重視錯誤研究，助力小學數學教學

畢波

這兩年，筆者一直嘗試在“小學生數學錯誤”方面做一些研究工作。最初產生這樣想法是基于初次教的一屆學生，他們學到某一部分內容時，一些共性的數學錯誤總會出現。當這些熟悉的錯誤再次“襲來”時，筆者作為一名小學數學老師，經常陷入迷茫和“亡羊補牢”。此時筆者有些后悔，為什么當初沒有將這些錯誤及時記錄下來？為什么教了這么多年書，卻依然不能對這些“老”錯誤有很好的應對辦法。

于是，筆者把學生作業中的錯誤用相機拍下來，組織學生開展錯題收集活動，在課堂教學中加入錯例分享活動……當這些行為逐漸成為筆者的一種工作習慣時，筆者越發喜歡上了“錯誤研究”，因為研究這些“錯誤”，不僅幫助了一位數學老師提升專業素質，也幫助了學生提升學習數學的能力。下面談一談筆者在進行“錯誤研究”過程中的三點感受。

一、用好數學“錯題本”，讓收集錯題成為學生學習的一種習慣

開展錯誤研究，首先要有豐富的錯誤樣本。教師可以通過拍照的方式獲取這些錯誤例子。對于學生而言，最直接的方式則是建立數學“錯題本”。一次完整的錯題收集作業呈現在本子上的內容主要包括三個方面的內容（如圖1）：（1）錯題摘錄——將出錯的題目及錯誤的解題過程抄下來；（2）錯因分析——對出現錯誤的原因進行陳述；（3）正確解答——寫出此題正確的解答過程。另外，錯題本中還可以記錄一些經典題型、思路巧妙、綜合性強的題目，只要是自己想記錄、覺得需要記錄的題目都可以寫在錯題本上。

對于錯題本，教師需做到“三要”——要看、要評、要分享。

錯題本雖然不需要像常規作業一樣天天批改，但也需要教師經常性地進行審閱。通過審閱才能了解到學生收集錯誤的態度與質量，及時對學生在收集錯誤過程中出現的問題進行調整。比如，是否按時完成，是否存在“偷工減料”的行為。更重要的是，通過審閱錯題本，教師可以從中選取到有價值的真實錯例，比如學生中出現的共性錯誤，學生對某一個錯誤在分析時產生的偏差等。為后續的錯題分享與評析提供第一手素材。

為了在學生中營造積極“糾錯、評錯”的良好氛圍，對在錯題收集過程中表現積極、作業質量優秀的學生，教師要給予充分肯定，并通過優秀作業展示等方式在學生中樹立好的榜樣。在活動初期，教師對學生的要求應視能力分層要求，對能力較弱的學生要進行個別指導，讓他們了解錯題收集的方式和完成基本要求即可；對能力較強的孩子則要提出更高的要求，對錯誤進行更加翔實的分析，還可以鼓勵學生嘗試模仿錯題編制新題。通過教師的評價與指導，讓更多的學生逐漸適應這樣一種自主學習的方式。

從錯題本中選取優秀的、有代表性的錯例，邀請該名學生上臺進行全班分享。通過這樣的分享活動，既鍛煉了學生的數學表達能力，又在學生中產生積極的學習互動。每個人收集的錯題可能不一樣，對同一個錯題的理解也可能不一樣，通過“錯題分享”可以從別人身上學到更多對自己有用的東西。學生往往更喜歡這種來自于同伴的學習資源。教師則利用這樣一些良好的學習活動作為自己后續教學的切入點，引導學生從評錯開始，逐步走向學習內容的深入。

經過一段時間的持續關注與精心組織，學生能夠逐漸找到錯題收集的樂趣，對于錯題的分析也會“漸入佳境”，越來越具體，越來越深刻。數學學習的本質是學生獲取數學知識、形成數學技能和能力的一種思維活動。當收集錯題成為學生學習數學的一種習慣，也就有助于學生反思意識的培養，有助于學生更多地用“思考”來學習數學。

二、分析錯誤產生的原因，幫助教師進一步“讀懂學生”

當錯誤樣本被大量收集過來之后，教師首先要對這些錯誤進行分類和整理，建議用電子文件的方式存儲，在給文件命名時進行簡單的內容描述，以便后期的調取。對于需要拿到學生面前進行交流的錯誤，應該慎重對待，交流之前一定要對錯誤進行認真的分析。如果是數學錯誤，教師需要從多方面分析學生犯錯誤的原因。找準了錯誤產生的真正原因，才可以為后續的糾正錯誤找到合理的切入口。

比如，關于學生計算上的錯誤。一些教師往往會用粗心、計算態度不端正來進行評價。但是，是不是計算時只要學生認真了、態度端正了，計算上的錯誤就能避免呢？顯然，這樣的觀念是不正確的。產生計算錯誤的原因除了粗心、態度不端正這樣的非智力因素外，對計算方法的準確應用、對計算道理的準確理解往往是產生計算錯誤真正的原因。如圖2這個計算錯誤，學生的每一步計算的結果都是正確的，但是在計算的步驟上卻出現了錯誤，將8乘百位上的4的結果32分別寫到了萬位和千位上。進一步分析，算法上的錯誤往往是因為對算理的不理解。試想，如果學生能明白：8乘百位上的4得到的32，表示的是32個百即為“3200”，相信也就不會出現這樣的錯誤了。

值得特別強調的是，對于學生數學錯誤原因的分析和診斷，必須建立在從學生的角度出發的基礎之上，教師要想辦法了解學生真實的思維過程，明確學生真正的困難所在。當教師對于學生的思考路徑、產生困難的地方無法做出準確判斷時，最直接的方式可以找出錯的學生進行面對面的訪談。在對話中了解到學生真實的想法。

比如，在三年級學習小數的計算過程中，有學生出現這樣的計算錯誤（如圖3）：

十分位上的2是如何算出來的？起初老師也百思不得其解，后來找來這位同學詢問，才明白原來她是受到了前面學習時間計算的影響，從個位借1當了60（1時=60分），用73（13+60）減去44算出了29。因為學生還沒有學習小數的計數單位，所以教師在明白了學生錯誤的想法之后，引導學生借助元、角、分理解算理，如果以元作單位，9.13表示9元1角3分，5.44表示5元4角4分。1元=10角，1角=10分，所以應該退1元當10角。學生明白了這個道理，這樣的錯誤也就不再出現了。

鄭毓信說：“如果我們并不真正了解學生在數學學習過程中的思維活動，相應的教學理論就不能說具有堅實的理論基礎。正是關于學習過程中思維活動的深入研究導致了教育思想的根本性變革。”數學錯誤的分析與診斷活動正是基于學生認識的一種有意義的教學活動。新課程改革突出強調了“義務教育階段的數學課程不但要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律”。教師的備課不僅要備教材，更重要的是備學生，了解學生的思維活動。學生在學習過程中犯錯是其對數學知識不斷理解和建構的必經過程。數學錯誤的分析能夠幫助老師在分析和理解教學內容的過程中主動傾向對學生思維的了解，幫助教師進一步“讀懂學生”。

三、重視評錯效果跟蹤，讓教師的教更適應學生的學

通過對學生錯誤的分析，可以暴露錯誤思維的過程，特別是可以把學生走過的彎路以及犯錯誤的過程毫不掩飾地暴露出來，為采取多種方法改錯提供前提保證。錯題在進行分享評議之后，教師還要注意后續效果的跟蹤。這一點往往被許多教師所忽略。有些老師認為自己上課時既然已經講解了這個錯誤，學生就應該理解了，不會出錯了。但是事實是，學生對于知識的接受能力是有差異的，對同一個錯誤的理解也是有差異的，在進行評錯的過程中還會受到諸多非智力因素，比如聽講習慣、情緒波動等的影響。即使學生們都很認真地參與了學習，但是教師的教學方式是否適應學生的理解，是否真正能夠幫助學生理清思路，在認識到錯誤原因的基礎之上有效地改錯，形成自身穩定的知識與能力。這些，只有通過后續效果的跟蹤才能了解到。

最初的評錯，多數學生把錯誤原因歸結為審題不清，題目的要求是畫出長方體的另外四個面，而不是把長方體畫完整。接下來，學生也介紹了完成此題的方法與過程。有學生說：有兩個面和這兩個面是完全一樣的，另外的四個面分別是6㎝×4㎝的兩個和3㎝×3㎝的兩個。還有學生說：通過畫好的兩個面，可以看出，這個長方體的長、寬、高分別是6㎝、4㎝和3㎝，畫的時候只需要選取任意兩個數相乘即可。

雖然題目的呈現方式發生了變化，但是我覺得此題所考查的內容與上面一個錯例是相同的，都需要學生運用對長方體面的特點的認識，借助一定的空間想象能力和對數據的觀察能力還原、補充這個長方體完整的表象。同樣是一道難度較大，具有一定數學思考含量的題。隨后我對這道題的完成情況進行了統計，結果是仍有14名學生在這道題上出錯，占到了全班人數的26.4%。隨機訪談5位選擇正確的學生，3位學生是根據數據特點進行選擇，只有2位學生能夠結合長方體面的特征進行描述和選擇。這說明，學生并沒有真正理解這道（類）題的“來龍去脈”。此題需要學生掌握長方體面的特征并具備一定的空間想象能力。從對此題完成效果的數據統計中，我意識到第一個錯例在評議時可能只注意到優等生簡潔思維的呈現，而忽視了此類題的本質，即對長方體面的特點的把握和學生空間想象能力的考查。空間觀念的提升僅依靠分析數據是不夠的，隨著題目難度的增加，數據的排布更需要依靠空間表象來理解。于是，我嘗試進行了第二次評錯。

師：長方體的6個面有著怎樣的特點？

（出示長方體展開圖，說一說長度上有著怎樣的特點，為什么具有這樣的特點？）

師：現在這里已經畫好了4個面（指第2個錯例），你能將它們組合在一起嗎？

師：4個面已經組合好了，那么剩下的兩個面應該是幾×幾的呢？

（展示學生作品：）

師：再想象一下，把你畫的這個展開圖折疊起來，能圍成長方體嗎？圍成一個怎樣的長方體？

師：下面的三組數據，應該選擇哪一組呢？請結合剛才畫圖的過程說一說你的想法。

過了3天，我又給學生編制了一道類似的新題交給學生完成。完成情況非常好，更加值得欣慰的是，學生能夠借助直觀圖來幫助自己理解，思路清晰準確。由此例可見，即使找準了錯誤的原因也不一定能夠找到消除錯誤的有效辦法。通過評錯效果的跟蹤，能夠幫助教師對自己的教學效果進行判斷，引發教師去不斷思考、不斷嘗試不同的教學方式和手段，從而找到真正適應學生學的有效教學方式。

全班性的評錯效果跟蹤與調整在一定程度上能夠幫助到大多數學生，但是由于學生能力的差異，教師還應適當安排對個別學生的評錯效果跟蹤，以點帶面，了解到學生真實認知情況。這樣做不僅能夠幫助到教師個別跟蹤的對象，其實對于教師了解更多學生學習數學的狀態也是很有幫助的。對于錯誤的訂正不能操之過急。由于學生不同，錯誤的原因也可能有所差別。因此，對于學生錯誤的糾正可能需要區別對待，教師要有效地針對學生的錯誤原因對學生加以引導。在不斷調整與適應的過程中，可以幫助教師更準確地認識到學生錯誤的思維過程，找到適應學生理解的學習方式與方法，對于教師不斷改進自己的教學使之更貼近學生的學起到很好的指導作用。

在糾錯與效果的嘗試與跟蹤的過程中，筆者也感覺到，看似相對獨立的一個個錯誤，其實也會有著許多內在的聯系。在進行錯誤研究的過程中，如果能夠進行系統、類型化的整理與分析，對于教師后續教學的指導意義將更大。

比如，通過對大量關于簡算錯誤的分析，會發現很多時候由于小學生的視、聽知覺的選擇性，所接受信息的強弱程度影響他們的思考。強化了的信息在學生的頭腦中留下深刻的印象，有時會起到負干擾的作用。如下面的三題：

如果教師明白了這一點，在組織簡算教學過程中，可以有意識增加此類習題的辨別，即使出現了這樣的錯誤，也能用理性的態度和更加寬容的心態看待和處理，幫助學生逐步提高強信息負干擾的抗擾能力。

作為一名小學數學教師，如果不對學生的錯誤充分講解，僅簡單告訴學生正確的答案，這是低水平階段。如果教師對學生出現的錯誤透徹講解，并分析原因，比較注重學生的學習過程。但是教師這樣的行為只處于間斷狀態，也就是碰到一個錯誤解決一個錯誤，這僅僅是合格水平階段。如果教師處理錯誤不僅遇到一個解決一個，還有意識地把這種間斷行為變成連續行為，不斷積累學生的錯誤案例，擁有自己的錯誤案例資源庫。還可以在適當時，為學生創設錯誤情境，利用錯誤案例進行有效教學，這是高水平階段。

有一首詩這樣寫道：年年歲歲花相似，歲歲年年人不同。其實也可以隱喻錯誤與學生的某種關系。雖然，每一屆的學生不一樣，但是由于處在同一學段的學生在年齡特點、認知規律、生活與學習經驗等方面的相似，所產生的錯誤也一定是具有相似性的，是可以按一定的預期方式產生的。如果教師和學生能夠主動地去認識錯誤，了解錯誤產生的原因，并對其加以利用，錯誤就會變成教師和學生學習的有效資源。如果教師能夠基于錯誤分析有意識去設計相應的應對策略并通過不斷的效果跟蹤使之不斷成熟，無疑對教師的教學工作能起到很明顯的助力作用。

（作者單位：江西省九江市雙峰小學）

責任編輯：宋顯慶

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