空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

賀新祿

【摘要】立體幾何在高中數(shù)學(xué)中的地位是舉足輕重的，幾何圖形能夠鍛煉學(xué)生的空間思維能力以及邏輯推理能力，面對幾何傳統(tǒng)的處理方式就是”以形到形“的辦法，這個方法對學(xué)生的空間想象能力提出了一定的要求，具有一定的難度，由于向量的引入，給立體幾何帶來了新的陽光，降低了幾何的難度，讓學(xué)生面對幾何輔助線時不再一籌莫展。

【關(guān)鍵詞】空間向量 立體幾何 應(yīng)用

【中圖分類號】G633.63 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0130-02

引言：在高中數(shù)學(xué)中，向量既有代數(shù)的抽象也有幾何的直觀，其中的“數(shù)”與“行”完美結(jié)合的特點使得我們可以運用向量解決立體幾何中某些復(fù)雜的問題。正因為有向量的知識，解決立體幾何一類的問題的時候就可以彌補部分同學(xué)在空間想象能力不足的缺陷，這在一定程度上降低了立體幾何的做題難度。

一、向量在立體幾何中的作用

空間向量是高中數(shù)學(xué)教材中后來添加的新內(nèi)容，它的功效就在于能夠取代之前在傳統(tǒng)教材中的地位，從目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直問題，角度問題，以及法向量之間的計算應(yīng)用問題等。

1.空間向量的作用

（1）證明垂直，面對線面垂直以及面面垂直的問題的時候，在算出法向量的基礎(chǔ)上，通過證明直線平行于法向量即可得出結(jié)論；還有想要證明面面垂直的結(jié)論，證明出兩平面的法向量是垂直的，即可得出最終的結(jié)論。

（2）計算角度，求二面角的精髓就在于轉(zhuǎn)換兩個法向量之間的角度來計算；立體幾何中的平行問題是通過向量的基本定理進(jìn)行驗證的。

2.平面法向量

（1）法向量，指的是與已知平面垂直的向量值，這個是可以根據(jù)坐標(biāo)位置的確定有多個的，就我們使用的經(jīng)驗來講一般是選擇最為方便的那個來操作的。

（2）法向量的計算，根據(jù)一般情況建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)軸，假設(shè)所知平面的法向量為m（a，b，c），在所在平面內(nèi)找到兩個相交的直線S，T，同時運用法向量來定義他們。因為法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量點乘為零列出方程組。由于有三個未知數(shù)a，b，c，通常是假設(shè)其中一個是較特殊的值，再求出另外兩個的值。

二、向量在立體幾何中的實際運用

空間向量作為新鮮血液，解決幾何問題時更具優(yōu)勢，解題者思維能清晰明了。這樣的方法不僅節(jié)省時間還能夠簡單地解決問題。

1.立體幾何的證明和計算問題

主要分成二大板塊：位置問題和度量問題。位置問題就是線線，線面之間的關(guān)系等；度量關(guān)系就是線線之間，線面之間的角度問題。

（1）證明問題

1）假設(shè)在一個空間里有任意的一點O點，以及和O點不共線的E，F(xiàn)，G三點，假如：（其中x+y+z=1），則四點M，E，F(xiàn)，G共面。

2）使用向量的代數(shù)運算證明M//N，M⊥N，運用向量的方法求出直線之間的夾角，實質(zhì)就是兩條直線之間的向量運算問題，通過基本定理來得出結(jié)論。

3）求出需要證明線面垂直的有效法向量即可得出有效結(jié)論；同理可知，如果想要證明面與面之間的垂直，只需要證明所知的兩個平面的法向量垂直即可。

（2）平面法向量的計算問題

法向量是向量運算中最基本，也是最關(guān)鍵的單位元素，一般而言，需要權(quán)衡是否簡便地求出已知數(shù)據(jù)的向量值，然后再采用一系列類似坐標(biāo)軸的方法展開計算。1）計算出基本的法向量之后，需要求出已知直線與所在平面之間的夾角，關(guān)鍵就在于求出直線和法向量之間的夾角；如要求二面角大小，只需求出兩個平面的法向量所成的角。例：二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這二面角的兩個平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=二倍根號17，求二面角的大??？ 解：因為AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4，AC=6，BD=8，CD=2√17， 過A作AE//BD，使AE=BD，連接CE，DE，所以AB⊥面ACE，∠CAE就是二面角的平面角，為CE=√（CD^2-DE^2）=√（68-16）=2√13 ，由余弦定理cos∠CAE=（AC^2+AE^2-CE^2）/（2AC·AE）=（36+64-52）/（2×6×8）=1/2，利用余弦定理計算出二面角60°。

2）計算線與面的關(guān)系，關(guān)鍵就在于建立合適的坐標(biāo)系。要想正確設(shè)置已知點的坐標(biāo)，首先盡量找到垂直與所在面的向量；假如找不到的話，那么就設(shè)n=（m，n，k）然后根據(jù)計算方便，取k（或m或n）等于一個數(shù)，然后就求出面的一個法向量；求點到平面的距離就是求出該面的法向量，然后在平面上任取一點，求出平面外那點和你所取的那點所構(gòu)成的向量記為n1，點到平面的距離就是法向量與n1的數(shù)量積的絕對值除以法向量的模即得所求。

三、向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)反思

利用向量法的主要方式有：（1）代數(shù)式（2）坐標(biāo)式。一般來講，坐標(biāo)式運算便于學(xué)習(xí)；當(dāng)然我們也可以運用代數(shù)式來解決問題，但是代數(shù)式的要求比較高，更具備高技巧。坐標(biāo)式更具實用性，簡要介紹一下解題步驟：

（1）坐標(biāo)式向量法的解題步驟；

首先建合適的坐標(biāo)軸，基本要求就是需要使用經(jīng)過同一點的兩兩垂直的三條直線，從右邊開始建坐標(biāo)系，坐標(biāo)和坐標(biāo)系的方向記得要嚴(yán)格保持一致。其次，仔細(xì)標(biāo)記坐標(biāo)點，準(zhǔn)確標(biāo)記需要的點的坐標(biāo)。再接著寫出所需要的向量坐標(biāo)，必須要終始點的坐標(biāo)。然后按照熟記的計算公式計算問題得出結(jié)論，并且仔細(xì)檢查。

（2）向量法能解決立體幾何的所有問題嗎？

答案當(dāng)然是否定的，在數(shù)學(xué)的世界里面，只有最合適的解決辦法，沒有絕對萬能的解決方案解決所有問題，我們要做到“擇優(yōu)而選”，由此分成三步：

第一步，如果此步運用傳統(tǒng)的“以形到形”的方法更加簡單，那就不用考慮空間向量的辦法。

第二步，當(dāng)使用傳統(tǒng)的辦法遇到問題的時候，看到當(dāng)時的圖形又可以并且方便使用空間直角坐標(biāo)系的話就可以考慮使用空間向量的辦法解決問題。

第三步，運用綜合法解決有困難，而圖形又不容易建立空間直角坐標(biāo)系，那也可以用空間向量的代數(shù)式運算來解決問題，不過這個方法對于大部分的學(xué)生而言難度不亞于綜合法。

四、結(jié)束語

作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的新鮮知識之一的空間向量法已經(jīng)慢慢滲透到立體幾何的解題中了，成為立體幾何中不可或缺的重要工具之一。

參考文獻(xiàn)：

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