基于壓縮耗能假設的黏彈性夾芯梁的橫向振動

黃志誠， 秦朝燁， 褚福磊

(1.清華大學 機械工程系，北京　100084; 2.景德鎮陶瓷學院 機電學院，江西 景德鎮　333000)

基于壓縮耗能假設的黏彈性夾芯梁的橫向振動

黃志誠1, 2， 秦朝燁1， 褚福磊1

(1.清華大學 機械工程系，北京100084; 2.景德鎮陶瓷學院 機電學院，江西 景德鎮333000)

摘要：建立了一種新的有限元模型用于研究三層黏彈夾芯梁的橫向振動。該模型第一層為約束層，中間層為黏彈性層，第三層為基梁層。將約束層和基梁層視作歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁，假定黏彈性層承受橫向拉壓變形。拉壓應變來源于約束層和基梁層的橫向相對運動，并且黏彈性層的橫向位移被假定為約束層和基梁層位移之間的線性插值。為了驗證該有限元模型的有效性，將其與實驗結果和幾種解析模型進行了對比，結果證明該有限元模型對夾芯梁結構固有頻率的預測具有良好的精度，但對損耗因子的預測精度上有待提高。

關鍵詞：梁的橫向振動；壓縮阻尼； 黏彈夾芯梁；有限元; 損耗因子

圖1　PCLD梁結構Fig.1 Schematic drawing of PCLD beam

在構件上附加黏彈阻尼材料可以有效地抑制其振動和噪聲。常用措施是構造黏彈夾芯復合結構，即在構件上粘貼一層高阻尼的黏彈材料為芯層，然后再在黏彈材料上覆蓋一層彈性材料(常為金屬材料)，稱之為約束層[1-2]。圖1所示為一種典型的三層黏彈性夾芯梁結構。黏彈性層夾在兩個彈性表面層中間，三層依次為約束層、黏彈性層和基梁層。當基梁在外力作用下產生振動時，在約束層的共同作用下，黏彈性層會產生相應縱向剪切或者橫向拉壓變形，這種變形會耗散基梁的振動能量，達到減振降噪的目的。所以這種結構又被稱為“被動約束層阻尼(Passive Constrained Layer Damping，PCLD)梁”。這種包含黏彈材料的復合減振結構成本低，可靠性高，減振效果好，且沒有非常顯著地改變結構自身的質量和剛度，所以應用非常廣泛。

目前黏彈性層的耗能模式主要有兩種假設：剪切耗能假設和壓縮耗能假設。前者認為當約束層和基梁層的相對運動是與梁中性面相互平行時，黏彈性芯層就會產生剪切變形來耗散能量；而后者認為當約束層和基梁層的相對運動是與梁中性面相互垂直時，黏彈性芯層就會產生壓縮/拉伸變形來消耗能量。到底哪種耗能模式最接近真實情況目前還存在爭議。絕大多數的研究采用的是剪切耗能假設，他們認為黏彈夾芯結構同一橫截面上所有點的橫向位移是相同的，所以黏彈性層不存在壓縮/拉伸變形。如早期的Kerwin等[3-4]用簡化的復模量模型對三層夾芯梁結構進行了理論分析，認為黏彈性層是不可壓縮的， Ditaranto等[5-7]擴展了Kerwin的工作，他們分別推導出了著名的PCLD梁的六階微分方程，也是基于剪切耗能假設。后來眾多學者如Johnson等[8-12]發展了黏彈夾芯梁的有限元方法，仍然是基于剪切耗能假設。

20世紀70年代后期，Douglas等[13-14]通過實驗證明了黏彈夾芯梁中壓縮阻尼的存在，他們還基于壓縮耗能假設建立了黏彈夾芯梁的解析模型，忽略了黏彈性層的剪切變形。他們認為在以黏彈性層的壓縮共振頻率為中心的一個狹窄頻段內，壓縮阻尼是主要的阻尼形式。但他們的工作在當時并沒有引起人們的重視。20世紀90年代后期，Lee等[15]基于壓縮耗能假設對黏彈夾芯結構進行了研究。隨后Sisemore等[16-17]對懸臂黏彈夾層梁結構進行了較深入的研究，不僅從實驗上證明了壓縮阻尼的存在，還基于壓縮耗能假設建立了PCLD梁結構的解析模型，該解析模型能較好地預測PCLD梁結構的共振頻率，但不能很好地預測損耗因子。

從文獻調研的結果來看，在黏彈性夾芯結構振動問題中，剪切耗能假設研究的較為深入，解析模型和有限元模型都非常多。而壓縮耗能假設研究的還不夠深入，解析模型比較少，特別是基于壓縮耗能假設的有限元模型尚未見褚文獻。由于黏彈材料獨特的材料特性，解析法在求解黏彈性夾芯結構的動力學方程中往往涉及到在復數域內求解高階非線性方程組，導致計算上的困難,往往很難解決工程實際問題。而用有限元方法來研究、計算黏彈性阻尼結構的動特性，可以很方便地處理各種結構形式和邊界條件，并利用計算機迅速地得到滿足工程精度要求的數值解，因此研究黏彈夾芯結構的有限元壓縮模型在工程應用上是非常有必要的。

針對黏夾芯梁振動領域中剪切耗能研究較充分而壓縮耗能研究較少，且壓縮耗能研究中只有解析模型而少有有限元模型的不足，提出了一種新的黏彈夾芯梁的有限元模型。該模型基于壓縮耗能假設。在建模的過程中認為能量耗散是由黏彈性層的橫向拉壓變形引起的，黏彈性層的橫向位移為約束層和基梁層橫向位移之間的線性插值。最后通過與解析解和實驗值的對比來驗證該有限元模型有效性，得出了一些有益的結論。提出的有限元模型及結論對黏彈復合結構動力學參數的設計和預測有一定的工程價值。

1有限元建模

1.1基本假設

① 結構阻尼僅由黏彈性夾芯層的橫向壓縮/拉伸變形引起；② 約束層和基梁視作歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁；③ 考慮黏彈性層垂直于梁中性面方向的壓縮變形,認為基梁層、阻尼層、約束層有不同的撓度函數。④ 忽略各層轉動慣量的影響；⑤ 各層材料之間粘貼牢固，層間無相對滑動；⑥ 黏彈性層材料僅在線黏彈性范圍內討論。

1.2形函數

基于上述假設，建立PCLD梁結構的單元如圖2所示。該單元由三層結構組成，從上到下依次為約束層，黏彈阻尼層和基梁層，相應厚度分別為：hc,hv,hb。單元為一維兩節點梁單元，長度為le，每個節點有4個自由度, 分別為：約束層橫向位移和轉角，基梁層橫向位移和轉角。

圖2　被動約束層阻尼梁單元Fig.2 The element of the PCLD beam

單元節點的位移矢量為

(1)

單元內任一點的位移可以由單元的8個節點位移通過插值法唯一確定。

(2)

其中[N]為對應于單元4個位移分量的形函數矩陣，是四行八列形式，其表達式為：

(3)

式中：

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

將式(3)代入式(2)可得到用形函數表示的單元4個位移分量為：

wc=[N1]{Δe}

(5a)

θc=[N2]{Δe}

(5b)

wb=[N3]{Δe}

(5c)

θb=[N4]{Δe}

(5d)

對黏彈性層而言，其橫向位移和橫向壓縮量分別表示為：

(6a)

χv=wc-wb

(6b)

用形函數表示可得：

wv=[N5]{Δe}

(7a)

χv=[N6]{Δe}

(7b)

式中

(8a)

[N6]=[N1]-[N3]

(8b)

1.3PCLD梁單元能量表達式

1.3.1單元勢能

(1) 約束層

根據前面的假設，約束層的運動為橫向運動(彎曲)，其相應的勢能稱為彎曲勢能：

(9)

式中,Ec和Ic分別是約束層的楊氏模量及慣性矩， [Kbc]為單元約束層的彎曲剛度矩陣。應用形函數，可得

(10)

(2) 基梁層

基梁層的彎曲勢能為:

(11)

式中,Ib是基梁的慣性矩，EbIb是基梁的抗撓剛度，[Kbb]為單元基梁層的彎曲剛度矩陣。應用形函數，可得:

(12)

(3)黏彈層

黏彈性層發生橫向壓縮或者拉伸以耗散能量，所以黏彈性層的勢能為拉壓勢能，可以將其看做一個彈簧，其表達式為：

(13)

式中Ev為黏彈性層的楊氏模量，常用復模量模型來表示：即Ev=E0(1+iηv)，式中E0為拉壓復模量的實部，由實驗得到，ηv是黏彈性材料的損耗因子，它們一般與頻率有關。b為梁寬度，[Kv]為單元黏彈性層的剛度矩陣。應用形函數表示可得：

(14)

所以，單元總勢能為：

U=[Ubc]+[Ubb]+[USv]

(15)

單元總剛度矩陣為各層剛度矩陣之和

[Ke]=[Kbc]+[Kbb]+[Kv]

(16)

1.3.2單元動能

(1) 約束層

約束層與彎曲運動相對應的彎曲動能表達式為：

(17)

式中，ρc和Ac分別為約束層的密度和橫截面積，[Mbc]為約束層的彎曲質量陣。應用形函數可得：

(18)

(2) 基梁層

同理，基梁層的橫向運動動能為:

(19)

式中，ρb和Ab分別為基梁層的密度和橫截面積，[Mbb]為基梁層的質量陣。應用形函數可得：

(20)

(3) 黏彈層

(21)

式中，ρv和Av分別為黏彈性層的密度和橫截面積，[Mbv]為黏彈性層的質量陣。應用形函數可得：

(22)

所以，單元總動能為：

T=[Tbc]+[Tbb]+[Tbv]

(23)

單元總質量矩陣為各層質量陣之和

[Me]=[Mbc]+[Mbb]+[Mbv]

(24)

1.4PCLD梁的動力學方程

求出動能和勢能的表達式之后，根據哈密爾頓(Hamilton)原理的變分形式可導出單元的動力學方程：

(25)

按有限元單元組裝的方法將單元的質量陣和剛度陣組裝后可得三層梁的整體動力學方程

(26)

式中M是夾層梁的總質量陣，K是總剛度陣，R是系統所受激勵力。

導出PCLD梁的動力學方程式(26)后，求解其特征值問題即可得到其固有頻率和損耗因子。

式(26)的特征值問題為[11]：

([K]-ω*2[M]){Δ}=0

(27)

式中，ω*為PCLD梁復特征頻率。

求得復特征頻率后，PCLD梁的固有頻率和損耗因子可以由下式計算[10]：

(28)

2PCLD梁單元離散及收斂性

2.1PCLD梁結構有限元離散

在求解PCLD梁的動力學方程式(26)之前需要確定其總質量陣和總剛度陣。這就要對PCLD梁進行有限元離散。所用單元即為圖2所示的一維2節點復合梁單元。單元離散示意圖如圖3所示。該圖將PCLD梁離散成31個節點30個單元。按一般有限元單元組裝法對總共30個單元組裝后即可求得總質量陣和總剛度陣。

圖3　PCLD梁結構有限元離散示意圖Fig.3. The finite element discrete of the PCLD beam

2.2單元的收斂性試驗

單元的收斂性是有限元的一個重要性能，直接關系到是否能得到收斂解和計算時使用合適的單元數目以同時得到滿意解和兼顧計算機時。此處收斂性試驗的目的是測試有限元單元數目大小對計算結果的影響。當單元數目增加而結果變化不明顯(即趨于一個穩定值)時，就認為計算結果是收斂的，或者說是對結構的真實反映。如果有限元單元數目增大過程中，計算結果一直存在很大的波動，就說明單元不收斂，也就無法得到合理的有限元解。

為了考察本文有限元模型的收斂性，即討論離散單元數目對結果的影響，也就是要討論到底需要多少單元來離散才合適。因為單元數目過少可能導致結果不收斂，單元數量過多會導致單元組裝和方程求解工作量的增大。為此，設計一個簡單的算例試驗來研究這一問題。

假設如圖3所示的PCLD梁。其長度為300 mm，寬度為30 mm。約束層，黏彈性層和基梁層的厚度分別為2 mm，3 mm和5 mm。各層材料參數取自文獻[12]，即約束層，基梁層，黏彈性層的彈性模量分別為69 GPa，69 GPa，0.017 9 GPa,；密度分別為2.766×103kg/m3，2.766×103kg/m3，968.1 kg/m3；材料泊松比均為0.3。設黏彈材料損耗因子為1.0。采用本文推導的2節點8自由度梁單元對該PCLD梁結構進行離散，單元數目分別為3，5，10，15，20，25，30，35，40。計算得到的固有頻率和損耗因子隨單元數的變化分別如圖4和圖5所示。

圖4　單元數目對PCLD梁固有頻率的影響Fig.4 The effect of the element number on the first three order natural frequencies of the PCLD beam

圖5　單元數目對損耗因子的影響Fig.5 The effect of the element number on the first three order loss factors of the PCLD beam

從圖4和圖5可以看出該單元具有良好的收斂性。當單元數為5時系統的固有頻率和損耗因子的計算結果即開始有明顯的收斂趨勢，當單元數達到15時各曲線基本沒有變化，可認為達到收斂要求了。

3模型驗證

為了驗證本文有限元模型的有效性，以文獻[17]的實驗數據為標準，分別用本文有限元壓縮模型計算結果和三個解析模型：Sisemore模型[17]、Douglas-Yang模型[13]和Mead-Markus模型的計算結果進行對比。這些模型的區別在于：前兩個解析模型均是基于壓縮耗能假設，第三個解析模型是基于剪切耗能假設，而本文模型是基于壓縮耗能假設的有限元模型。

Sisemore[17]為研究黏彈夾芯梁的壓縮阻尼，對九根不同厚度的懸臂黏彈性夾芯梁進行了實驗并用壓縮解析模型進行了求解。表1給出了黏彈夾芯梁的材料參數，表2給出了各懸臂夾芯梁的厚度參數。所有梁的長度均是314 mm長和25.4 mm寬。

表1　PCLD梁結構的材料和結構參數

黏彈性材料為EAR-C1002，其剪切彈性模量和損耗因子隨著頻率和溫度的變化而變化。它們和頻率的關系表達式[18]為：

G0=44.4-17.6/a N/mm2

(29)

G0為黏彈材料剪切模量的實部，a=0.4+0.000 3f，f為頻率( Hz)。

ηv=1.643-0.602 5z2-0.255 7×10-20/z16+

0.126 0×10-9/z8-0.195 9×10-4/z4

(30)

式中，z=0.05+0.000 475f。

表2　PCLD梁結構的厚度

表3是用本文有限元模型和另外三種解析模型對表2中的九根黏彈性夾芯梁的前兩階固有頻率的計算結果和實驗結果比較。用本文有限元模型計算時，將該PCLD梁結構離散為30個單元。

從表3可以看出，壓縮模型對黏彈夾芯梁的前兩階共振頻率預估精度比剪切模型要好。Sismore模型對第1階固有頻率的預估誤差最小為0.1%，最大為9.7%，平均為4.5%，對第2階固有頻率的預估誤差最小為3.6%，最大為11%，平均誤差為6.9%。Douglas-Yang模型對第1階固有頻率預估誤差最小為1.2%，最大為21%，平均為12.5%，對第2階固有頻率的預估誤差最小為1.3%，最大為11%，平均誤差為6.7%。Mead-Markus模型對第1階固有頻率預估誤差最小為13%，最大為51%，平均為25.7%，對第2階固有頻率的預估誤差最小為14%，最大為51%，平均誤差為31.2%。本文有限元方法對第1階固有頻率的預估誤差最小為2.9%，最大為9.1%，平均為6.1%。對結構第2階固有頻率的預估誤差最小為0.04%，最大為9.4%，平均誤差為4%。

總的來看，在求解本文給定參數條件上黏彈夾芯梁的前兩階固有頻率的解析模型中， Sismore模型的精度最好，其次是Douglas-Yang模型，基于剪切耗能假設的Mead-Markus模型最差。而本文的有限元模型計算結果與Sismore模型非常接近。

根據歐拉梁模型，當基梁沒有附加阻尼層和約束層時，其前兩階固有頻率為53 Hz和333 Hz。加了黏彈性層和約束層后，夾芯梁的剛度和質量均增加，前者會導致固有頻率的增加，后者會導致固有頻率的下降。從表3的實驗結果可以看出，加了約束層和黏彈性層之后固有頻率比基梁的固有頻率低，這說明質量的增加對固有頻率的影響占主導地位，這是因為黏彈性層的質量和彈性層的質量是同一數量級，而其剛度卻比彈性層要小三個數量級，所以質量的影響要大于剛度的影響。從這一點來看，基于剪切假設的Mead-Markus模型的計算值均大于基梁的固有頻率，這說明剪切模型高估了剛度的影響，與實際不相符。而壓縮模型顯然更符合實際。

表4是各模型對黏彈夾芯梁的阻尼比的預估精度與實驗值的比較情況。整體來看，所有的模型對阻尼比的預估精度均不大理想，但仍能從中看出一些規律：在對1階固有頻率對應的阻尼比的預估中，壓縮模型只對3、6、9梁的預估比較好。這三根梁有個共同點就是約束層相對較厚，與基梁厚度相同，且在這種情況下黏彈性層越厚，預估精度越高。這是因為當約束層越厚，其剛度越大，在振動的時候黏彈性層就越不容易使其產生彎曲變形，換句話說，這時候黏彈性層就越容易被橫向壓縮和拉伸，且黏彈性層越厚，壓縮耗能效應越明顯。而剪切模型對第1階固有頻率對應的阻尼比的預估誤差均在100%以上，顯然它高估了黏彈夾芯梁的阻尼比，這種高估會在工程實際中帶來比較大的問題。在對2階固有頻率對應的阻尼比的預估中，壓縮模型是完全失真了，而剪切模型的預估精度卻比較高，平均低于25.6%。這是因為在第2階固有頻率下，黏彈夾層梁的剪切耗能模式占主導地位，壓縮阻尼耗能次之。這也顯示了黏彈夾芯梁阻尼耗能模式的復雜性，其不但與結構的各層厚度有關，也與結構的振動模態相關。目前還沒有一種耗能模式能完全適用所有的模態。但就模型驗證而言，本文有限元模型計算結果與文獻[17]中Sismore模型是非常吻合的。

表3　PCLD梁結構的前兩階模態對應的固有頻率

表4　PCLD梁結構的前兩階模態對應的阻尼比

上述算例中，梁的厚度比較厚，為了更好的探索壓縮阻尼模型的適用情況，下面再引入一個薄壁黏彈夾芯梁的算例[19]。這一算例廣泛用于剪切模型驗證，公認程度比較高。該梁的材料和結構參數如表5所示。

表5　薄壁PCLD梁結構的材料和結構參數

表6和表7分別為本文有限元模型和經典的六階剪切模型對該黏彈夾層梁的前三階固有頻率和損耗因子求解的比較情況。

表6　PCLD梁結構前三階模態對應的固有頻率

表7　PCLD梁結構前三階模態對應的損耗因子

從表6和表7的計算結果可以看出，本文壓縮模型對薄壁梁的固有頻率和損耗因子的預估誤差都非常大，這是因為在薄壁梁中，由于基梁和約束層都比較薄，容易發生彎曲變形，不足以使黏彈性層產生足夠的壓縮變形，故在這種情況下，耗能模式主要是剪切耗能，此時再用壓縮耗能模式是不符合實際的。

4結論

基于壓縮耗能假設建立了一種新的PCLD梁有限元模型并研究了其振動和阻尼特性。該有限元單元為三層二節點梁單元，每個節點4個自由度。建模時認為黏彈性材料是可以壓縮的且PCLD梁的阻尼是由黏彈性層的橫向壓縮/拉伸引起。為了驗證該有限元模型的有效性，引入了兩個算例，將其與實驗結果和幾種解析模型進行了對比，得出以下結論：

(1) 本文有限元模型能很好地計算本文給定參數的PCLD梁結構的共振頻率，但對損耗因子的預測精度上有待提高。

(2) 本文有限元模型和解析模型解吻合的非常好。

(3) 剪切模型和壓縮模型各有自己適用的條件，其與各層厚度和模態有關。總的來說剪切耗能假設更適用于PCLD薄壁梁；壓縮耗能假設適用于基梁和約束層稍厚，剛度較大不易彎曲的PCLD梁。

(4) 當PCLD梁的表面層厚度過大時，現有的壓縮模型和剪切模型均不能很好地預估其阻尼，這是因為當梁的厚度達到一定程度時，再看成Euler-Bernoulli梁已經不合適了，應該將其視作Timoshenko梁更佳。所以在這種情況下對阻尼的預估還需要有進一步的研究。

參 考 文 獻

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Transverse vibration of viscoelastic sandwich beams based on the compression dissipating energy assumption

HUANG Zhi-cheng1,2, QIN Zhao-ye1, CHU Fu-lei1

(1. Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen 333000，China)

Abstract:A new finite element model was developed for analyzing the transverse vibration of three-layer viscoelastic sandwich beams. The first layer is the constraining layer, the mid-layer is the viscoelastic core and the third layer is the base beam. The constraining layer and the beam were treated as the Euler-Bernoulli beam. The viscoelastic core was assumed to withstand the tension and compression in the transverse vibration. The compressive strain of the viscoelastic layer comes from the relative vibration of the constraining layer and the base beam, and the displacement of the viscoelastic layer was assumed to be a linear interpolation of the displacements between the constrained layer and the beam. The results by the present finite element model were compared with the experimental results as well as the results by several analytical models to verify its validity. The results show that the finite element model can predict the resonant frequency accurately, but the prediction accuracy of the loss factor needs to be improved on.

Key words:transverse vibration of beam; compression damping; viscoelastic sandwich beam; finite element method; loss factor

基金項目：國家自然科學基金(11272170；51321092)

收稿日期：2015-03-09修改稿收到日期：2015-05-14

通信作者褚福磊 男，博士，教授，博士生導師，1959年出生

中圖分類號:HB53

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.030

第一作者 黃志誠 男，博士生，講師，1978年生