽象性，更在于如何引導(dǎo)學(xué)生跨越和擴(kuò)展已有的認(rèn)識，也就是把0和負(fù)數(shù)的意義溝通起來。那么，在認(rèn)識負(fù)數(shù)的教學(xué)過程中，如何在具體經(jīng)驗(yàn)的層面上引導(dǎo)學(xué)生體會0和正數(shù)、負(fù)數(shù)的關(guān)系，體會0還可以表示分界點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)量？這是教學(xué)中的難點(diǎn)，也是把負(fù)數(shù)納入到已知數(shù)系的關(guān)鍵點(diǎn)。

（3）到底如何定位小學(xué)階段負(fù)數(shù)的認(rèn)識這一內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)？從現(xiàn)有中小學(xué)教材來看，負(fù)數(shù)的認(rèn)識在小學(xué)階段和初中階段都有出現(xiàn)，單從概念引入來看，呈現(xiàn)形式大同小異。這一點(diǎn)可以理解為知識系統(tǒng)性的需要，無可厚非。盡管《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對負(fù)數(shù)的認(rèn)識有了較為清晰的表達(dá)，但越來越多的老師（主要是名師）嘗試從不同的角度定位本課的目標(biāo)。有的以認(rèn)識相反意義的量為主，有的側(cè)重于對0的新認(rèn)識。筆者所在的數(shù)學(xué)組在進(jìn)行同課異構(gòu)時，有一位老師模擬名師的教學(xué)設(shè)計(jì)了一個問題情境：“原來文老師在5樓，他從5樓往上2層樓，記作+2層，那他從5樓下去1層，記作（ ）層，這里把（ ）看作了0層；現(xiàn)在李叔叔在2樓，如果把2樓看作0層，他往上2層，記作（）層。同樣是4樓，為什么一會兒被記作-1層，一會兒被記作+2層？”這樣設(shè)計(jì)的目的是希望讓學(xué)生認(rèn)清0表示的是標(biāo)準(zhǔn)量，但很多學(xué)生被具體樓層和所謂的記法弄得云里霧里，最終也只能靠教師來自圓其說了。

（4）數(shù)學(xué)史的滲透與概念形成之間的矛盾。在小學(xué)上負(fù)數(shù)的認(rèn)識一課時，幾乎所有的老師都不會忘記滲透數(shù)學(xué)史，其中大部分老師會采用課件或畫外音的方式對負(fù)數(shù)的產(chǎn)生進(jìn)行介紹，目的是讓學(xué)生知曉負(fù)數(shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了非常曲折的發(fā)展過程，從而感受到人類祖先在發(fā)明創(chuàng)造數(shù)中的偉大智慧。事實(shí)上，這種滲透往往如隔靴搔癢，很難給學(xué)生留下深刻的印象。我們也見過一些名師在教學(xué)中突出體現(xiàn)了具有相反意義的量甚至是標(biāo)準(zhǔn)量（0）等這些發(fā)展中的關(guān)鍵之處，但這些過程的經(jīng)歷不但不能幫助學(xué)生還原負(fù)數(shù)的生成過程，反而會讓學(xué)生心生困惑：這么簡單的問題，為何老師要大費(fèi)周章？古人為何那么愚笨？

3.對學(xué)情的分析

學(xué)生在生活中接觸過一些表示相反意義的量，如：班上轉(zhuǎn)入多少學(xué)生、轉(zhuǎn)出多少學(xué)生，氣溫零上多少度、零下多少度，加分、扣分，存款與取款，等等。學(xué)生對+、-這兩個運(yùn)算符號已經(jīng)不陌生，凡是坐過電梯的學(xué)生（哪怕是幼兒）對用“-”（負(fù)號）表示地下的樓層也不陌生；部分學(xué)生早就知道諸如3-5=-2之類的較小數(shù)減去較大數(shù)的運(yùn)算。但學(xué)生不容易理解負(fù)數(shù)、正數(shù)與0的關(guān)系。對負(fù)數(shù)的形式，有“-”（負(fù)號）比較容易識別，對負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義比較容易理解，但多數(shù)學(xué)生更容易理解帶“-”（負(fù)號）的數(shù)叫負(fù)數(shù)，因此，提供大量運(yùn)用負(fù)數(shù)的機(jī)會，滲透和建立代數(shù)的意識，為有理數(shù)運(yùn)算打好基礎(chǔ)是本節(jié)課的提升點(diǎn)。

4.解決的策略

基于以上分析，我們確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和策略如下：首先，從生活情境出發(fā)，引發(fā)認(rèn)知沖突（怎樣用合適的數(shù)表示零下的溫度），調(diào)動生活經(jīng)驗(yàn)，主動接納負(fù)數(shù)概念；然后借助海拔高度、存取款、進(jìn)出貨等現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)一步體驗(yàn)相反意義的量及負(fù)數(shù)的意義；接著通過比較、反思、歸納等辨析活動幫助學(xué)生溝通新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對負(fù)數(shù)概念內(nèi)涵與外延的完整認(rèn)識；最后通過適當(dāng)?shù)纳顟?yīng)用練習(xí)，豐富學(xué)生對負(fù)數(shù)概念的理解和建構(gòu)。如此，通過有層次的探究活動，引領(lǐng)學(xué)生主動建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、實(shí)踐

1.基于在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上理解負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義的教學(xué)嘗試

片段目標(biāo)：結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境幫助學(xué)生認(rèn)識和理解負(fù)（正）數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。

師：下面有幾組信息，請同學(xué)們用自己的方式記錄在活動單中，關(guān)鍵是讓別人一眼就能看明白。（課件呈現(xiàn)）

●株洲昨日最高氣溫是31℃，內(nèi)蒙古去年最低氣溫是零下31℃。

●媽媽今年4月初存入5000元，4月底又取出5000元。

●水果店上午進(jìn)了120個西瓜，賣出58個。

●珠穆朗瑪峰高于海平面8844.3米，吐魯番盆地低于海平面155米。

活動單：

（1）用合適的方式將數(shù)據(jù)信息記錄在表格中。

溫度 存取款 進(jìn)出貨 海拔

（2）小組交流，想想哪種記錄方法更好。

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)交流并匯報(bào)。

組1：我們組有幾種不同的記錄方法，但都是在數(shù)據(jù)前加了文字或符號。經(jīng)過商量，我們統(tǒng)一在數(shù)據(jù)前加了一組反義詞，這樣別人一眼就能看明白。

溫度 存取款 進(jìn)出貨 海拔上31 存5000 進(jìn)120 高8844.3 下31 取5000 出58 低155

師：老師特別喜歡你們加的這一組反義詞，簡單又明了！

組2：我們組原來也有同學(xué)用了組1的方法，但我們覺得這種記錄方法還是麻煩，于是用符號表示，讓人一目了然。

溫度 存取款 進(jìn)出貨 海拔↑31 +5000 +120 ↑8844.3 ↓31 -5000 -58 ↓155

師：高的用向上的箭頭，低的用向下的箭頭，增加了用+，減少了用-，確實(shí)更簡潔。

組3：……

師：數(shù)學(xué)語言既要簡潔，又要大家都能夠看明白。這些記錄方法都有道理。如何讓大家都明白呢？

生1：我們可以統(tǒng)一用+和-表示。如，存入用+，取出用-。

溫度 存取款 進(jìn)出貨 海拔+31 +5000 +120 +8844.3 -31 -5000 -58 -155

師：你的想法和數(shù)學(xué)家的不謀而合！（課件呈現(xiàn)完善后的記錄表）這樣，上面這一排數(shù)都可以在數(shù)的前面添+表示，我們把這些數(shù)叫作正數(shù)，下面這一排數(shù)都可以在數(shù)的前面添-表示，叫作什么？

生2：負(fù)數(shù)。

師：這里的加號和減號與過去的意義不完全相同，+叫作正號，-叫作負(fù)號。觀察表中上下兩個數(shù)所表示的量，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：它們表示的意思相反。

師：雖然我們把文字換成了符號，但這兩個符號仍然能像反義詞一樣表示相反的意思。其實(shí)，我們還可以更簡潔，上面這排數(shù)不加符號，下面這排數(shù)加“-”。（課件呈現(xiàn)修改后的記錄表）為了表示兩種相反意義的量，出現(xiàn)了一種新的數(shù)：負(fù)數(shù)（圈出第二排的數(shù)）。而以前所學(xué)過的31、5000、120、8844.3這樣的數(shù)叫做正數(shù)。正數(shù)前面的+可以省去。

溫度 存取款 進(jìn)出貨 海拔31 5000 120 8844.3 -31 -5000 -58 -155

設(shè)計(jì)意圖：負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，是表示生活中兩種相反意義的量的需要。本環(huán)節(jié)通過生活中學(xué)生感興趣的素材，喚起他們已有的生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓他們在具體情境中感受負(fù)數(shù)出現(xiàn)的必要性，并通過兩種相反意義的量的對比，初步體會負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，建立負(fù)數(shù)的概念。

2.基于溝通0與正、負(fù)數(shù)的關(guān)系的教學(xué)嘗試

片段目標(biāo)：借助溫度計(jì)幫助學(xué)生理解0與正、負(fù)數(shù)的關(guān)系，感知數(shù)軸模型。

師：0是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？

生1：0既可以算正數(shù)，也可以算負(fù)數(shù)。

生2：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

師：（出示溫度計(jì)模型）請同學(xué)們找找，在溫度計(jì)上，0℃在哪里？比0℃高的溫度，都是什么數(shù)？

生3：比0℃高的溫度，都是正數(shù)。

師：那比0℃低的溫度，都是什么數(shù)？

生4：比0℃低的溫度，都是負(fù)數(shù)。

師：如果0℃算是一個正數(shù)的話，那么-0℃在溫度計(jì)上的哪里呢？

生5：還在原來的位置。

師：既然這兩種表示方法沒有相反的意義，我們就規(guī)定，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它只是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。+3和-3有什么不同？

生6：在老師批閱試卷時，+3表示加3分，-3表示扣3分。

生7：在溫度計(jì)上，+3表示零上3℃，-3表示零下3℃。

師：（再次指著溫度計(jì)）+10℃在哪里？-6℃在哪里？（隨著學(xué)生的匯報(bào)，師將學(xué)生匯報(bào)的數(shù)寫在黑板上，追問）說說還在什么地方見過負(fù)數(shù)？你能不能試寫幾個負(fù)數(shù)？

生8：-1、-2、-3、-4……

師：還有不一樣的嗎？

生9：-1.2、-2.5、-3.5、-4.5……

生10：-1.1、-1.2、-1.3、-1.4……

生11：-

……

師：寫得完嗎？

生（齊）：寫不完，負(fù)數(shù)也有無數(shù)個。（師隨著學(xué)生的匯報(bào)，把所寫的正數(shù)和負(fù)數(shù)分別圈起來，加上“……”）

師：如果把負(fù)數(shù)、0、正數(shù)按照從小到大的順序排列，該怎樣排呢？為什么？

生12：負(fù)數(shù)＜0＜正數(shù)。大家看，從溫度計(jì)上可以看出，正數(shù)都在0的上面，比較大，負(fù)數(shù)都在0的下面，比較小。

師把溫度計(jì)橫過來，形成如下圖的板書——

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)重在引導(dǎo)學(xué)生弄清楚0和正數(shù)、負(fù)數(shù)之間的關(guān)系，初步滲透集合思想。教師在引導(dǎo)時，再次利用溫度計(jì)這一工具初步幫助學(xué)生建立數(shù)軸模型。

3.兼顧鞏固應(yīng)用和拓展延伸的練習(xí)片段教學(xué)

片段目標(biāo)：在更多的生活實(shí)例中幫助學(xué)生鞏固對正、負(fù)數(shù)的認(rèn)識，加深對概念的理解。

師：負(fù)數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，大家獨(dú)立完成下面的練習(xí)。

作業(yè)單：

（1）叔叔上5樓開會，按5鍵，阿姨到地下2樓的車庫取車，應(yīng)按（）鍵。

（2）知識競賽中，五（1）班得了20分，記作+20，五（2）班的得分是-20，表示（）。

（3）王阿姨經(jīng)營了兩個商店，5月份，A商店賺了3000元，B商店虧了500元，可以分別用（ ）和（ ）表示。

（4）小華從0點(diǎn)向東行5米表示為+5，那么從0點(diǎn)向西行3米表示為（）米。

（5）吐魯番盆地比海平面低155米，記作-155，蓮花峰比海平面高1864米，記作（）。

（6）產(chǎn)品說明書上的負(fù)數(shù)：食品包裝袋上有這樣的標(biāo)記500±2g，質(zhì)檢人員拿出5袋稱重后和標(biāo)準(zhǔn)重量比較，記錄為：+0.1g、-1g、0g、+0.5g、-1.5g。+0.1g、-1g、0g、+0.5g、-1.5g是什么意思？500±2g是什么意思？

學(xué)生獨(dú)立完成，師點(diǎn)名匯報(bào)，根據(jù)實(shí)際情況點(diǎn)撥。點(diǎn)撥要點(diǎn)如下：

（1）一樓及以上的樓層前省略了正號，其實(shí)都是正數(shù)。

（2）追問：這兩個班的得分相差多少？為什么？

（3）總體來說王阿姨經(jīng)營兩家店是賺了還是虧了？

（4）如果規(guī)定向西行為正，那記法還一樣嗎？

（5）0表示什么？（海平面）

（6）你覺得質(zhì)檢人員會認(rèn)為這種食品標(biāo)記合格嗎？

設(shè)計(jì)意圖：再次提供多種包含具有相反意義的量的生活情境，豐富學(xué)生對正、負(fù)數(shù)的相對性的認(rèn)識，并學(xué)會正確使用負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，有利于學(xué)生對數(shù)概念的結(jié)構(gòu)認(rèn)識，適時的追問均是對有負(fù)數(shù)參與的代數(shù)運(yùn)算的啟蒙。第（1）題是為了加深對正數(shù)實(shí)際寫法的理解；第（2）題是引導(dǎo)學(xué)生從直觀的角度感知有理數(shù)的運(yùn)算；第（3）題則把有負(fù)數(shù)參與的加法運(yùn)算與之前學(xué)過的減法運(yùn)算聯(lián)系起來；第（4）題是幫助學(xué)生進(jìn)一步體會正、負(fù)數(shù)的相對性，滲透正方向；第（5）、（6）題鞏固了學(xué)生對0是分界點(diǎn)、0是標(biāo)準(zhǔn)量的認(rèn)識。

4.基于對負(fù)數(shù)意義的深化理解的教學(xué)嘗試

片段目標(biāo)：深化學(xué)生對負(fù)數(shù)的認(rèn)識。

師：世界各國對負(fù)數(shù)的認(rèn)識和接受有一個過程。如1484年，法國數(shù)學(xué)家曾得到方程的一個負(fù)數(shù)解，但他不承認(rèn)它，說負(fù)數(shù)是“荒謬”的數(shù)。1545年，卡爾丹承認(rèn)方程中可以有負(fù)數(shù)解，但認(rèn)為它是“假數(shù)”。1831年，還有數(shù)學(xué)家認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的，他舉了一個“特例”說明他的觀點(diǎn)：“父親56歲，他兒子29歲，問什么時候父親的歲數(shù)是兒子的兩倍？”通過列方程解得x=-2，他認(rèn)為這個結(jié)果是荒唐的。同學(xué)們，你們怎么看待x=-2這個結(jié)果呢？

生：-2正是說明2年前父親的歲數(shù)是兒子的兩倍。

設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)史中的小故事挑起疑問，再揭示負(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中的生命力，既利于學(xué)生理解負(fù)數(shù)的意義、激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣與積極性，又利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法的價(jià)值。

三、討論

1.對課堂的思考

關(guān)于數(shù)概念。數(shù)既是對生活的抽象表達(dá)，又廣泛應(yīng)用于生活之中。數(shù)的出現(xiàn)除了生活實(shí)際的需要，也有數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。在幫助學(xué)生建立數(shù)概念的過程中，如何兩者兼顧，值得好好研究。

關(guān)于數(shù)概念教學(xué)。小學(xué)階段，數(shù)學(xué)老師們對已知數(shù)系的結(jié)構(gòu)定然是了如指掌，但現(xiàn)實(shí)的情況是，這些概念分布于不同的階段，如果不注意溝通概念之間的關(guān)系，便很容易出現(xiàn)割裂化的狀態(tài)，也就是學(xué)了新的忘了舊的，數(shù)概念越多，關(guān)系越模糊。因此，如何使學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，克服僅僅從表面的符號去認(rèn)識數(shù)的行為，是課堂中首先要解決的問題。本課雖然有了對正、負(fù)數(shù)及0之間關(guān)系的溝通，但仍未能避免學(xué)生產(chǎn)生“帶負(fù)號的數(shù)就是負(fù)數(shù)”的片面認(rèn)識。

2.提出新問題

（1）據(jù)資料顯示，有關(guān)負(fù)數(shù)的教學(xué)安排最早出現(xiàn)在1978年的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》中。該大綱對五年級提出了“初步理解正、負(fù)數(shù)的意義，能夠正確地進(jìn)行簡單的正、負(fù)數(shù)四則運(yùn)算”的要求。但1986版的大綱又把這部分內(nèi)容刪了，直到2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》頒布，認(rèn)識負(fù)數(shù)的教學(xué)內(nèi)容重新回歸小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，但不同版本的教材把這個內(nèi)容放到了不同的年級，北師大版放在四年級，人教版則放在六年級，其教學(xué)目標(biāo)也不盡相同。2011版課標(biāo)保留了這個內(nèi)容，其教學(xué)目標(biāo)僅限于“在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量”。顯然這個目標(biāo)強(qiáng)調(diào)了聯(lián)系生活實(shí)際，但與1978年的教學(xué)大綱相比，則降低了要求。在小學(xué)認(rèn)識負(fù)數(shù)，最大的價(jià)值在于有理數(shù)系統(tǒng)的完善，而要更全面、系統(tǒng)地理解負(fù)數(shù)，中學(xué)開始即可。負(fù)數(shù)的難度也不在于認(rèn)識負(fù)數(shù)本身，而在于有理數(shù)運(yùn)算中有關(guān)負(fù)數(shù)的運(yùn)算，這是學(xué)生最容易弄錯的。那么，到底把“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”放在哪個年級段合適？估計(jì)目標(biāo)制定者、教材編者們也尚無定論。

（2）數(shù)概念的高度抽象性使得它的本質(zhì)意義很難被普通人所理解，自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)……這些簡單的名稱背后都有豐富的生活背景和數(shù)學(xué)背景。只有將其與具體的背景結(jié)合起來演繹，學(xué)生的認(rèn)知才會變得豐富和生動。然而，這種人為的經(jīng)歷難免陷入活動化的假象中，有時甚至?xí)话l(fā)不可收拾。如何在有限的時間內(nèi)讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程，始終是擺在老師們面前的一個難題。 （執(zhí)筆：何畝文）