基于里茲法研究復合材料層合板的動力屈曲問題

李　楠 ， 韓志軍 ， 路國運

(1. 太原理工大學 力學學院，太原　030024; 2. 太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原　030024)

基于里茲法研究復合材料層合板的動力屈曲問題

李楠1， 韓志軍1， 路國運2

(1. 太原理工大學 力學學院，太原030024; 2. 太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原030024)

摘要：考慮應力波效應，引用棣莫弗公式與里茲法結合來研究復合材料板的動力屈曲問題。設板的試函數為含有時間項的三角函數形式，通過對試函數奇偶性的判斷得出有效的動力屈曲解。應用棣莫弗公式對控制方程進行化簡，通過對化簡所得的微分方程解的討論，得出了應力波反射前復合材料層合板的臨界動力屈曲載荷表達式,并探討了不同鋪層角度對于臨界動力屈曲的影響。將里茲法獲得的屈曲載荷值曲線與分離變量法所得的曲線進行對比,兩條曲線幾乎完全重合，同時應用ABAQUS有限元軟件對不同角度下復合材料層合板進行動力屈曲模擬，將臨界屈曲載荷模擬值與里茲法得出的理論值進行對比，二者誤差不超過百分之五，說明棣莫弗公式與里茲法結合可有效應用于復合材料板動力屈曲的研究。

關鍵詞：棣莫弗公式；里茲法；應力波；臨界動力屈曲載荷

復合材料層合板以其高比強度、高比剛度等諸多優點被廣泛應用于航空、航天、軍工、機械等領域，由于板結構在工作過程中存在動力載荷作用下的屈曲現象，如航天器翼板結構在升空中遭受的沖擊載荷作用，軍事目標物存在的炮彈沖擊屈曲問題，因此針對復合材料板的動力屈曲研究已成為工程部件設計、研究的關鍵性問題[1-3]。Shariyat[4-6]在其一系列文章中提出了一種雙疊加高階global-local理論來研究有缺陷復合材料板、黏彈性復合材料板在熱-力載荷作用下的動力屈曲與后屈曲問題。Czechowski等[7-8]研究了均勻溫度載荷與動力軸向壓力作用下復合材料功能梯度板的動力屈曲問題，研究假定材料特性在板厚范圍內均勻變化且不依賴于溫度的影響。秦建兵[9]在考慮應力波效應的前提下使用分離變量法求出了復合材料層合板的臨界動力屈曲解，但只局限于對稱屈曲的情況。張小波[10]采用有限元軟件對正交各項異性蜂窩材料壁板的動力屈曲性能進行研究，討論了沖擊載荷類型、壁板幾何尺寸、鋪層等因素對動力屈曲的影響。

目前針對動力屈曲的求解方法有分離變量法[9, 11-12]、雙特征參數法等。本文考慮應力波效應，將棣莫弗公式與里茲法結合來研究軸向階躍載荷作用下的復合材料板的動力屈曲問題。設板的試函數為三角函數與時間項相乘的形式，通過函數奇偶性判斷得出滿足不同邊界條件和波陣面約束條件的準確試驗函數形式。基于棣莫弗公式對復合材料板的控制方程進行化簡，得出了應力波反射前復合材料板臨界動力屈曲載荷的表達式。應用MATLAB軟件將本法與分離變量法所得的臨界載荷值曲線進行對比，二者幾乎完全重合。同時應用ABAQUS有限元軟件對復合材料板的動力屈曲進行模擬，將本法得到的理論值與有限元模擬值進行對比，二者誤差在允許范圍內，可見棣莫弗公式與里茲法結合可有效應用于復合材料板動力屈曲的研究。

1復合材料板的控制方程

如圖1所示，復合材料層合板在x=0,y=0以及y=b處為簡支邊界條件，在x=a處為固支邊界條件，此類板簡稱為SFSS板；復合材料層合板在x=0處為夾支邊界條件, 在y=0以及y=b處為簡支邊界條件，在x=a處為固支端邊界條件，此類板簡稱為CFSS板。

圖1　SFSS板、CFSS板加載示意圖Fig.1 SFSS and CFSS plate under the axial step load

圖1中軸向階躍載荷作用于板的夾支或簡支端，產生的應力波沿x方向在板中傳播。應力波反射前，層合板中各段的單位軸力為：

(1)

復合材料層合板的本構方程為：

(2)

式中，Aij為拉伸剛度，Dij為彎曲剛度，Bij為彎曲拉伸耦合剛度

對于各向同性對稱層合板、特殊正交各向異性對稱層合板以及正規對稱正交鋪設層合板來說，剛度矩陣D16,D26,A16,A26都為0，而正規對稱角鋪設層合板的D16,D26,A16,A26相對較小計算中可簡化[13-14]。這樣考慮轉動慣量不計軸向慣性，由Hamilton原理可以導出層合板的控制方程，進一步化簡為:

D11wxxxx+(2D12+4D66)wxxyy+D22wyyyy+Nwxx+

(3)

2基于里茲法分析復合材料板的動力屈曲

2.1由函數奇偶性確定復合材料板動力屈曲解

由于里茲法研究動力屈曲的關鍵在于給出試函數的精確性，因此本文通過對試函數奇偶性的判定來得出有效準確的動力屈曲解。以CFSS板為例，假設應力波反射前復合材料板發生動力屈曲，設試函數即屈曲解為：

(4)

式中，n1,n2與m是屈曲模態階數，A與B為相關待定系數。式(4)應滿足CFSS板的邊界條件與波陣面約束條件式(5)與(6)。

(5)

(6)

將式(4)代入式(5)中可得：

(7)

(8)

式中n1=m=(1,2,3…),n2=n1+2

同理可得復合材料SFSS板的屈曲試函數為：

(9)

式中，n1=m=(1,2,3…),n2=n1+1

2.2基于棣莫弗公式化簡板控制方程

由棣莫弗公式(10)可以得出式(11)與(12)

(cosθ+isinθ)n+cos(nθ)+isin(nθ)

(10)

(11)

(12)

由式(11)可以得到

(13)

(14)

進一步化簡式(14)可得微分方程：

(15)

其中

解該微分方程式(15)可知當(α-β)<0時方程解為指數形式，表明運動無界的系統呈現不穩定的狀態。當(α-β)>0時系統圍繞平衡位置做微小擾動，系統處于穩定平衡[11]。當(α-β)=0時為板屈曲臨界狀態，由此可導出應力波反射前復合材料CFSS板臨界動力屈曲載荷表達式為：

(16)

式中，n1=m=(1,2,3…),n2=n1+2

同理可以求出應力波反射前復合材料SFSS板臨界動力屈曲載荷表達式：

(17)

式中，n1=m=(1,2,3…),n2=n1+1

應用文獻[9, 11-12]中分離變量法可以得出應力波反射前復合材料CFSS板與SFSS板臨界動力屈曲載荷表達式：

(18)

其中CFSS板n1=m=(1,2,3…),n2=n1+2

SFSS板n1=m=(1,2,3…),n2=n1+1

3數值計算

本文應用MATLAB軟件對里茲法與分離變量法所得結果進行對比。算例設定層合板長a=0.5 m,板寬b=0.3 m，板厚h=0.005 m,層厚t=0.001 m,材料選取碳環氧樹脂復合材料，具體材料參數如下：

E1=139 GPa,E2=E3=9.4 GPa,μ23=0.33μ12=μ13=0.309 5,G12=G13=4.5 GPa,G23=2.98 GPa，ρ=1 583 kg/m3

圖2與圖3是分別用分離變量法和里茲法在MATLAB軟件中得到的臨界屈曲載荷與臨界屈曲長度的關系曲線圖。

圖2　CFSS層合板臨界屈曲載荷與屈曲長度的曲線圖Fig.2 Relationship between the critical load and length of CFSS plates

圖3　SFSS層合板臨界屈曲載荷與屈曲長度的曲線圖Fig.3 Relationship between the critical load and length of SFSS plates

圖2與圖3表明，不論是SFSS板還是CFSS板，應用里茲法與分離變量法所得出的曲線圖幾乎完全重合。這表明在不考慮剪切效應的情況下，兩種方法在動力屈曲的研究上具有同樣的精度，在本文研究中式(18)多出的有關D22一項相比較前兩項來說對結果的影響非常小可忽略。

圖4是應力波反射前，不同鋪層組的正規對稱角鋪設層合板的臨界動力屈曲載荷值與臨界屈曲長度的關系圖線，層合板鋪層組如圖4所示。

圖4　不同鋪層組合下臨界屈曲載荷值與臨界長度的關系圖線Fig.4 Relationship between the critical load and length with different lay-up angle of composite laminated plates

圖4表明正規對稱角鋪設層合板的臨界動力屈曲載荷值隨臨界屈曲長度的增大而減小，在屈曲臨界長度相同的情況下，臨界載荷則隨著鋪層角度的增大而逐漸減小，并且這種減小趨勢也隨之呈現逐漸遞減的趨勢。

4有限元模擬

應用ABAQUS有限元軟件模擬不同鋪層角度下板的動力屈曲。模型采用ABAQUS/Explicit中的S4R有限元單元(見圖5)，材料選用碳環氧樹脂復合材料, 模擬中在板的夾支或者簡支端作用階躍載荷，使用幅值曲線使載荷在極短時間內達到幅值。應用ABAQUS后處理軟件獲得了板關鍵單元(對稱)上下層應變時程曲線，當層合板未發生動力屈曲時，兩條應變時程曲線始終重合；當板在一定載荷作用下發生動力屈曲時，層合板上下層關鍵單元的應變時程曲線將出現如圖6所示的分叉現象，此時對應的時間(提取了上下層分叉曲線的數據，找出最先出現穩定分叉的時刻點)是臨界動力屈曲時間，其載荷是臨界動力屈曲載荷模擬值。將臨界屈曲時間代入屈曲載荷表達式即可解得臨界屈曲載荷的理論值。

圖5　有限單元模型圖Fig.5 The finite element model of laminated composite plates

圖6　復合材料層合板動力屈曲分叉圖Fig.6 The bifurcation of dynamic buckling on the laminated composite plate

表1是不同鋪層角度下SFSS碳環氧樹脂層合板的屈曲載荷理論值與模擬值的對比表。

表1　SFSS層合板臨界屈曲載荷的理論值與模擬值對比

表1表明理論值與模擬值基本一致，其誤差均未超過5%，在許可范圍內。綜合考慮表1、圖2以及圖3，表明采用里茲法與棣莫弗公式相結合來求解復合材料板的動力屈曲是可行的。

5結論

依據理論研究、MATLAB數值分析以及有限元模擬，本文得出以下結論：

(1) 考慮應力波效應，采用棣莫弗公式與里茲法結合的方法來研究復合材料板的動力屈曲，得出了應力波反射前復合材料層合板的動力屈曲臨界載荷表達式。應用MTALAB軟件將里茲法得出的臨界屈曲載荷表達式的關系曲線與分離變量法得出的表達式的關系曲線進行對比，結果兩條曲線幾乎完全重合，說明新方法具有與分離變量法同等的精度。

(2) 應用MTALAB軟件討論了層合板不同鋪層組對于屈曲臨界載荷的影響，曲線圖表明在臨界屈曲長度相同的情況下，臨界載荷則隨著鋪層角度的增大而逐漸減小，并且這種減小趨勢也隨之呈現逐漸遞減的趨勢。

(3) 應用ABAQUS有限元軟件模擬不同鋪層角度下復合材料板的動力屈曲。將臨界動力屈曲載荷模擬結果與理論結果進行對比，誤差均未超過百分之五，表明采用棣莫弗公式與里茲法結合的方法可以有效應用于復合材料板動力屈曲的研究。

參 考 文 獻

[1] 唐文勇,張圣坤,陳鐵云. 復合材料層合板條的流固耦合動力屈曲分析[J]. 上海交通大學學報, 2000,34(1):46-50.

TANG Wen-yong,ZHANG Sheng-kun, CHEN Tie-yun.Analysis of solid-fluid interaction dynamic buckling of a laminated composite strip[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2000,34(1):46-50.

[2] 彭誠洋. 船舶結構在流-固沖擊作用下的動力屈曲[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2005.

[3] 肖剛. 結構在約束下和動力作用下屈曲的數值模擬[D].上海：上海交通大學，2008.

[4] Shariyat M. Non-linear dynamic thermo-mechanical buckling analysis of the imperfect sandwich plates based on a generalized three-dimensional high-order global-local plate theory[J].Composite Structures, 2010,92(1):72-85.

[5] Shariyat M. A double-superposition global-local theory for vibration and dynamic buckling analyses of viscoelastic composite/sandwich plates: a complex modulus approach [J].Archive of Applied Mechanics, 2011,81(9):1253-1268.

[6] Shariyat M. A nonlinear double-superposition global-local theory for dynamic buckling of imperfect viscoelastic composite/sandwich plates: a hierarchical constitutive model [J]. Composite Structures, 2011,93(7):1890-1899.

[7] Czechowski L,Kowal-Michalska K. Static and dynamic buckling of rectangular functionally graded plates subjected to thermal loading [J]. Strength of Materials, 2013,45(6):666-673.

[8] Kowal-Michalska K,Mania R. Static and dynamic thermo-mechanical buckling loads of functionally graded plates [J]. Mechanics and Mechanical Engineering, 2013,17(1):99-112.

[9] 秦建兵. 復合材料層合板的屈曲及侵徹行為研究 [D]. 太原：太原理工大學, 2013.

[10] 張小波. 復合材料蜂窩結構面外靜、動力屈曲研究[D].武漢：華中科技大學,2013.

[11] 韓志軍. 直桿的撞擊屈曲及其應力波效應的實驗和理論研究[D].太原：太原理工大學, 2005.

[12] 康超. 軸向沖擊復合材料桿的動力屈曲及靜力作用下層合板屈曲研究[D].太原：太原理工大學, 2011.

[13] Reddy J N. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis[M] . Boca Raton: CRC Press, 2004.

[14] 沈觀林,胡更開. 復合材料力學[M].北京：清華大學出版社，2006.

Dynamic buckling analysis of laminated composite plates by using Ritz method

LI Nan1, HAN Zhi-jun1, LU Guo-yun2

(1. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. College of Architecture and Civil Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Abstract:Taking into account the effect of stress wave, the dynamic buckling of laminated composite plates under axial step loading was analysed theoretically by using Ritz method. The trigonometric function including time items was used as a trial function and the effective dynamic buckling solution was deduced by analyzing the parity of trial function. Based on the Abraham de Moivre’s formula, the governing equations of plates were simplified and a differential equation was obtained. Through the discussion of solutions to the differential equation, the critical buckling load can be got and will be reached before the reflection of the stress wave. The influence of plies angle on the critical buckling load was discussed. Comparing the new Ritz method with variable separation method, the critical buckling load curves of both methods are in good coincidence. The dynamic buckling of laminated composite plates with different plies angles were simulated and analysed by using ABAQUS. The maximum error is less than 5 percent and it indicates that the theoretical values are consistent with the simulated ones. The results show that the Ritz method combined with Abraham de Moivre’s formula is effective and feasible.

Key words:Abraham de Moivre’s formula; Ritz method; stress wave; the critical dynamic buckling load

基金項目：國家自然科學基金(11372209);山西省自然科學基金(2010011005)

收稿日期：2015-03-27修改稿收到日期：2015-05-13

通信作者韓志軍 男，博士，教授，碩士生導師，1964年10月生

中圖分類號:O344.1;TB33

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.029

第一作者 李楠 男，碩士生，1987年8月生